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Lösung der elastischen Wellengleichung auf einem variablen FD-Gitter

Daniel Köhn und Thomas Bohlen Graz, den 24. Januar 2005. Lösung der elastischen Wellengleichung auf einem variablen FD-Gitter. Einführung in die adaptive FD-Modellierung. L/2. Vs 1. Vs 2 >> Vs 1. Kantenlänge L. Beachte Gitterdispersion: dh  l 1 /n mit l 1 =Vs 1 /f max

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Lösung der elastischen Wellengleichung auf einem variablen FD-Gitter

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Presentation Transcript

  1. Daniel Köhn und Thomas Bohlen Graz, den 24. Januar 2005 Lösung der elastischen Wellengleichung auf einem variablen FD-Gitter

  2. Einführung in die adaptive FD-Modellierung L/2 Vs1 Vs2 >> Vs1 Kantenlänge L

  3. Beachte Gitterdispersion: dh l1/n mit l1=Vs1/fmax n = 12 (2.Ordnung) = 8 (4.Ordnung) L/2 „ oversampled “ Vs1 Vs2>> Vs1 FD-Diskretisierung auf einem homogenen Gitter

  4. Beachte Gitterdispersion: dh l1/n mit l1=Vs1/fmax n = 12 (2.Ordnung) = 8 (4.Ordnung) L/2 Vs1 Vs2>> Vs1 FD-Diskretisierung auf einem adaptiven Gitter

  5. Rechenzeitersparnis Rechenzeit 3D: 1/125 Rechenzeit 2D: 1/25

  6. Implementierung des adaptiven FD-Codes Nach Jastram (1992)

  7. Test: 2D-Modellierung eines homogenen Raumes Verwendeter FD-Code: - Velocity-Stress Formulierung der elastischen Wellengleichung - Standard Staggered Grid (SSG) - FD-Operatoren 2.Ordnung=> zu interpolierende Variablen: syy , vx Testproblem: homogener Raum (1x1 m), umgeben von Luft 100x100 Gitterpunkte dt = 3e-6 s Rechenzeit: 40000 Zeitschritte

  8. Test: 2D-Modellierung eines homogenen Raumes

  9. Analyse der Instabilität

  10. Definition des Instabilitätszeitpunktes 1

  11. Einfluss unterschiedlicher Interpolationsverfahren auf den Instabilitätszeitpunkt Hypothese: Addition der Interpolationsfehler führt zur Instabilität ?

  12. Syy(j,i) = Syy(j,i) (1+a) vx(j,i) = vx(j,i) (1+ b) wobei a, b [-0.02, 0.02] Modellierung des Interpolationsfehlers durch multiplikativen Gauss’schen Noise

  13. Modellierung des Interpolationsfehlers durch multiplikativen Gauss’schen Noise Entwicklung der L1-Norm (vx, multiplikativer Noise) => Instabilität ist nicht allein auf Interpolationsfehler zurückzuführen.

  14. Analyse des Wellenzahl-Spektrums im Übergangsbereich zwischen groben und feinem Gitter

  15. Wellenzahl-Spektrum und L1-Norm als Funktion der Zeit

  16. Der Einfluß des groben Gitters Nyquist-Wellenzahl feines Gitter Quellsignal Nyquist-Wellenzahl grobes Gitter „Coarse Grid Nyquist Peaks“

  17. Stabilisierung des adaptiven FD-Codes

  18. Response des 1D-Butterworth-Filters zur Unterdückung der “Coarse Grid Nyquist Peaks” Nyquist-Wellenzahl feines Gitter Nyquist-Wellenzahl grobes Gitter

  19. Unterdrückung des Noise durch Tiefpass-Filterung

  20. Unterdrückung des Noise durch Tiefpass-Filterung

  21. Relative Rechenzeit adaptiv/homogen ... 67 % Theoretisch maximal möglich ... 63 % Rechenzeitersparnis: Testproblem Homogenes Gitter ... 433.09 s Adaptives Gitter ... 293.77 s

  22. Zusammenfassung • Die Amplitude des Interpolationsfehlers (multiplikativer Noise) wächst während der Rechnung stetig an. • Das Auftreten der „Coarse Grid Nyquist Peaks“ führt aufgrund der Verletzung des Nyquist-Kriteriums des groben Gitters zur Entstehung einer numerischen Instabilität. • Diese wächst exponentiell mit der Zeit an. • Eine Tiefpassfilterung des k-Bereichs unterhalb der Nyquist-Wellenzahl des groben Gitters führt zu einer Stabilisierung des adaptiven FD-Codes.

  23. Ausblick • Implementierug einer Filterung im Orts-Bereich (Parallelisierung). • Genauigkeitstest anhand geologischer Beispiele: - Probleme mit hohen Vp/Vs-Verhältnissen - Auflösung kleinskaliger Strukturen • 3D-Parallelisierung

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