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基于探究的立体几何考查研究 莆田六中 林金沂 2010 年 4 月 3 日

基于探究的立体几何考查研究 莆田六中 林金沂 2010 年 4 月 3 日. 1949 年教科书编审委员会成立， 1954 年拟订教学大纲，并开始编写新的教材； 1966 年部分学科的教科书停用，之后使用上海版“暂用教材”，北京版“试用教材”； 1978 年出版各科教材，随后几经修改，从“一纲一本”向“一纲多本”变革，到 1997 年高中实验教材出版 , 并于 2000 年陆续在全国推广， 2004 年秋季课程标准（实验）开始试验、推广.

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基于探究的立体几何考查研究 莆田六中 林金沂 2010 年 4 月 3 日

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  1. 基于探究的立体几何考查研究 莆田六中 林金沂 2010年4月3日

  2. 1949年教科书编审委员会成立，1954年拟订教学大纲，并开始编写新的教材；1966年部分学科的教科书停用，之后使用上海版“暂用教材”，北京版“试用教材”；1978年出版各科教材，随后几经修改，从“一纲一本”向“一纲多本”变革，到1997年高中实验教材出版,并于2000年陆续在全国推广，2004年秋季课程标准（实验）开始试验、推广.1949年教科书编审委员会成立，1954年拟订教学大纲，并开始编写新的教材；1966年部分学科的教科书停用，之后使用上海版“暂用教材”，北京版“试用教材”；1978年出版各科教材，随后几经修改，从“一纲一本”向“一纲多本”变革，到1997年高中实验教材出版,并于2000年陆续在全国推广，2004年秋季课程标准（实验）开始试验、推广.

  3. 　　从1949年起，高考经历了单独招生、联合招生、统一招生、废除高考到77年恢复高考（27万人，录取率4.7%），随后定向生，自费生，到1999年高校扩招，到2009年招生规模突破600万．　　从1949年起，高考经历了单独招生、联合招生、统一招生、废除高考到77年恢复高考（27万人，录取率4.7%），随后定向生，自费生，到1999年高校扩招，到2009年招生规模突破600万． 　　高考命题也经历了高校自主命题、统一招生、分省命题、自主招生，…．

  4. 　　高考数学科试卷的命制，也经历了以考查知识为主，到能力立意，关注交汇、关注探究、重视数学的应用与创新意识（过程与方法）等一系列的发展和变化．随着课程改革的深入，福建省高考数学科命题研究课题组做了大量有益的研究，并在近几年福建省课题成果及高考数学试卷中充分展示.　　高考数学科试卷的命制，也经历了以考查知识为主，到能力立意，关注交汇、关注探究、重视数学的应用与创新意识（过程与方法）等一系列的发展和变化．随着课程改革的深入，福建省高考数学科命题研究课题组做了大量有益的研究，并在近几年福建省课题成果及高考数学试卷中充分展示.

  5. 立体几何 传统几何法与向量法试题

  6. 1984年全国卷 •理四 已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行．

  7. 1993年全国卷 • 理26 已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b． 求证：(Ⅰ)a⊥γ； (Ⅱ)b⊥γ．

  8. 2000年全国（新课程）卷 • 理18甲 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ΔABC中，AC=BC=1，∠ACB=900，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点． （I）求BN的长； （II）求cos ； （III）求证A1B⊥C1M．

  9. 2000年全国（新课程）卷 • 理18乙 如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠BCC1=∠C1CD=∠BCD=600． (Ⅰ)证明：C1C⊥BD； (Ⅱ)假定CD=2，CC1=3/2， 求二面角C－BD－C1的 平面角的余弦值； (Ⅲ)当CD：CC1的值为 多少时，能使A1C⊥平 面BC1D？请给出证明．

  10. 2006年福建卷 • 理18 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，AC=BC=CD=BD= (I)求证：AO⊥平面BCD； (II)求异面直线AB与CD所成角的大小； (III)求点E到平面ACD的距离．

  11. 2009年福建卷 • 理17 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，DM⊥平面ABCD，BN⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点． (Ⅰ)求异面直线NE与AM所成角余弦值； (Ⅱ)在线段AN上是否 存在点S，使得ES⊥平 面AMN？若存在，求 线段AS的长；若不存 在，请说明理由．

  12. 高考试卷 数学创新型试题与探究性试题

  13. 1996年全国卷 • 理22 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1． (Ⅰ)求证：BE=EB1; (Ⅱ)若AA1=A1B1;求平 面A1EC与平面A1B1C1 所成二面角(锐角)的度数． 注意：在下面横线上填写 适当内容，使之成为(Ⅰ) 的完整证明，并解答(Ⅱ)．

  14. (Ⅰ)证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足．(Ⅰ)证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足． ① ∵ _______________________________ ∴EG⊥侧面AC1;取AC的中点F，连结BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC， ② ∵ ______________________________ ∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG． ③ ∵ ______________________________ ∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG， ④ ∵ ______________________________ ∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC， ⑤ ∵______________________________ ∴FG=AA1/2=BB1/2，即BE=BB1/2， 故BE=EB1．

  15. 1996年立体几何试题设问方式的改革，对数学语言的阅读理解提出了更高的要求．九十年代的高考数学试题：1996年立体几何试题设问方式的改革，对数学语言的阅读理解提出了更高的要求．九十年代的高考数学试题： 　　在呈现方法上，出现了折叠、投影、截面、三视图等多种方式； 　　在知识的交汇上，出现了与轨迹、函数等知识综合的试题； 　　在设问方式上，出现了探究性、开放性的试题． 　　到21世纪，特别是高中数学课程标准的实施，赋于高考数学试题新的活力.

  16. 1997年全国卷 • 理19 　　已知m，l 是直线，α、β是平面，给出下列命题： ①若 l 垂直于α内的两相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则 l 平行于α内所有直线；③若mα，l β，且l⊥m，则α⊥β；④若l β，且l⊥α，则α⊥β；⑤若mα，l β，且α∥β，则m∥l． 其中正确的命题的序号是_______ ．

  17. 1998年全国卷 • 理18 　　如图，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_____时，有A1 C⊥B1D1．

  18. 1999年全国卷 • 理18 α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n； ②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α． 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_______________．

  19. 2009年福建卷 •文5 如右图，某几何体的正视图与侧视 图都是边长为1的正 方形，且体积为1/2． 则该几何体的俯视图 可以是

  20. 2005年上海卷 • 理11． 有两个相同的直三棱柱，高为2/a，底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a(a>0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的一个是四棱柱，则a的取值范围是____．

  21. 2009年省质检 • 理18． 四棱锥P－ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示． （Ⅰ）写出四棱锥P－ABCD中四对线面垂直关系（不要求证明）； （Ⅱ）、（Ⅲ）略．

  22. 2002年高考全国卷 • 文22． (I)给出两块相同的正三角形纸片(如图1，图2)，要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；(II)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； (III)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3)，要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等。请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。

  23. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，DM⊥平面ABCD，BN⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，DM⊥平面ABCD，BN⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点． (Ⅰ)求异面直线NE与AM所成角余弦值； (Ⅱ)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平 面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存 在，请说明理由．

  24. 　 在研究某空间几何体的三视图时，发现该几何体上有两个动点P，Q在正视图和俯视图中的射影长恒为3和4，下列关于线段PQ长的取值范围的判定中，正确的是( ) A．|PQ|∈(0,4] B．|PQ|∈(0,5] C．|PQ|∈[4,5] D．|PQ|∈[4,5 ]

  25. 试题的母题： 2008年海南与宁夏卷•理12． 　　某几何体的一条棱长为　 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最 大值为（ ） A． B． C．4 D．

  26. P1 3 Q1 P P3 Q Q3 Q2 4 P2 　　考察极端的情况：当PQ与侧视图对应的平面平行时，|PQ|长取到最大值5；当|PQ|与正视图对应的平面平行时，|PQ|=3，与PQ在俯视图中的射影长为4矛盾；当PQ与俯视图对应的平 面平行时，|PQ|=4， 据此判定B正确．

  27. 　　应用长方体模型计算判定：设PQ在侧视图中的射影长为x，在三个视图中按“长宽高”构造Rt△，并记长宽高依次为a，b，c．　　应用长方体模型计算判定：设PQ在侧视图中的射影长为x，在三个视图中按“长宽高”构造Rt△，并记长宽高依次为a，b，c． 　　则a2+c2=9，① 　　且a2+b2=16， 　　所以|PQ|2=a2+b2+c2=16+c2． 　　由①得0≤c2≤9， 　　所以4 ≤|PQ| ≤5．

  28. 　　高中数学新课程中“立体几何”部分新增加了一些内容：平行投影、中心投影，三视图等，这些内容与义务教育阶段“空间与图形”中的“视图与投影”紧密衔接，突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索研究几何的过程．　　高中数学新课程中“立体几何”部分新增加了一些内容：平行投影、中心投影，三视图等，这些内容与义务教育阶段“空间与图形”中的“视图与投影”紧密衔接，突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索研究几何的过程．

  29. 此类试题的背景比较新颖，需要实际操作和巧妙设计，能根据题目的条件和结论进行观察、分析、探索、决策，是一种解题策略开放与发散的题型．此类试题的背景比较新颖，需要实际操作和巧妙设计，能根据题目的条件和结论进行观察、分析、探索、决策，是一种解题策略开放与发散的题型．

  30. 谢　谢

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