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MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. Tema 15.2 * 2º BCT. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. Dada una función f(x) no siempre es posible calcular su integral; unas veces porque no se trata de una función de las estudiadas hasta ahora y otras veces porque aún siéndolo no sabemos determinarla.

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MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

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  1. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Tema 15.2 * 2º BCT Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

  2. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN • Dada una función f(x) no siempre es posible calcular su integral; unas veces porque no se trata de una función de las estudiadas hasta ahora y otras veces porque aún siéndolo no sabemos determinarla. • Pero en muchos casos, mediante ciertos métodos de cálculo, se pueden determinar las integrales de ciertos tipos de funciones. • INTEGRAL LOGARÍTMICA • La derivada de la función y = L f(x), sabemos que es y ’ = f ’(x) / f(x) • Por consiguiente: • f ’(x) •  ------- dx = L x + C • f (x) • La integral indefinida del cociente de dos funciones, cuando el numerador es la derivada del denominador, es igual al logaritmo neperiano del denominador, más una constante. Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

  3. Ejercicios. Calcula mentalmente: • 2x • l. Calcular la integral indefinida de f(x) = ---------- • 1 + x2 • 2. Calcular la integral indefinida de f(x) = tg x. • Clave: tg x = sen x / cos x • ex + 1 • 3. Calcular la integral indefinida de f(x) = ---------- • ex + x • Resolución parcial: • l. 1 + x2 = t  2.x dx = dt  I = ln t + C • 2. cos x = t  - sen x dx = dt  I = - ln t + C • 3. ex + x = t  (ex + 1) dx = dt  I = ln t + C Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

  4. INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN • Según las propiedades de la integral indefinida: • [f(x) + g(x)] dx = f(x)dx +  g(x)dx • Lo que permite calcular la integral indefinida de una función cuando la función a integrar se puede expresar como suma de dos o más funciones de integral conocida. • Ejemplos: • 2 • 1.  (x+2) dx =  x dx +  2 dx = x / 2 + 2. x + C • 2. x + 1 1 1 •  ---------- dx =  (1 + --- ) dx =  1 dx +  --- dx = x + Lx + C • x x x Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

  5. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE • A veces, para calcular una integral  f(x) dx se efectúa un cambio de variable x = g(t) • Sustituyendo x por g(t) y dx por g'(t)dt y entonces resulta: • f(x) dx =  f [ g (t) ] g'(t) dt • Ejemplo_1 • 3x • 1.  e dx ; haciendo 3x = t , y derivando... • 3 dx = dt  dx = dt / 3 • t t t 3x • luego e dt / 3 = 1 / 3 .  e dt = 1 / 3 e + C = 1 / 3 e + C Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

  6. Ejemplo_2: • 5 • 2.  sen x cos x dx ; haciendo sen x = t , y derivando... • cos x dx = dt • 6 • 5 5 5+1 sen x • luego  sen x .cos x dx =  t dt = t / (5+1) + C = ---------- + C • 6 • Ejemplo_3: • 2 2 • 3.  2.x. sen x dx ; haciendo sen x = t , y derivando... • 2.x dx = dt • 2 2 • Luego  2.x.sen x dx =  sen t dt = - cos t + C = - cos x + C Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

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