Оглавление:

1. Оглавление: • Многоугольники • Четырехугольник • Свойства четырехугольника • Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника • Характеристическое свойство фигуры • Площадь • ПараллелограмПрямоугольникм • Ромб • Трапеция • Виды трапеций • Площадь • Квадрат

2. Многоугольники • Многоуго́льником называется геометрическая фигура, состоящая из n • (n больше или равно 3) точек плоскости, не лежащих на одной прямой и попарно соединённых не пересекающимися отрезками. Многоугольник - это замкнутая ломаная линия. Существуют три различных варианта определения: • Плоские замкнутые ломаные; • Плоские замкнутые ломаные без самопересечений; • Части плоскости, ограниченные ломаными. • Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника. • Свойства • Сумма внутренних углов плоского выпуклого n-угольника равна (в градусах) (в радианах). • Число диагоналей всякого многоугольника равно n(n − 3) / 2, где n — число сторон.

3. Четырехугольник Четырёхугольник — это многоугольник, содержащий четыре вершины и четыре стороны. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники Виды четырехугольников Параллелограмм Прямоугольник Ромб Квадрат Трапеция Дельтоид Выкулый не выпуклый

4. Свойства четырехугольника • Формула Эйлера: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумму квадратов его диагоналей. • Средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. • Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин. • Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:

5. G C B F H о A D E Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника • На рисунке 1 диагонали AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, а диагонали EG и FH невыпуклого четырехугольника EFGH не пересекаются. Это свойство оналей характерно для любого выпуклого (и соответственно невыпуклого) четырехугольника. Однако при всей его очевидности строгое обоснование этого свойства оказывается достаточно сложным. Предварительно рассмотрим два вспомогательных утверждения. Напомним, что согласно одной из аксиом планиметрии каждая прямая а разделяет плоскость на две полуплоскости так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей, ее точки не принадлежат ни одной из полуплоскостей. рисунок 1 рисунок 2

6. B a A Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника • Утверждение 1. Если начало луча AB (точка A) лежит на прямой а,а точка B-в какой-то полуплоскости с границей а, то и весь луч лежит в этой полуплоскости (рисунок 3) рисунок 3

7. A C B Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника • Рассмотрим неразвернутый угол ACB (рисунок 4). Прямая BC разделяет всю плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит луч CA. Обозначим эту полуплоскость буквой a. Точнотак же прямая AC разделяет всю плоскость на две полуплоскости, в одной из которых лежит луч CB. Обозначим эту полуплоскость буквой p. Общая часть полуплоскостей а и p называется внутренней областью угла ACB. рисунок 4

8. A D C B Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника • Утверждение 2. Если точки А и В лежат на разных сторонах неразвернутого угла с вершиной С, а точка D лежит внутри угла АСВ (т.е. в его внутренней области), то луч СD пересекает отрезок АВ (рисунок 5) • С наглядной точки зрения утверждения 1 и 2 совершенно очевидны. рисунок 5

9. B A о C D C B о A D Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника • Теоремы. Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются, а невыпуклого не пересекаются. • Доказательство. 1) Рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD (рисунок 6). 2) Рассмотрим теперь невыпуклый четырехугольник ABCD(рисунок 7). Следствие. Если диагонали четырехугольника пересекаются, то этот четырехугольник выпуклый рисунок 6 рисунок 7

10. Характеристическое свойство фигуры • Утверждение о характеристическом свойстве фигуры можно сформулировать с использованием словосочетания “тогда и только тогда”. Например: диагонали четырехугольника пересекаются тогда и только тогда, когда он является выпуклым. Площадь Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна: • , где d1, d2 — диагонали и α — угол между диагоналями. . • , где e, f — длины диагоналей, a, b, c, d - длины сторон. , где p — полупериметр. Из этой формулы для вписанных 4-угольников следует формула Брахмагупты. Особые случаи Если 4-угольник и вписан и описан, то

11. Площадь. • Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна: , где d1, d2 — диагонали и α — угол между диагоналями. , где e, f — длины диагоналей, a, b, c, d - длины сторон. , где p — полупериметр. Из этой формулы для вписанных 4-угольников следует формула Брахмагупты. Особые случаи • Если 4-угольник и вписан и описан, то

12. Параллелограмм • Признаки параллелограмма • Четырехугольник является параллелограммом, если выполнено любое из следующих условий: • противоположные стороны четырехугольника попарно равны; • противоположные углы четырехугольника попарно равны; • диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся попалам; • две стороны четырехугольника равны и параллельны.

13. Прямоугольник • Свойства • Диагонали прямоугольника равны. • Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны параллельны. • Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами. • Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора). • Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности. • Стороны и диагонали • Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон, а шириной — длину более короткой пары сторон. • Длина диагонали прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора и равна квадратному корню из суммы квадратов длины и ширины.

14. Ромб Площадь ромба Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту. • Свойства • Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны, АВ || CD, AD || ВС. • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. • Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.). • Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4. Кроме того площадь ромба может быть вычислена по формуле: где  — угол между двумя смежными сторонами ромба.

15. Трапеция • Элементы трапеции • Параллельные стороны называются основаниями трапеции. • Две другие стороны называются боковыми сторонами. • Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции. • Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

16. Свойства • Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. • Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований. • (Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки. • В равнобедренной трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции. • В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований. • У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны. Виды трапеций Прямоугольная трапеция Равнобокая трапеция • У равнобедренной трапеции диагонали равны. • Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описатьокружность. • Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. • В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон находятся на одной прямой. • Если у равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований. • Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок соединяющий середины оснований равен их полуразности.

17. Площадь • В случае, если a и b — основания и h — высота, формула площади: • Формула, где a, b — основания, c и d — боковые стороны трапеции: • Площадь равнобедренной трапеции с углом при основании равном 30° и радиусом вписанной окружности равном r : S = 8r2

18. Квадрат • Свойства • Квадрат может быть определён как • прямоугольник, у которого две смежные стороны равны • ромб, у которого все углы прямые (любой квадрат является ромбом, но не любой ромб является квадратом). • Пусть t — сторона квадрата, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности. Тогда • Радиус вписанной окружности квадрата равен: • одну ось симметрии четвёртого порядка (ось, перпендикулярная плоскости квадрата и проходящая через его центр); • четыре оси симметрии второго порядка (что для плоской фигуры эквивалентно отражениям), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам. • , • Радиус описанной окружности квадрата равен: • , • периметр квадрата равен: • , • площадьS равна • S = t2 = 2R2 = 4r2. • Квадрат обладает наибольшей симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет