Operace s mocninami s celočíselným mocnitelem

Operace s mocninami s celočíselným mocnitelem Souhrnný přehled učiva + řešené i neřešené příklady.

Obsah: • Mocnina s přirozeným mocnitelem • Sčítání a odčítání mocnin • Násobení mocnin • Dělení mocnin • Umocňování mocnin • Přezkoušej se • Několik zajímavostí o mocninách

Mocnina s přirozeným mocnitelem • Příklad : • Součin nstejných činitelů a zapisujeme ve tvaru an. n činitelů a.a.a.a............a.a an

Výraz an je n-tá mocnina libovolného čísla a, kde n je přirozené číslo. (exponent)

Vlastnosti mocnin s přirozeným mocnitelem Když a=0, potom platí: 01=02=03= ........ 0n=0. Každá přirozená mocnina nuly sa rovná nule. Když a>0, potom mocnina je kladné číslo. Například 26=2.2.2.2.2.2=64; 0,53=0,5.0,5.0,5=0,125. Když a<0, potom například (-3)2=(-3).(-3)=+9; (-5)4=(-5).(-5).(-5).(-5)=+625 Když n je sudé, mocnina je kladné číslo, (-3)3=(-3).(-3).(-3)=-27; (-5)5=(-5).(-5).(-5).(-5).(-5)=-3 125 Když n je liché, mocnina je záporné číslo.

Úlohy na procvičování: Zapište součin ve tvaru mocniny: 2x.2x.2x.2x.2x.2x = (-3,5b).(-3,5b).(-3,5b) = (x+1).(x+1).(x+1) = Zapište mocninu ve tvaru součinu: 75 = (-0,4a)4 = (2+x)2 = Napište mocninu, která má základ -0,1 a exponent 5. Výsledek mocniny (3-2.5)6 bude kladný nebo záporný?

Sčítání a odčítání mocnin • Sčítat a odčítat můžeme jen ty mocniny, které mají stejný základ a stejného mocnitele, a to tak, že sčítame jejich koeficienty. • Příklad: 5x2 – 3 + 6x + 7x2 + 2 = (5x2+7x2) +6x +(-3+2) = = (5+7)x2 + 6x + (-1) = Sčítance vhodně seskupíme koeficienty spočítáme = 12x2 + 6x - 1

Vzorové řešení úloh: 4x2 +2y3 -5z -10x2 -2y3 +7z = seskupíme sčítance = (4x2-10x2)+ (2y3-2y3)+ (-5z+7z) = 0 = -6x2 +2z vypočítame 4a2 -7b 4a2 -7b - 5(3a2 - b) = -15a2 + 5b = (-7b +5b) = = (4a2 - 15a2) + = -11a2 + (- 2b ) = -11a2 - 2b vypočítáme seskupíme sčítance odstraníme závorky

Úlohy na procvičování: 7a2-6a+11a2+5a = 13m3-12m2+11m-9m2-7m3 = 36a2-64ab+25b2-16a2+27ab+9b2 = 8,5n2-12,6n-3,6n2-11,7n = 11x2-(-6x)+(-5x2)-(2x+3x2) = 12k3-3k2-4(5k3+k2)-7(-9k2) = 4y-[5y2-(13y2-6y)]-(2y-3y2) = 5r-(12r2-2r)-[5r-(2r-12r2)] =

Násobení mocnin • Příklad : • Mocniny se stejným základem násobíme tak, že základ umocníme součtem mocnitelů. • an.am = an+m m,n N

Vzorové řešení úloh: vynásobíme koeficienty 5d2.(-7d ) = 5.(-7) d2+1 = -35d3 1 vynásobíme mocniny se stejným základem vynásobíme koeficienty 0,8x y2z3.10x2y z = 0,8.10 x1+2 y2+1 z3+1 = 1 1 1 = 8x3y3z4 vynásobíme mocniny se stejným základem (12-6m)x(12-6m)2y = (12-6m)x+2y vynásobíme mocniny se stejným základem

Úlohy na procvičování: 6y2.y3 = 3x2y.5xy2 = a3b7.( -3a2bc6).(-2a5c3)= 0,5abc3.3a2c.(-2b4c2) = -3xy3.(-4x5) = Dosaďte za x číslo tak, aby platila rovnost: x.53 = 57 38.3x = 310 23.x4 = 27

Dělení mocnin • Příklad : • Mocniny se stejným základem dělíme tak, že základ umocníme rozdílem mocnitelů. • am : an = am-n m,n N, a≠0

Mocnitel nula • Když m = n a současně x≠0, platí: tedy • Každé číslo (různé od nuly) umocněné na nultou se rovná jedné. • a0 = 1 a ≠ 0 , ale také , .

Záporný mocnitel • Když m < n a současně x≠0, platí: tedy • Mocnina se záporným mocnitelem se dá zapsat jako zlomek: a≠0,s N , ale také , .

Vzorové řešení úloh: vydělíme koeficienty vydělíme mocniny se stejným základem 18m7n8:9m5n3 = (18:9) m7-5 n8-3 = 2m2n5 vydělíme koeficienty vydělíme mocniny se stejným základem (-0,2x7y8z9) : (-0,04x6y z9) = 1 = [(-0,2):(-0,04)] x7-6 y8-1 z9-9 = 5x1y7z0 = 5xy7 x1 = x z0 = 1

vydělíme koeficienty vydělíme mocniny se stejným základem 7c5 : (-2c8)= [7:(-2)] c5-8 = = -3,5c-3 = -3,5.

Úlohy na provičování: 91x5:(-7x4) = 18m7n8:9m5n3 = 6k3:3k7 = 0,8a13b3c4:(-0,2a6b3c3) = 12c3d2:(-15c5d3) = (-24k8h3):36k7h5 = Dosaďte za x číslo tak, aby platila rovnost: 38:3x = 35 10x:1000 = 10

Umocňování mocnin • Příklad: • Mocninu umocníme tak, že základ umocníme součinem mocnitelů. • (an)m = an.m m,n N

Mocnina součinu • Příklad 1.: • Příklad 2.: • Součin umocníme tak, že umocníme každého činitele. • (a.b)n = an.bnnN

Mocnina zlomku (podílu) • Příklad 1. : • Příklad 2. : • Zlomek umocníme tak, že umocníme čitatele i jmenovatele zlomku. • b≠0, n N

Vzorové řešení úloh: umocníme činitele 8x6y9z3 (2x2y3z )3 = 23 x2.3 y3.3 z1.3 = 1 umocníme činitele 9a10b14 (-3a5b7)2 = (-3)2 a5.2 b7.2 = vypočítame výraz v závoce umocníme činitele [(-3a2b )3.2b]2 = [(-3)3 a2.3 b1.3.2b]2 = 1 [(-27.2)a6b3+1]2 = = (-27a6b3.2b )2 = 1 = (-54a6b4)2 = (-54)2 a6. 2 b4. 2 = 2916 a12 b8

Úlohy na procvičování: (4a3b2)3 = (-5x2y3)2 = (-2a5b)7 = Zapište jako mocninu se základem 2: Zapište jako mocninu se základem 3:

PŘEZKOUŠEJ SE • Následuje 20 úloh na ověření vědomostí o mocninách s celočíselným mocnitelem. • Při každé úloze jsou navrženy čtyři možnosti, ale jen jedna z nich je správná. Označ ji kliknutím na písmeno před ní. • Přeji mnoho úspěchů !

1.) Který ze zápisů je správný ? • (A)y+y+y+y = y4 • (B) 3x.3x.3x.3x = 3x4 • (C) 2a+2a+2a+2a = 2a3 • (D)5k.5k.5k.5k = (5k)4

2.) 11a2-(-6a)+(-5a2)-(2a+3a2) = • (A) 3a2- 4a • (B) 3a2+4a • (C) 9a2+9a • (D) 9a2- 4a

3.) Mocnina, které základ je -4y a mocnitel je 6 se dá zapsat jako: • (A) - 4y6 • (B) -(4y)6 • (C) (- 4y)6 • (D) (4y)6

4.) Která z následujících rovností neplatí ? • (A) (-5)3 = -53 • (B) -54 = (-5)4 • (C) (53)2 = (52)3 • (D) 5.53 = (52)2

5.) Který ze zápisů je správný ? • (A) 2a.(-3ab2).4b = 24a2b3 • (B) 2a.(-3ab2).4b = -24a2b2 • (C) 2a.(-3ab2).4b = -24a2b3 • (D) 2a.(-3ab2).4b = -24a3b2

6.) Které z uvedených čísel je nejmenší ? • (A) 13,23 • (B) (-500)3 • (C) 5003 • (D) (-13,2)3

7.) Výraz (-10x2y3)3 se dá upravit na tvar • (A) 100x6y3 • (B) 1000x6y27 • (C) -100x5y6 • (D) -1000x6y9

8.) - 42x4y2:7x2y = • (A) -8x2y2 • (B) 6x2y • (C) -6xy2 • (D) -6x2y

9.) Kolik je osmina z čísla 87 ? • (A) 17 • (B) 81 • (C) 77 • (D) 86

10.) (A) (C) (B) (D)

11.) Který ze zápisů je nesprávný ? • (A) (-17)2 = 172 • (B) • (C) - 5,12 = (- 5,1)2 • (D) - 43 = (- 4)3

12.) 13y2-(3y+6y2)-(-5y)+(-7y2) = • (A) 2y • (B) 8y2-2y • (C) 3y2+2y • (D) 12y2+2y

13.) Kterým výrazem musíme dělit 12a3, aby jsme dostali -3a ? • (A) 4a • (B) - 4a2 • (C) 4a2 • (D) - 4a

14.) (-k2)3 = • (A) k5 • (B) -k5 • (C) -k6 • (D) k6

15.) 4x2.(-5x3) = • (A) -20x6 • (B) -20x5 • (C) -20x • (D) 20x5

16.) Který ze zápisů je správný ? • (A) -30x4:6x = 5x3 • (B) -30x4:6x2 = -5x2 • (C) -30x4:(-6x) = 5x2 • (D) -30x4:(-6x) = -5x3

17.) se dá upravit na tvar Výraz (A) (C) (B) (D)

18.) Který ze zápisů je nesprávný ? • (A) 34.315 = 319 • (B) 2x2.3x4 = 6x6 • (C) 5a2y3.2ay5 = 10a3y15 • (D) 15xy2.(-2x2y) = -30x3y3

19.) -10x3y4 : 2xy3 = • (A) -5x2y • (B) -5xy • (C) 5xy2 • (D) -10x2y

20.)Výraz (-m5).(-7m3).(-m2).2m3 sa dá upraviť na tvar • (A) 14m19 • (B) -14m90 • (C) -14m13 • (D) 14m13

Na závěr několik zajímavostí:

Zajímavé vlastnosti mají druhé a třetí mocniny takových přirozených čísel, kterých desítkový zápis obsahuje pouze číslice 1 nebo 9. Čísla (nebo slova), které jsou stejné při čtení zprava nebo zleva, nazýváme PALINDRÓMY. Tuto vlastnost mají například druhé mocniny čísel složených ze samých jedniček:

Nippur

Konec • Autor : RNDr. Mária Székelyová • Kontakt: szekelyova@centrum.sk • Překlad do českého jazyka : IP@RK ( hrbok8.seznam.cz) Použitá literatúra

Operace s mocninami s celočíselným mocnitelem