UN SISTEMA DE DEDUCCIÓN NATURAL PARA EL CÁLCULO PROPOSICIONAL

1. UN SISTEMA DE DEDUCCIÓN NATURAL PARA EL CÁLCULO PROPOSICIONAL • Dr. Pedro Arturo Ramos Villegas • Academia de Filosofía, UACM • Colegio de Filosofía, FFyL, UNAM • parv@servidor.unam.mx

2. ANTECEDENTES • Una primera versión del sistema de reglas de deducción natural para el cálculo proposicional que presento a continuación fue elaborada por los profesores Raúl Orayen, Arturo Yáñez y yo en la primera mitad de la década de los 90s. Hasta la fecha no he sabido de alguien más que proponga un sistema similar a aquél. • La elaboración de ese sistema obedecía a objetivos didácticos y prácticos. • El sistema que presento a continuación pretende mejorar el sistema original atendiendo a los mismos objetivos.

3. OBJETIVOS DEL SISTEMA • EN LO DIDÁCTICO • Está diseñado expresamente para facilitar la enseñanza y el aprendizaje de las reglas del cálculo proposicional, al clasificarlas en cinco grupos atendiendo a sus propiedades lógicas y su utilidad; a diferencia de las presentaciones tradicionales, que las clasifican únicamente en dos grupos, como reglas de implicación y reglas de equivalencia, atendiendo sólo a su forma lógica. • EN LO PRÁCTICO: • Está diseñado expresamente para facilitar el empleo de las reglas al efectuar deducciones, justo debido a sus ventajas didácticas.

4. VENTAJAS DIDÁCTICAS DEL SISTEMA • El sistema está diseñado expresamente para facilitar la enseñanza y el aprendizaje de la lógica proposicional, debido básicamente a dos aspectos: • Debido al modo peculiar en que se expone y contextualiza dentro del sistema cada regla en particular, como ilustraremos a continuación.

5. VENTAJAS DIDÁCTICAS DEL SISTEMA 2. Debido a que anexo a cada grupo de reglas se incluyen dos conjuntos de ejercicios. Uno diseñado para el grupo mismo y otro para la conjunción de ese grupo con los anteriores que ya hayan sido expuestos. De modo que al final de la exposición del sistema el alumno adquiere los siguientes saberes prácticos: • Sabe para qué sirve cada regla, en particular, y cómo articular ese saber práctico dentro del manejo del grupo al que la regla pertenece y, más en general, dentro del manejo del sistema en el que ésta se inserta. • Es capaz de realizar inferencia con todas las reglas de manera fluida.

6. ASPECTOS QUE SE CONSIDERAN EN LA EXPOSICIÓN DE CADA REGLA • Hay seis aspectos de cada regla que se consideran dentro del sistema. Veamos un ejemplo: • Nombre:Doble Negación. • Abreviatura: DN. • Presentaciónformal: A  A. • Lecturaestructural: Una fórmula equivale a su doble negación. • Prueba de validez:

7. ASPECTOS QUE SE CONSIDERAN EN LA EXPOSICIÓN DE CADA REGLA 6. Utilidad: • Individual: Permite introducir o eliminar el signo de negación en fórmulas o subfórmulas individuales. • Grupal: Misma que la anterior, dado que el grupo de reglas al que pertenece incluye una sola regla. • Sistémica: Es auxiliar de todas aquellas reglas que incluyen negación.

8. REGLA AUXILIAR 1. Doble Negación (DN) AA

9. I. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA LA CONJUNCIÓN Y LA DISYUNCIÓN 2. Conjunción (Conj) 3. Simplificación (Simp) AA B B______ /A /A B 4. Adición (Ad) 5. Silogismo Disyuntivo (SD) A______A B / A B A __ /B

10. II. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA EL CONDICIONAL 6. Modus Ponens (MP) 7. Modus Tollens (MT) A B A B A____ B___ /B /A 8. Silogismo Hipotético (SH) A B B C___ /A C

11. III. REGLAS DE EQUIVALENCIA PARA LA CONJUNCIÓN Y LA DISYUNCIÓN 9. Conmutación (Conm) 10. Asociación (Asoc) (A B)  (B A) [A  (B C)]  [(A B) C] (A B)  (B A) [A  (B C)]  [(A B) C] 11. Idempotencia (Idem) 12. Distribución (Dist) A (A A) [A(B C)]  [(A B) (A C)] A (A A) [A (B C)]  [(A B) (A C)]

12. IV. REGLAS DE EQUIVALENCIA PARA EL CONDICIONAL 13. Transposición (Tr) 14. Exportación (Exp) (A B)  (B A) (A B) C]  [A  (B C)] 15. Distribución del Condicional (DC) [(A B)  C)]  [(A C) (B C)] [A  (B C)]  [(A B) (A C)]

13. V. REGLAS DE TRADUCCIÓN 16. Leyes de Morgan (de M)17. Implicación Material(IM) (A B) (A B) (A B)  (A B) (A B) (A  B) (A B) (A B) 18. Equivalencia Material (EM)19. Ley Expansiva Fundamental (LEF) (A B)  [(A B) (B A)] A [(A B) (A B)] (A B)  [(A B) (A B)] A [(A B) (A B)]

14. GRACIAS POR SUS COMENTARIOS Y CRÍTICAS

15. CONDICIONALIZACIÓN Y REDUCCIÓN AL ABSURDO EN UN SISTEMA DE DEDUCCIÓN NATURAL PARA EL CÁLCULO PROPOSICIONAL • Dr. Pedro Arturo Ramos Villegas • Academia de Filosofía, UACM • Colegio de Filosofía, FFyL, UNAM • parv@servidor.unam.mx

16. INTRODUCCIÓN • Hace poco presenté ante el TDL un sistema de reglas de deducción natural para la lógica proposicional (LP), el cual modificaba un sistema anterior elaborado originalmente durante la primera mitad de la década de los 90s por los profesores Raúl Orayen, Arturo González y el que esto escribe. • En lo que sigue, expondré los métodos de prueba condicional (PC) y de reducción al absurdo (RAA) dentro del sistema modificado.

17. INTRODUCCIÓN • Primero, presentaré informalmente ambos métodos. Luego, propondré demostraciones semánticas y sintácticas de validez para cada uno, mostrando las ventajas didácticas de las primeras sobre las segundas (estas últimas las desarrollaré dentro del sistema modificado). Por último, hablaré sobre la utilidad de estos métodos de prueba. • Debo aclarar que la exposición de ambos métodos es una elaboración mía, por lo que cualquier error lógico que contenga no debe atribuirse a los otros profesores mencionados.

18. TRES MÉTODOS FORMALES DE PRUEBA: MD, PC Y RAA • Los sistemas deductivos de LP suelen contar con tres tipos de métodos formales o sintácticos de demostración: el método directo (MD) y dos métodos indirectos, la PC y la RAA. • El MD consiste en deducir una conclusión a partir de un conjunto dado de premisas usando sólo ese conjunto de premisas y las reglas de deducción habituales (conjunción, adición, etc.). • Los métodos indirectos operan sumando premisas extra al conjunto original de premisas y deduciendo, con el auxilio de las reglas habituales, no directamente la conclusión, sino otras fórmulas (de las que la conclusión deseada es deducible en cualquier caso).

19. DESCRIPCIÓN INFORMAL DE LA PC Y LA RAA • La PC opera añadiendo como premisa extra el antecedente de un condicional que se desea demostrar y deduciendo su consecuente (del cual es deducible el condicional usando básicamente adición e implicación material). • La RAA opera añadiendo como premisa extra lo contradictorio de lo que se desea demostrar y deduciendo a partir de ello una contradicción cualquiera (de la cual es deducible la conclusión usando básicamente adición y silogismo disyuntivo).

20. DEMOSTRACIÓN SEMÁNTICA DE LA PC • Si P1, P2, …, Pn son las fórmulas-premisa de un argumento cualquiera y A B su fórmula-conclusión, entonces • No esposible que: No es posible que: P1 = v P1 = v P2 = v P2 = v .  . . . Pn ___ _ = v Pn = v / A  B = f A___ = v / B = f

21. Demostración semántica del primer condicional de la PC: 1.Hipótesis: 2. Por demostrar: • No esposible que: No es posible que: P1 = v P1 = v P2 = v P2 = v .  . . . Pn ___ = v Pn = v / A  B = f A___ = v / B = f Y, en efecto, tomando como fijos los valores de (P1, P2,… Pn) = v, no es posible que A = v y B = f (en 2),pues, en tal caso, A  B = f (en1), lo cual no es posible por la hipótesis.

22. Demostración semántica del segundo condicional de la PC: 1.Hipótesis: 2. Por demostrar: • No esposible que: No es posible que: P1 = v P1 = v P2 = v P2 = v .  . . . Pn = v Pn_____ = v A___ = v / A  B = f / B = f Y, en efecto, tomando como fijos los valores de (P1, P2,… Pn) = v,no es posible que A  B = f (en 2), pues, en tal caso, A = v y B = f (en 1), lo cual no es posible por la hipótesis.

23. DEMOSTRACIÓN SEMÁNTICA DE LA PRUEBA POR RAA • Si P1, P2, …, Pn son las fórmulas-premisa de un argumento cualquiera, A su fórmula-conclusión y B una subfórmula cualquiera de P1, P2, …, Pn o A, entonces • No esposible que: No es posible que: P1 = v P1 = v P2 = v P2 = v .  . . . Pn _ = v Pn = v / A = f A_____ = v / B  B = f

24. Demostración semántica del primer condicional de la prueba por RAA: 1. Hipótesis: 2. Por demostrar: • No esposible que: No es posible que: P1 = v P1 = v P2 = v P2 = v .  . . . Pn _ = v Pn = v / A = f A_____ = v / B   B = f Y, en efecto, tomando como fijos los valores de (P1, P2,… Pn) = v,no es posible que A = v (en 2), pues, en tal caso, A = f (en 1), lo cual no es posible por la hipótesis.

25. Demostración semántica del segundo condicional de la prueba por RAA: 1. Hipótesis: 2. Por demostrar: • No esposible que: No es posible que: P1 = v P1 = v P2 = v P2 = v .  . . . Pn = v Pn__ = v A______ = v / A = f / B   B = f Y, en efecto, tomando como fijos los valores de (P1, P2,… Pn) = v, no es posible que A = f (en 2), pues, en tal caso, A = v , lo cual no es posible por la hipótesis.

26. DEMOSTRACIÓN FORMAL DE LA PC • Si P1, P2, …, Pn son las fórmulas-premisa de un argumento cualquiera y A B su fórmula-conclusión, entonces: P1 P1 P2 P2 .  . . . Pn_______ Pn / A  BA___ / B

27. Demostración formal del primer condicional de la PC: Hipótesis:Por demostrar: P1 P1 P2 P2 .  . . . Pn_____ Pn / A  BA___ / B

28. Demostración: 1. P1 2. P2 . . n. Pn n+1. A / B . . n+k. A B 1, 2,…, n, Hip. n+k+1. B n+1, n+k, MP

29. Demostración formal del segundo condicional de la PC: Hipótesis: Por demostrar: P1 P1 P2 P2 .  . . . Pn Pn____ A___ / A  B / B

30. Demostración: 1. P1 2. P2 . n. Pn / A  B . n+(n-1). P1P2Pn1, 2,…n, Conj. . n+(n-1)+k. (P1P2Pn  A)  B Hip., LEF n+(n-1)+k+1. (P1P2Pn)  (A B) n+(n-1)+k, Exp. n+(n-1)+k+2. A B n+(n-1), n+(n-1)+k+1, MP

31. DEMOSTRACIÓN FORMAL DE LA PRUEBA POR RAA • Si P1, P2, …, Pn son las fórmulas-premisa de un argumento cualquiera, A su fórmula-conclusión y B una subfórmula cualquiera de P1, P2, …, Pn o A, entonces P1 P1 P2 P2 .  . . . Pn__ Pn / A A______ / B  B

32. Demostración formal del primer condicional de la prueba por RAA: Hipótesis: Por demostrar: P1 P1 P2 P2 .  . . . Pn__ Pn / A  A________ / B   B

33. Demostración 1. P1 2. P2 . . n. Pn n+1. A / B  B . . n+k. A1, 2,…, n, Hip. n+k+1.A v (B  B) n+k Ad N+K+2 B  B n+1, n+k+1, SD

34. Demostración formal del segundo condicional de la prueba por RAA: Hipótesis: Por demostrar: P1 P1 P2 P2 .  . . . Pn Pn__ A_____ / A / B  B

35. Demostración: 1. P1 2. P2 . . n. Pn / A . . n+k. A  (B  B) Hip., PC N+k+1. A v (B  B) n+k, IM n+k+2. A v (B  B)n+k+1, DN n+k+3. (A v B)  (A v B)n+k+2, Dist n+k+4. An+k+3, LEF

36. UTILIDAD DE LOS MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN DE LA PC Y LA RAA • En general, la utilidad de ambos métodos radica en que facilitan las deducciones pues, debido a la premisa extra que permiten añadir, aumentan las posibilidades deductivas respecto del conjunto original de premisas. • En particular, la PC se aplica con provecho a la demostración de fórmulas cuya conectiva principal sea ‘’, ‘≡’ o ‘v’; mientras que la RAA se puede aplicar con provecho a cualquier tipo de fórmula. • Usando cualquiera de ambos métodos pueden deducirse conclusiones intermedias que coadyuven, luego, a deducir la conclusión final de argumentos; también pueden combinarse ambos en una misma deducción. En todos estos casos deben introducirse hipótesis con alcances limitados en las demostraciones, cuidándose de cerrarlos adecuadamente a fin de evitar falacias en las deducciones.

37. UTILIDAD DE LOS MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN DE LA PC Y LA RAA • El sistema de reglas de deducción natural para la LP modificado, mencionado al principio de esta charla, cuenta con una LEF para introducir tautologías, por lo que es completo: ‘A [(A B) (A B)]’. Mediante esta regla puede demostrarse que una tautología se deduce de cualquier fórmula. • Los métodos de la PC y la RAA también permiten introducir tautologías en las demostraciones. Se diferencian de LEF en que son más manejables, debido a lo ya mencionado, y más potentes, pues permiten demostrar que una tautología se deduce del conjunto vacío de fórmulas. • En sistemas de deducción directa incompletos en los que no se pueden demostrar tautologías (como el de Copi en Lógica simbólica) estos métodos permiten, pues, completarlos (tal como lo hace Copi con su sistema mencionado).

38. GRACIAS POR SUS COMENTARIOS Y CRÍTICAS