TEORIA DE GRUPS

1. TEORIA DE GRUPS

2. 1. Introducció • Teoria de grups Simetria • Destacar la importància i/o absència de simetria a la Natura (cos humà, cristalls, quiralitat) • Simetria relacions espacials reflex en l’estructura electrònica de la materia • Molt rellevant per la Química Quàntica • La simetria és important, però no ho és tot.

3. Què és la simetria? • Una definició segons H.S.M Coxeter (geòmetra):“Quan diem que una figura és simètrica volem dir que existeix una transformació congruent que la deixa invariada com un tot,només permutant els elements que la composen” • CONCEPTE D’IGUALTAT SIMÈTRICA Mobius: “Dues figures són iguals si les distancies entre uns punts qualsevol donats d’una figura, són les mateixes que les distàncies entre els punts corresponents a l’altra figura” • GRAU DE SIMETRIA “Un objecte és més simètric que un altre” Ex: vs • Existeix alguna eina que ens permeti dir inequívocament si hi ha simetria i en quin grau? Si. La Teoria de Grups.

4. 2.- SIMETRIA MOLECULAR I GRUPS DE SIMETRIA 2.1.- ELEMENTS I OPERACIONS DE SIMETRIA OBJECTIUS: • Presentar els elements de simetria: σ , Cn, i, Sn • Diferenciar element i operació de simetria • Saber trobar els elements de simetria presents en una figura o una molècula • Distinció entre configuració equivalent i configuració idèntica (ús d’etiquetes). • Operacions consecutives i inverses.

5. 2.1.1.- PLA DE SIMETRIA. REFLEXIÓ. SIMETRIA BILATERAL 1r exemple: Cossos dels animals. Simetria externa dreta/esquerra. (mig cos mirat en un mirall reprodueix el cos sencer). 2n exemple: Mitjans de transport: cotxe, moto , tren… SI moto amb sidecar NO El mirall constitueix un PLA DE SIMETRIA, que anomenarem σ. Un pla de simetria ha de travessar el cos, no pot estar a fora. Aquesta figura no té pla de simetria Si posem un mirall, i considerem la figura i la seva imatge especular com un tot, llavors el mirall és un pla de simetria.

6. σ σ O O O O H1 H1 H2 H1 H2 H2 H1 H2 Traçar una línia perpendicular des de cada àtom al pla. Prolongar aquesta línia al costat oposat del pla, dins la mateixa distància i aquesta és la nova posició de l’àtom reflexat. Condicions d’existència d’un σ ^ σ O O H2 H1 H1 H2 Si en aquesta operació per a tots els àtoms de la molècula s’obté una configuració equivalent a la primera, llavors existeix un pla de simetria. TOTA MOLÈCULA PLANA TÉ COM A MÍNIM UN PLA (EL QUE CONTÉ TOTS ELS ÀTOMS)

7. σ a b b a Configuració equivalent però no idèntica degut a les etiquetes. c d d c a b c d Configuració equivalent. σ c d a b a a b Configuració no equivalent b c c d d

8. y p(x, y, z) x z s p = p’ ^ p’(x, y, -z) Representació matricial de l’operació de reflexió (pla xy, p.ex) σ: p(x, y, z) p’(x, y, -z)

9. σ3 σ1 σ2 σ4 1+3 BF3 Molècules planes AB4 1+4 1+6 Molècules linials: Infinits plans que contenen tots els àtoms.

10. Tetraedre AB4 σ σ σ σ σ σ

11. σ1 σ2 σ1 3σ Exemples: σ2 σ1 σ1 σ2 • Àtoms únics han d’estar sobre del pla (per a que no es moguin al reflexar-los) • D’àtoms que estan fora del pla n’hi ha d’haver un nombre parell.

12. Definicions: • ELEMENT DE SIMETRIA • És una entitat geomètrica (p.ex. Un pla) • Com veurem més endavant tindrem altres entitats (línia, punt) • Un element de simetria GENERA... • OPERACIONS DE SIMETRIA • Una operació de simetria és el resultat de l’aplicació d’un element de simetria. • Són moviments de les parts d’un cos (en relació a punts, línies o plans) que porten a aquest cos a una configuració equivalent o indiscernible de l’original. En una molècula, els àtoms que es poden intercanviar per qualsevol operació de simetria s’anomenen ÀTOMS EQUIVALENTS.

13. RESUM: • Un objecte presenta simetria: BILATERAL • Té com a element de simetria: UN PLA • Podem aplicar-hi una operació de simetria: UNA REFLEXIÓ RESPECTE AL PLA • Si apliquem un pla dues vegades , obtenim la configuració inicial (ex. periscopi) Imatge real Imatge especular Imatge real

14. 1 2 2.1.2.- EIXOS PROPIS. ROTACIÓ PRÒPIA. SIMETRIA ROTACIONAL • Presenta alguna simetria, però no bilateral. • Presenta un pla (el pla de la figura) • Si la fem girar 180º, sobté el mateix objecte, però en una configuració equivalent A B “YING YANG” 180º SIMETRIA ROTACIONAL B A Al voltant d’una línia hipotètica, perpendicular al pla de la figura i que passa pel centre. Si la configuració 2 la tornem a girar 180º , en el mateix sentit (Sentit Agulles Rellotge SAR), obtenim la configuració 1.

15. ELEMENTOPERACIÓSÍMBOL EIX (PROPI) ROTACIÓ (PRÒPIA) Cn • Per ORDRE DE L’EIX s’entén el nombre de vegades que cal fer girar l’objecte en diferents configuracions equivalents fins a obtenir la configuració inicial en una gir complet de 360º. • n és el valor tal que una gir de radians produeix una configuració equivalent. • Pel YING-YANG, n=2 rotacions de 180º L’eix és un C2 (eix binari)

16. Exemple: Triangle equilater C3 a c b a 120º 120º 120º b c b b a a c c I II III I Notació de l’operació m= nombre de vegades que apliquem l’eix I II III I

17. L’operació (o ) dóna la configuració inicial, és a dir, com si no haguessim fet res. Però és un fet significatiu que existeixi una operació IDENTITAT, Ê. De manera que: = Ê Recordem que: = Ê Un eix de propi Cn genera n-1 operacions de simetria, ja que Ê= Un pla genera una operació de simetria, ja que Ê=

18. Exemples Moleculars: C2 H2O C3 BF3, NH3 C4 [PtCl4]- C5 C5H5- C6 C6H6 RECERCA D’EIXOS • Àtoms sobre l’eix no es desplacen. • Àtoms únics sobre l’eix. • Si un àtom no està sobre l’eix, cal que hi hagi n àtoms(com a mínim) d’aquest tipus.

19. 2.1.3.- DIFERÈNCIA ENTRE UN PLA I UN C2 Exemple: S2Cl2 C2 NH2 F

20. 2.1.4.- COEXISTÈNCIA D’ELEMENTS DE SIMETRIA L’existència d’un σ que contingui un eix de rotació Cn, fa que necessàriament l’objecte presenti n plans de simetria. • Els anomenarem σv (vertical) H2ONH3 Si C2//z Si C3//z σxz σv σv’ σv’’ σyz

21. 2.1.4.- COEXISTÈNCIA D’ELEMENTS DE SIMETRIA Pla perpendicular a un eix de simetria no genera cap altre pla. Els anomenarem σh (horitzontal) Eix perpendicular a un eix Si existeix un eix (normalment C2) perpendicular a un eix Cn (C3, C4,...), necessàriament es generen n eixos C2. Exemple: BF3 C3; 3C2 Cn

22. 2.1.5.- CENTRE D’INVERSIÓ. SIMETRIA COMBINADA REFLEXIÓ/ROTACIÓ ELEMENTOPERACIÓSÍMBOL Centre d’inversió Inversió i (és un punt) Si posem el centre d’inversió en el punt (0,0,0) i: î (x, y, z) (-x, -y, -z) Quan en un objecte(molècula) aquesta operació es pot aplicar a tots els punts donant lloc a una configuració equivalent, indistingible de la inicial, diem que existeix un centre d’inversió. El centre d’inversió només genera una operació de simetria i 2=E (x, y, z) (-x, -y, -z) (x, y, z) i i E

23. Exemples: SI NO NO SI

24. Exemples:

25. (x,y) i = σh * C2Producte d’operacións de simetria Conveni: S’aplica primer l’operació de la dreta. Ex: C2 (z) ; σh (xy) (x, y, z) (-x, -y, z) (-x, -y, -z) IMPORTANT: L’existència d’un i no implica l’existència d’un σh i d’un C2. L’existència d’un σh i un C2 implica l’existència d’un i. EX: C2 (z) (-x,-y) σh (xy) C2 (z) També i=C2*σh

26. 2.1.6.- EIX DE ROTACIÓ IMPROPI. ROTACIÓ IMPRÒPIA • La rotació impròpia es pot interpretar com una operació en dues etapes: 1a. Etapa: UNA ROTACIÓ PRÒPIA, Cn. 2a. Etapa: UNA REFLEXIÓ σh (σh és perpendicular al Cn). ELEMENTOPERACIÓSÍMBOL Eix impropi rotació impròpia Sn • La rotació impròpia genera varies operacions, de la mateixa manera que un eix propi. Les denominaren Snm. Snm és un gir de m vegades seguit de m reflexions.

27. S1 = σh * C1 = σh S2= σh * C2 = i Podem concloure que l’existència d’un Sn no implica l’existència d’un Cn i un σh, igual que vam fer pel centre d’inversió amb C2 i σh.

28. 2.2.- OPERACIONS CONSECUTIVES Fins ara, o hem considerat una sola operació de simetria o la rotació/reflexió (per a i i Sn). Examinarem ara l’efecte de realitzar una sèrie succesiva d’operacions de simetria. Si és una operació de simetria i també,llavors també ho és. C C’ C’’ En general o, el conmutador Amb l’operació identitat, totes les operacions hi conmuten

29. C31 σv1 Exemple: σv1 •^C31= σv2 σv C31 σv1 σv C31• σv1 = σv3

30. 2.3.- OPERACIONS INVERSES • L’existència d’una operació de simetria A en un objecte implica l’existència d’una altre operació B, tal que: A.B=E A és inversa de B, B=A-1 B.A=E B és inversa de A, A=B-1 • El producte d’una operació per la seva inversa és sempre CONMUTATIU. A.B=B.A=E • Pla de simetria σ2=E; σ. σ=E; σ=σ-1 • Centre d’inversió i2=E; i.i=E; i=i-1

31. Eix de rotació Cnn = E Cn1. Cn1.... Cn1=E Cn1. Cnn-1 =E Ex: C31 C3-1=C32 • Eix de rotació impropi n parell Snn=E Sn1.Snn-1=E n senar Sn2n=E Sn1.Sn2n-1=E n-1 n Cn-1=Cnn-1 Sn-1=Snn-1 Sn-1=Sn2n-1

32. GRUP PROPIETATS BÀSIQUES D’UN GRUP És una sèrie d’elements relacionats entre si mitjançant certes regles. El nombre d’elements del grup s’anomena ORDRE del grup (h), pot ser infinit o finit. 1.- El “producte” (o combinació) de dos elements qualsevols d’un grup ha de ser un altre element del grup. Si A, B Є grup A.B = C ; C Є grup 2.- Ha d’existir un element que conmuti amb tots els altres i els deixi inalterats. A aquest element l’anomenarem IDENTITAT. A.E = E.A = A per a tot A Є grup 3.- El producte o combinació de 3, o més elments del grup ha ser ASSOCIATIU. (A.B).C = A (B.C) = A.B.C 4.- Cada elemental d’un grup té un element INVERS, que també és element del grup. La combinació d’un element amb el seu invers és l’element identitat. A.A-1 = A-1 .A = E

33. TEOREMA DEL PRODUCTE DE RECÍPROCS L’invers d’un product de dos o més elements dels grup és igual al producte dels inversos en ordre invers. sigui D=A.B.C D-1=(A.B.C)-1=C-1.B-1.A-1

34. 3.2- GRUPS PUNTUALS DE SIMETRIA C1 : E CS : E, σ Cn : E, Cn Ci : E, i Sn : E, Sn (n=4, 6, 8) Dn : E, Cn+nC2 (Cn+nC2) Cnv : E, Cn+n σV (Cn+n σV) Cnh : E, Cn+σh Sn (Cn+σh) Dnd: E, Cn, nC2+ n σd S2n (Dn+n σd) Dnh: E, Cn, σh , Sn +nC2+ n σd S2n (Dn+n σd)

35. Grups infinits: Coov : E, Coo, σv Dooh : E, Coo, i, Soo (σh), C2, σv (Coov+ σh) Grups cúbics: T : E, 4 C3, 3 C2 Th : E, 4 C3, 3 C2, i, 4 S6, 3 σh Td : E, 4 C3, 3 C2, 3 S4, 6 σd O: E, 3 C4, (3 C2), 4 C3, 6 C2 Oh: E, 4C3, 6C2, 3C4, (3C2), i, 3S4, 4S6, 3σh,6 σd I: E, 6C5, 10 C3, 15 C2 Ih: E, 6C5, 10C3, 15C2, i, 6S10, 10S6, 15 σ

36. Taules de multiplicació d’un grup En un grup d’ordre h existeixen h2 productes de dos elements del grup. Si tots els productes possibles estan inclosos en aquesta llista el grup està definit de manera completa i única. Taula de multiplicació: - Es composa de h files i h columnes. - Cada columna està encapçalada per un element del grup. Cada fila també. - El símbol de la taula situat en el punt de coincidència d’una columna i d’una fila és el producte dels elements que encapçalen la columna i la fila. - Com el producte no és necessàriament commutatiu, cal donar un sentit, arbitrari, a l’operació: resultatij=columnaj x filai X=B.A C C’ C’’ B A

37. Teorema de la redistribució • Cada fila i cada columna de la taula de multiplicació d’un grup conté els elements del grup una vegada i només una. • No hi poden haver 2 files i 2 columnes, iguals. • En cada columna (o fila) apareixen TOTS els elements del grup, això sí, ordenats de manera diferent.

38. C3 σv1 σv2 Ex: C3V (NH3) elements: E, C3, σv1, σv2,σv3 operacions: E C13, C23 h=6 σv1, σv2,σv3 Taula: E C13C23 σv1 σv2 σv3 E E C13 C23 σv1 σv2 σv3 C13 C13 C23 E σv2 σv3 σv1 C23 C23 E C13 σv3 σv1 σv2 σv1 σv1 σv3 σv2 E C23 C13 σv2 σv2 σv1 σv3 C13 E C23 σv3 σv3 σv2 σv1 C23 C13 E σv3

39. Podem observar en la taula del grup C3v que existeixen subgrups. • E, C13, C23 C3 • E, σv1 Cs • E, σv2 Cs • E, σv3 Cs • E C1 L’ordre de qualsevol subgrup, g, d’un grup d’ordre h, ha de ser divisor de h; h/g=k (núm. Sencer)

40. CLASSES Acabem de veure que d’un grup en podem fer grups més petits, subgrups. Hi ha una altra manera de dividir un grup en parts més petites: són les classes de simetria. Abans, però, cal que introduïm una nova operació: Transformació de semblança Si A i X Є Grup X-1.A.X Є Grup B= X-1.A.X Direm que: B és la transformació de semblança de A per X. B és el conjugat de A Una CLASSE és una sèrie completa d’elements conjugats entre si.

41. E sempre constitueix una classe per si sola. E-1.E.E=E A-1.E.A=E B-1.E.B=E • Com buscar/ trobar les classes d’un grup? a) Triar un element. b) Trobar tots els conjugats (calcular totes les transformacions de semblança). c) Repetir b) però amb un altre element que no sigui conjugat del primer ...i així fins que no surti cap element sense classificar per classes.

42. 3.- REPRESENTACIONS D’UN GRUP 3.1 DEFINICIONS Una representació d’un grup donat G es defineix generalment com un conjunt, , d’elements que satisfan dues condicions: i) Cada element del grup G pot associar-se amb algun element del conjunt . ii) La taula de multiplicació dels elements del conjunt  és equivalent a la taula del grup G. Això ho podem expresar com: GRUP GRepresentació  A, B, F A (A) (F)= (B). (A) F=B.A B (B) F (F) I de fet, una representació d’un grup donat és a la vegada un grup matemàtic homomorf del grup considerat. En el nostre cas, els elements del grup G són les operacions de simetria. Veiem que si escollim matrius podrem representar el grup G per conjunts de matrius que alhora tindran (cada conjunt) estructura de grup.

43. Repàs d'àlgebra lineal • Suma de matrius Aij=Bij+Cij • Producte de matrius A=B.C • Matrius diagonalitzades en bloc 3 blocs 2x2 3x3 1x1 • El producte de dues matrius diagonalitzades en bloc és una altra matriu diagonalitzada en bloc. • El producte de dues matrius diagonalitzades en bloc de la mateixa manera, és igual al producte de cada un dels blocs. C1=A1.B1 C2=A2.B2 C3=A3.B3 • Caràcter o traça d’una matriu quadrada

44. 3.2.- REPRESENTACIÓ MATRICIAL DE LES OPERACIONS DE SIMETRIA DEFINICIÓ PRÈVIA: BASE D’UNA REPRESENTACIÓ La base d’una representació és un conjunt format per un nombre de funcions linialment independents, {Фi}, de manera que l’acció d’un element del grup (una operació de simetria) sobre cada una d’aquestes funcions es pot escriure com una combinació linial d’aquestes funcions. Exemple: Base (x,y,z) (x,y,z) (x’’,y’’.z’’) Identitat: Ê (x,y,z) (x,y,z) Reflexió: σ (x,y,z) (x,y,-z) Ôp Ê σxy

45. Cn Rotació: Cn (angle de rotació θ); Cn // eix z (x,y,z) (x’,y’,z’) y x (x,y,z) y α x’=l cos(θ-α) y’=-l sin(θ-α) cos(θ-α)=cosθ cos α + sinθ sin α sin(θ-α)=sinθ cos α – cosθ sin α x θ x’= l cosθ cosα + lsinθ sinα = x cosθ + y sinθ y’=-l sinθ cosα+ lcosθ sinα = -x sinθ + ycosθ z’= z (x’,y’,z)

46. Sn Rotació impròpia Sn (angle de rotació θ); Cn // eix z σ= σxy (x,y,z) (x’,y’,-z) Sn= σh.Cn Com que podem construir qualsevol representació (és a dir, podem escollir qualsevol base de qualsevol dimensió) ens serà útil definir el: CARÀCTER D’UNA REPRESENTACIÓ “El conjunt dels caràcters de les matrius d’una representació: χ()

47. Exemples: • Grup C2h {E, C2, σh, i} h=4 Base: (x,y,z) E C2 σh i χ(Γ) 3 -1 -1 -3 Per aquest grup es podria comprobar que la taula de multiplicació del grup, i la taula de multiplicació de la representació són iguals.

48. 2 3 4 1 • Grup C2h Base: àtoms de la molècula E C2 σh i χ(Γ) 4 0 4 0 Observacions: • Els caràcters de les dues representacions són diferents. • El caràcter de E “sempre”és igual a la dimensió de la representació.

49. d1 d2 d3 • Grup C3v {E, C31,C32,σ1, σ2, σ3) Base: {d1, d2, d3} dim=3 E C31 C32 σ1 σ2 σ3 χ(Γ) 3 0 0 1 1 1 Observacions: • Els elements que pertanyen a la mateixa classe tenen el mateix caràcter. Per això: E 2C3 3σ χ(Γ) 3 0 1 • Les matrius NO estan diagonalitzades per blocs. C31.C321 classe σ1σ2σ3 1 classe

50. Les podem diagonalitzar per blocs? SI, si apliquem la transformació de semblança adecuada. Per exemple: Apliquem la transformació de semblança a un dels elements de cada classe.