1 / 37

Készítette: Kovács Zita

Halmazok, relációk, függvények. Készítette: Kovács Zita. Tartalom. Teszt 1. Alapfogalmak (ismétlés) az alábbi témakörökből: Halmazok Relációk Függvények. Teszt 1. - Halmazok. Írd le matematikai jelekkel a következő halmazt!

gabby
Download Presentation

Készítette: Kovács Zita

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Halmazok, relációk, függvények Készítette: Kovács Zita

  2. Tartalom • Teszt 1. • Alapfogalmak (ismétlés) az alábbi témakörökből: • Halmazok • Relációk • Függvények

  3. Teszt 1. - Halmazok • Írd le matematikai jelekkel a következő halmazt! Legyen A a 6-nál nagyobb és a 14-nél nem nagyobb természetes számok halmaza! • Igaz vagy hamis?

  4. Teszt 1. - Halmazok • Legyen A={1;2;3} és B={2;4;6}. AUB=? A∩B=? A\B=? • Mennyi a számossága az alábbi halmaznak? C = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19} • Legyen H= {k; e; n; y; é; r} és A = {k; é; r}. Mi az A halmaznak a H halmazra vonatkozó komplementere? • Legyen A = {3; 5} és B={1;2}. AxB=?

  5. Teszt 1. - Függvények • Add meg azt a függvényt, amely a számokhoz hozzárendeli a reciprokuk kétszeresét!

  6. 1. Halmazok • halmaz jelölése: nagybetűkkel, pl.: A, B, C, … • halmaz eleme jelölése: kisbetűkkel, pl.: a, b, c,… • eleme, hozzátartozik: • az eleme reláció jele: ∈; • ha a egy objektum, H pedig egy halmaz, akkor a∈H azt fejezi ki, hogy az a objektum eleme a H halmaznak • számosság: elemeinek darabszáma; jele: |A| • üreshalmaz: egyetlen eleme sincs, jele: ∅ vagy {} • megj.: |∅|=0; ∅ ≠ {0}

  7. 1. Halmazok • Megadási módok • Felsorolással • Matematikai kifejezéssel • Szöveggel • Adott: ha egyértelműen eldönthető minden elemről, hogy a halmazhoz tartozik-e vagy sem. • Szemléltetése pl. Venn-diagrammal

  8. 1. Halmazok • Részhalmaz: A részhalmaza B-nek, ha A minden eleme B-nek is eleme. • Jele: A ⊆ B • Példa: • B = {1;2;5;7;9} • A = {1;7} • C = {2;5;9} • Részhalmazok felsorolása • az A halmaz összes részhalmazának darabszáma: 2|A| • Megj: ∅ ⊆ B, B ⊆ B (nem valódi részhalmazok)

  9. Feladat

  10. Műveletek halmazokkal • Egyesítés (unió) • Közös rész (metszet) • Különbség • Szimmetrikus különbség • Részhalmaz kiegészítő (komplementer) halmaza • Két halmaz Descartes-féle (direkt) szorzata

  11. 1. Egyesítés (unió) • Az A és B halmazok uniója azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek A és B közül legalább az egyikhez hozzátartoznak. • Jele: A ∪ B • A ∪ B = { x | x ∈ A vagy x ∈ B}

  12. Unió Példa: A = {1; 3; 5} B = {2; 4; 6} A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

  13. 2. Közös rész (metszet) • Az A és B halmazok metszete azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek A-hoz is és B-hez is hozzátartoznak. • Jele: A ∩ B • A ∩ B = { x | x ∈ A és x ∈ B} • Ha A ∩ B = ∅, akkor az A és a B halmazt diszjunkthalmaznak nevezzük.

  14. Metszet Példa: A = {a; b; c; d; e} B = {b; e; f; g} A ∩ B = {b; e}

  15. 3. Különbség • Az A és B halmazok különbséghalmazán azoknak az elemeknek a halmazát értjük, amelyek A-hoz hozzátartoznak, de B-hez nem. • Jele: A \ B

  16. Különbség Példa: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {2; 4; 6; 8; 10} A \ B = {1; 3; 5} B \ A = {8; 10}

  17. 4. Szimmetrikus különbség • Az A és a B halmazok szimmetrikus különbségén az halmazt értjük. • Jele:

  18. Szimmetrikus különbség • A={1;2;3;4;5} • B ={2;4;6;8} • A∆B=A\B U B\A={1;3;5}U{6;8}={1;3;5;6;8}

  19. 5. Kiegészítő (komplementer) halmaz • Legyen . H azon elemeinek halmazát, amelyek nem elemei A-nak, az A halmaz H halmazra vonatkozó kiegészítő halmazának nevezzük. • Jele:

  20. Komplementer

  21. 6. Két halmaz Descartes (direkt) - szorzata • Azoknak a rendezett pároknak a halmazát, amelyeknek az első komponense az A-nak, a második komponense a B-nek eleme, az A és a B halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. • Jele: A x B • A x B = { (x;y) | x ∈ A és y ∈ B } • Ha |A|=n és |B|=m, akkor |A x B|=n*m

  22. Descartes-szorzat Példa: • A = {1; 2} • B = {1; 3} • A x B = {(1;1); (1;3); (2;1); (2;3)}

  23. 6+1. n db halmaz Descartes (direkt) - szorzata • Azoknak a rendezett elem-n-eseknek a halmazát, amelyeknek az első komponense az A1-nek, a második komponense a A2-nek, …, és az n-dik komponense az An-nek eleme, az A1, A2, …An halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. • Jele: A1 x A2 x … x An • A1x A2x … xAn = { (a1,a2,…,an) | a1∈A1, a2∈ A2, …, an∈ An }

  24. Halmazműveletek főbb azonosságai • Két halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemeik. • Kommutatív • Asszociatív • Disztributív • Idempotens • De-Morgan • Stb…

  25. 2. Relációk • Definíció: Az A és B halmazok Descartes-szorzatának egy R ⊆ AxB részhalmazát az A és B halmazok közötti (binér) relációnak nevezzük. • Ha (a,b) ∈ R, akkor azt mondjuk, hogy „az a elem R relációban van b-vel”; aRb • A=B esetén A-n értelmezett relációnak mondjuk.

  26. 2. Relációk • Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt • Ekvivalenciarelációnak nevezzük, ha R • Reflexív (∀a ∈ A: aRa) • Szimmetrikus (∀a, b ∈ A: ha aRb, akkor bRa) • Tranzitív (∀a, b, c ∈ A: ha aRb és bRc, akkor aRc) Példa: = (feladat ellenőrizni)

  27. 2. Relációk • Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt • Féligrendezési relációnak nevezzük, ha R • Reflexív • Antiszimmetrikus (∀a, b ∈ A: ha aRb és bRa, akkor a=b) • Tranzitív Példa: részhalmaz (feladat ellenőrizni)

  28. 2. Relációk • Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt • Rendezésnek nevezzük, ha R • Féligrendezés és • Minden a, b eleme A esetén: aRb vagy bRa Példa: A=R, ≤ (feladat ellenőrizni)

  29. Példák, feladatok • Legyen A a sík összes egyeneseinek halmaza! • Ekvivalenciareláció-e az A halmazon a párhuzamosság? • Melyek az ekvivalenciaosztályok?

  30. 3. Függvények • Definíció: Egy R ⊆ AxB relációt függvénynek nevezzük, ha abból, hogy (a,b)∈R és (a,c)∈R következik, hogy b=c. • Bármely adott dologhoz legfeljebb egy dolgot rendelünk hozzá.

  31. 3. Függvények, mint egyértelmű hozzárendelések • A hozzárendelések között vannak olyanok, amelyek az egyik halmaz minden eleméhez a másik halmaznak pontosan egy elemét rendelik hozzá. • Ezek az egyértelmű hozzárendelések. Az egyértelmű hozzárendeléseket függvényeknek nevezzük. • A függvényeket kisbetűkkel jelöljük: f,g,h, … stb. • Azokat a függvényeket, amelyek mindkét irányban egyértelműek („megfordíthatóak”), kölcsönösen egyértelmű függvényeknek nevezzük.

  32. 3. Függvények • A függvényt megadhatjuk • táblázattal • grafikonnal • nyíl-diagrammal • képlettel vagy egyéb utasítással • Azt a halmazt, amelynek az elemeihez hozzárendeljüka másik halmaz elemeit, alaphalmaznak, a másik halmazt, amelybe a hozzárendelt elemek tartoznak, képhalmaznak nevezzük. • A hozzárendelési szabály (utasítás) adja meg a függvényt, amely szerint az alaphalmaz elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a képhalmaz elemeit.

  33. Értelmezési tartomány - ÉT • Az alaphalmaz azon elemeinek a halmaza, amelyekre a hozzárendelési szabály érvényes. Ez lehet maga az alaphalmaz is. • Az értelmezési tartomány elemeit szokás változóknakis nevezni.

  34. Értékkészlet - ÉK • A képhalmaz azon elemeinek a halmaza, amely értékeket a függvény felvesz. Ez lehet a teljes képhalmaz is. • Elemei a függvényértékek.

  35. Példák, feladatok • f: R → R, x → 2x • g: R → R , x → x2 • stb…

  36. Induktív definíció • Egy sajátos és nagyon megbízható definíciós módszer. Elsősorban halmazok és függvények definiálására használható. • A definíció két fő részből áll: • A bázis megadása • A szabály, vagy szabályok megadása

  37. Segédletek • http://www.math.klte.hu/~kovacsa/Halmaz.pdf • http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-9-osztaly/halmazok-halmazmuveletek/halmazmuveletek • http://www.tankonyvtar.hu/en/tartalom/tamop425/0033_SCORM_GEMAN6206B/sco_01_03.htm

More Related