Secções Cônicas

1. Secções Cônicas José Antônio Araújo Andrade Graziane Sales Teodoro Ana Paula Pedroso

2. Secções Cônicas

3. Elipse Definição: Dados dois pontos e do plano, chama-se elipse ao conjunto dos pontos P do plano tais que Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta só uma das duas folhas do cone, a cônica é uma elipse. é constante.

4. ANIMAÇÕES ou Fazendo o esboço com um lápis... Verificando a soma...

5. Simetria: Pela própria definição a elipse é uma curva simétrica em relação à reta e também à mediatriz do segmento conforme mostra a figura. Mediatriz de

6. Equações de Elipses na posição-padrão

8. sabemos que

10. lembrando que resulta com focos em centro

11. ELIPSES EM POSIÇÃO-PADRÃO

12. Uma técnica para esboçar elipses • Determinar se o eixo maior está sobre o eixo x ou o eixo y. Isso pode ser verificado a partir do tamanho dos denominadores na equação. Tendo em mente que a2 > b2 (uma vez que a > b), o eixo maior está ao longo do eixo x se x2 tiver o maior denominador, e está ao longo do eixo y se y2 tiver o maior denominador. Se os denominadores forem iguais, a elipse é um círculo. • Determine os valores de a e b e desenhe uma caixa estendida a unidades em cada lado a partir do centro ao longo do eixo maior, e b unidades em cada lado a partir do centro ao longo do eixo menor. • Usando a caixa como guia, esboce a elipse de modo que seu centro está na origem e toca os lados da caixa onde os lados interseccionam os eixos coordenados.

13. Exemplo 1: Esboce os gráficos das elipses. (a) (b)

14. Exemplo 2: Determine uma equação para a elipse com focos e o eixo maior com extremos

15. Hipérbole Definição: Dados dois pontos e do plano, chama-se hipérbole ao conjunto dos pontos do plano tais que Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta ambas as folhas do cone, a cônica é uma hipérbole. é constante.

16. Equações da hipérbole na posição-padrão c c a a

17. Do triângulo retângulo obtido no esquema ao lado, chamaremos de b o cateto ainda indefinido e escreveremos que

18. Pela definição de hipérbole daí a a para

19. a a sabemos que então vale que

21. lembrando que resulta

22. HIPÉRBOLES EM POSIÇÃO-PADRÃO

23. Uma técnica para esboçar hipérboles • Determine se o eixo focal está sobre o eixo ou eixo . • Determine os valores e e desenhe um retângulo... • Desenhe as assíntotas ao longo das diagonais do retângulo. • Usando o retângulo e as assíntotas como guia, esboce o gráfico da hipérbole.

24. Exemplo 3: Esboce os gráficos das hipérboles (a) (b) mostrando os vértices, focos e assíntotas.

25. Exemplo 4: Determine a equação da hipérbole com vértice e assíntotas

26. Parábola Definição: Dados um ponto e uma reta (diretriz) de um plano, chama-se parábola ao conjunto dos pontos do plano que equidistam do ponto e da reta Ou seja, Se o plano secante é paralelo a uma geratriz do cone, a cônica é uma parábola.

27. Equações de parábolas na posição-padrão Eixo de Simetria Diretriz

28. PARÁBOLAS EM POSIÇÃO-PADRÃO Com vértice na origem e eixo de simetria a reta Ox

29. PARÁBOLAS EM POSIÇÃO-PADRÃO Com vértice na origem e eixo de simetria a reta Oy

30. Pela definição de parábola, sabemos que dito de outra forma considerando que

32. Uma técnica para esboçar parábolas • Determine se o eixo de simetria está ao longo do eixo x ou eixo y. O eixo de simetria está ao longo do eixo x se a equação tiver um termo y2,e está ao longo do eixo y se tiver um termo x2. • Determine de que maneira a parábola se abre. Se o eixo de simetria estiver ao longo do eixo x, então a parábola abre-se à direita se os coeficientes de x forem positivos, e abre-se à esquerda se os coeficientes forem negativos. Se o eixo de simetria estiver ao longo do eixo y, então a parábola abre-se para cima se os coeficientes de y forem positivos, e abre-se para baixo se forem negativos. • Determine o valor de p e desenhe uma caixa que se amplie p unidades da origem ao longo do eixo de simetria em direção na qual a parábola abre e se estende 2p unidades, em cada lado do eixo de simetria. • Usando a caixa como guia, esboce a parábola de forma que seu vértice esteja na origem e passa nos cantos da caixa.

33. Exemplo 5: Esboce o gráfico das parábolas. e mostre o foco e a diretriz de cada um. (a) (b)

34. Exemplo 6: Determine uma equação da parábola que é simétrica em relação ao eixo , tem vértice na origem e passa no ponto .

35. CÔNICAS TRANSLADADAS

36. Parábolas com vértice e eixo paralelo ao eixo Parábolas com vértice e eixo paralelo ao eixo [aberta à direita] [aberta à esquerda] [aberta para cima] [aberta para baixo]

37. Elipse com centro e eixo maior paralelo ao eixo Elipse com centro e eixo maior paralelo ao eixo

38. Hipérbole com centro e eixo focal paralelo ao eixo Hipérbole com centro e eixo focal paralelo ao eixo

39. Exemplo 7: Determine uma equação para a parábola que tenha seu vértice em e o foco em .

40. Exemplo 8: Determine o gráfico da equação

41. Exemplo 9: Descreva o gráfico da equação

42. Exemplo 10: Descreva o gráfico da equação

43. CÔNICAS ROTACIONADAS Uma equação da forma É chamada de uma equação de segundo grau em e . O termo nesta equação é chamado de termo misto. Se o termo misto estiver ausente da equação , então a equação se reduz a e, neste caso, o gráfico é uma secção cônica (possivelmente degenerada) que esta ou na posição-padrão ou transladada. Pode ser provado que se o termo misto estiver presente , então o gráfico é uma cônica (possivelmente degenerada) rodada de sua orientação-padrão.

44. PROPRIEDADES DA REFLEXÃO DAS SEÇÕES CÔNICAS

45. TEOREMA I (Propriedade de Reflexão da Parábola): A reta tangente em um ponto sobre a parábola faz ângulos iguais com a reta que passa por paralela ao eixo de simetria e com a reta que passa por e o foco. Eixo de simetria Foco Reta tangente em

46. TEOREMA II (Propriedade de Reflexão da Elipse):Uma reta tangente a uma elipse em um ponto faz ângulos iguais com as retas que unem aos focos. Reta tangente em

47. TEOREMA III (Propriedade de Reflexão da Hipérbole):Uma reta tangente à hipérbole em um ponto P faz ângulos iguais com as retas que unem P aos focos. Reta tangente em

48. ANIMAÇÕES • Propriedade de Reflexão da Elipse • Propriedade de Reflexão da Hipérbole • Propriedade de Reflexão da Parábola