Was ist Mathematik?

1. Didaktik der Mathematik Referenten: Luise Mielke und Martin Herold Dozent: Professor Jahnke Was ist Mathematik?

2. Gliederung 1. Überblick 2. Diskussionsrunde Was ist Mathe Anwendung Notwendigkeit Gebiete Gefühle 3. Was denkt wer über Mathematik? 4. Darf ich vorstellen: Mathematik 5. Geschichtlicher Abriss 3000 v. Chr. – 0 - die Kindheit der Mathematik Fibonacci, Euler, Gauß, Cantor – Damals und Heute 6. Aufbau einer jeden Mathematik 7. Mathematische Teilgebiete 8. Instrumente der Mathematik – Damals und Heute 9. Mathematik ist nützlich: Anwendungsbereiche der Mathematik 10. Was ist ein Mathematiker? 11. Reflexion der Diskussionsrunde

3. 2. Diskussionsrunde • Was ist Mathematik

4. 2. Diskussionsrunde • Anwendung

5. 2. Diskussionsrunde • Notwendigkeit

6. 2. Diskussionsrunde • Gebiete

7. 2. Diskussionsrunde • Eure Gefühle für Mathematik

8. 3. Was denkt wer über Mathematik? • „Die Mathematik muss man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.“ (M.W. Lomonossow) • „Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.“ (Jean-Jacques Rousseau) • „Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit.“ (Georg Cantor) • „Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner.“ (Jakob I. Bernoulli)

9. 3. Was denkt wer über Mathematik? • „Du wolltest doch Algebra, da hast du den Salat.“ • (Jules Verne) • „Wer die erhabene Weisheit der Mathematik tadelt, • nährt sich von Verwirrung.“ (Leonardo da Vinchi) • „Alles was lediglich wahrscheinlich ist, ist • wahrscheinlich falsch.“ (Rene Descartes) • „Wer die Geometrie begreift, vermag in dieser Welt • alles zu verstehen.“ (Galileo Galilei) • „Die Natur ist in der Sprache der Mathematik • geschrieben.“ (Galileo Galilei) • „Math is like Ophelia in Hamlet — charming and a bit • mad.“ (Alfred North Whitehead)

10. 4. Darf ich vorstellen: Mathematik • Altgriechisches Verb: manthánō : „Ich lerne“ • Griechisches Adjektiv: mathēmatikē : „zum Lernen gehörig“ • „Wissenschaft welche aus der Untersuchung von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstand“ • Bis heute ist keine allgemeingültige Definition existent • Auch streitet man darüber ob Mathematik zu den Naturwissenschaften gehört, oder vielleicht sogar zur Philosophie • Auf jeden Fall gilt sie als die älteste „Wissenschaft“ • Mathematisches Grundverständnis gilt als Vorraussetzung zum Verständnis aller Geistes- und Naturwissenschaften (frei nach Platon) • Deduktiver Charakter  von der Hypothese zur Schlussfolgerung

11. 4. Darf ich vorstellen: Mathematik • Mathematik ist kumulativ  Alles baut aufeinander auf • mittlerweile derart viele spezielle Teilgebiete  unmöglich die gesamte Mathematik zu kennen • Mathematiker spezialisieren sich deshalb nur auf wenige Teilgebiete • Ziel: Finden einer interessanten ewigen Wahrheit • einmal streng logisch bewiesen: zeitlose Wahrheit  einmal Mathematik, immer Mathematik  exakte Wissenschaft • Mathematiker arbeiten heutzutage innerhalb inter-nationaler Netzwerke zusammen, denn bis jetzt und in nächster Zukunft gilt es noch viele mathematische Probleme zu lösen

12. 4. Darf ich vorstellen: Mathematik • Die Sprache der Mathematik besteht aus Formeln und • Fachbegriffen • Obwohl sie die grundlegendste aller Wissenschaften • ist, gibt es für sie keinen Nobelpreis • Mathematik ist allgegenwärtig • (vgl. Anwendungsgebiete) • Mathematik polarisiert seit Jahrhunderten die • Menschheit  entweder man hasst sie, oder man liebt sie

13. 5. Geschichtlicher Abriss 3000 v. Chr. – 0 - die Kindheit der Mathematik Kurzer Zeitablauf: • Babylonien 3000 - 700 v.Chr • Ägypten 3000 - 1600 v.Chr. • Griechenland 600 - 100 v.Chr. • Griechisch-Römisches Imperium 150 - 525 n.Chr. • Islamische Welt 750 - 1450 n.Chr. • Westliche Welt 1100 - 1600 n.Chr. • Moderne 1600 n.Chr. - Heute

14. Babylonien 3000 - 700 v.Chr Zahlen basieren auf einem Hexadesinal System Es können alle natürlichen Zahlen dargestellt werden Und Rationale Zahlen mit Nenner mit Primfaktorzerlegung 2,3,5 enthalten. Besaßen Geometrisch Aufgaben von Typ: Man hat x Meter Zaun und muss eine Fläche Y umschließen, wie müssen a und b geschaffen sein. Erste Aufgaben ohne Zweck nur zum Rechnen üben Rechneten überwiegend mit Multiplikationstabellen 5. Geschichtlicher Abriss 3000 v. Chr. – 0 - die Kindheit der Mathematik

16. 5. Geschichtlicher Abriss 3000 v. Chr. – 0 - die Kindheit der Mathematik Ägypten 3000 - 1600 v.Chr. • Zahlen basieren auf einem Dezimalsystem • Es können alle natürlichen Zahlen dargestellt werden • Und Rationale Zahlen mit Zähler 1 • Brüche von anderem Typ müssen in Stamm Bruchdarstellung geschrieben werden • Konnten bereits Volumen der Pyramiden exakt bestimmen • Lineare und Quadratische Gleichungen konnten geometrisch gelöst werden  Begründung der Geometrischen Algebra • Erste Aufgabensammlung in den Papyrus-Rind und Papyrus-Moskau

18. 5. Geschichtlicher Abriss 3000 v. Chr. – 0 - die Kindheit der Mathematik Griechenland 600 - 200 v.Chr. Vertreter: • Thales von Milet • Pythagoras und die Pythagoreer • Hippasos von Metapont • Eudoxos • Aristoteles • Hippokrates • Euklid • Archimedes

19. 5. Geschichtlicher Abriss 3000 v. Chr. – 0 - die Kindheit der Mathematik Thales von Milet Formulierter mehrere geometrische Sätze Unter anderem: Satz des Thales

20. 5. Geschichtlicher Abriss 3000 v. Chr. – 0 - die Kindheit der Mathematik Pythagoras und die Pythagoreer • Die Zahl rückt in den Mittelpunkt. • Prägen den begriff der „Kommensurabilität“ • „Zwei gleichartige Größen besitzen steht eine „Einheit“, so dass Die Größen ein Verhältnis haben.“ Seinen G1 und G2 gleichartig  ex. Einheit e, so dass m*e = G1 und n*e = G2  G1 : G2 = m : n

21. 5. Geschichtlicher Abriss 3000 v. Chr. – 0 - die Kindheit der Mathematik s d Hippasos von Metapont • Entdeckte als erster Inkommensurable Größen im Ordenszeichen der Pythagoreer d/s ≠ Q

22. 5. Geschichtlicher Abriss 3000 v. Chr. – 0 - die Kindheit der Mathematik Eudoxos • Löst Problem durch das „Prinzip des Eudoxos“ a : x = x : b  a/x = x/b  x = ab  x = ab • Diese Anschauung löst Problem der Quadrate ohne die Wurzel zu betrachten wir 2 √

23. 5. Geschichtlicher Abriss 3000 v. Chr. – 0 - die Kindheit der Mathematik Euklid • Schrieb die „Elemente“, ist eine Zusammenfassung der bekannten Mathematik in 13 Büchern • Aufbau: Axiome, Postulate, Beweise • Buch I Geometrie • Buch VII Mengentheorie • Buch XIII Platonische Körper

24. 5. Geschichtlicher Abriss Leonardo Fibonacci • Leonardo von Paris, Filius Bonacci • (Sohn des Bonacci) • geschätzte Lebensdaten 1180-1240 • Rechenmeister aus Paris Bedeutendster • Mathematiker des Mittelalters • Bereiste Mittelmeerraum und arabische Länder • Schrieb 1202 die Erkenntnisse der Reisen über • Algebra und Arithmetik in seinem Werk Liber • Abaci (Buch des Rechnens)nieder • Darin beschrieb er auf Latein die schriftlichen • Rechenverfahren, die wir heute in der • Grundschule erlernen

25. 5. Geschichtlicher Abriss Leonardo Fibonacci • Führte die arabische Schreibweise der • Zahlen in Europa ein, und löste damit • die Römische ab • Fibonacci Folge: • fn=fn-1+fn-2 f1=1, f2=1 • Quotient zweier Folgeglieder • konvergiert gegen goldenen Schnitt

26. Die Fibonacci-Spirale

27. 5. Geschichtlicher Abriss Pierre de Fermat • 1607-1665 • Französischer Jurist • Freizeit-Mathematiker • Studierte die Schriften von Euklid und Apollionus • befasste sich mit der Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung • und Differentialrechnung • Untersuchte Minimum und Maximum sowie die Zusammensetzung • und Zerlegung von Zahlen

28. 5. Geschichtlicher Abriss Pierre de Fermat • Und trug damit einen wesentlichen Teil zur • Entwicklung der analytischen Geometrie bei • Nach ihm sind die Fermat`schen zahlen und der • kleine und große Fermat`sche Satz benannt • Fermats großer Satz: a^n+b^n=c^n kann nur für n=2 • gelten • Großer Satz konnte erst 300 Jahre später durch • Andrew Whiles bewiesen werden (jedenfalls die • Theorie dahinter)

29. 5. Geschichtlicher Abriss Leonhard Euler • 1707-1783 Basel / Schweiz • Studierte bei Johann Bernoulli • Erblindete 1771 forschte trotzdem noch weiter • viele mathematische Symbole (Summenzeichen, e) gehen • auf ihn zurück • gilt als Begründer der Analysis • Beschäftigte sich mit Differential- und Integralrechnung, • Zahlentheorie, Algebra • Insgesamt gibt es 866 Publikationen von Euler, darunter:

30. 5. Geschichtlicher Abriss Leonhard Euler • "Introductio in analysin infinitorum" 1748 •  Begriff der Funktion f(x) • Über 50x Euler: Eulersche Zahl: e; • Eulerschen Relation: e^iπ+1=0 • "Lettres à une princesse d'Allemagne" (1768) •  Grundzüge der Physik, der Astronomie, der • Mathematik, der Philosophie und der Theologie • „Euler fehlte nur eine Eigenschaft zu einem • vollkommenen Genie: nämlich unverständlich • zu sein.„ (Georg Ferdinand Frobenius 1917) • Euler erfand das Mathematik-Rätsel-Spiel • Soduko

31. 5. Geschichtlicher Abriss Carl-Friedrich Gauß • 1777-1855 Braunschweig/ Deutschland • Gilt als Fürst der Mathematiker • Motto: 'Pauca sed matura' • (Weniges, aber Reifes) • Konnte eher rechnen als sprechen (er über sich) • Soll bereits mit 3 Jahre die Lohnabrechnung seines Vaters • korrigiert haben, galt als wahres Wunderkind, deswegen • gefördert und unterstützt • Grundschule: benutzte Summenformel: • s=n(n+1)/2 (der kleine Gauß)

32. 5. Geschichtlicher Abriss Carl-Friedrich Gauß • Entwickelte die Methode der kleinsten • Quadrate (Flächeninhaltsberechnungen), • bewies Fundamentalsatz der Algebra (1799), • konstruierte mit Zirkel und Lineal regel- • mäßiges 17-Eck, entwickelte Anwendung • unendlicher Reihen (Wesen der Analysis) • 1801: Disquisitiones Arithmeticae - Zahlentheorie • Mit 19 vermass er im Auftrag des Königs Georg IV • dessen Reich Hannover • Nach im benannt: Gaußsche Glockenkurve, • Eliminationsverfahren

35. 5. Geschichtlicher Abriss Georg Cantor • 1845-1918 deutscher Mathematiker • Schüler von Weierstrass und Kronecker • Litt seit dem 41 Lebensjahr an manischer • Depression • Gilt als Begründer der Mengenlehre • Beschäftigte sich mit Äquivalenz, Mächtigkeit und Abzählbarkeit von • Mengen und entwickelte das noch heute verwendete • Diagonalverfahren

36. 5. Geschichtlicher Abriss Georg Cantor • Entwickelte Theorie der Kardinalzahlen, bewies • Überabzählbarkeit der • reellen Zahlen • Zeigte auch Interesse an Philosophie und • Literaturwissenschaft  suchte nach wahrem • Autor der Shakespeare Stücke • War Mitbegründer und Vorsitzender der deutschen • Mathematiker-Vereinigung (1890) • "Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns • niemand vertreiben können." (David Hilbert)

37. Das Diagonalverfahren

38. Alles beginnt bei den Axiomen  Grundsatz, als gültig anerkannt muss (kann oft) nicht bewiesen werden Aus den Axiomen werden Aussagen hergeleitet, die sich, einmal streng logisch bewiesen, Satz nennen dürfen Die wichtigsten Sätze sind Fundamentalsätze Zum Beweis des Satzes werden häufig Lemmata (Hilfssätze zu gezogen) Lemmata beweisen „einfache“ aber nicht triviale Tatsachen der Mathematik, welche Vorraussetzungen für ein Satz darstellen 6. Aufbau einer jeden Mathematik

39. 6. Aufbau einer jeden Mathematik • Definitionen, auf Eigenschaften eines Sachverhaltes • basierende Benennung/ Bezeichnung • Einfache Schlussfolgerungen aus den Sätzen und • Definitionen nennt man Korollar (lat. Die Zugabe)  • Beweise folgen auf Grundlage des Satzes und sind oft • mit wenig Zeitaufwand durchführbar

40. 7. Mathematische Teilgebiete

41. 7. Mathematische Teilgebiete Bis 1868 gab es folgende Forschungsgebiete ● Geschichte und Philosophie ● Analytische Geometrie ● Algebra ● Synthetische Geometrie ● Zahlentheorie ● Mechanik ● Wahrscheinlichkeitsrechnung ● Mathematische Physik ● Reihen ● Geodäsie und Astro. ● Diff.- / Integralrechnung ● Funktionentheorie und 38 Unterabteilungen 1979 bereits ca. 4000

42. Kopf? Finger? Sand?.... Tafel? Kreide?... Zettel? Stift? 8. Instrumente der Mathematik – Damals und Heute

43. Während Archimedes in die Mathematik vertieft Formeln in den Sand schreibt , bemerkt er nicht, dass hinter im der Krieg beginnt

44. Kopf? Finger? Sand?.... Tafel? Kreide?... Zettel? Stift? „Mathematik wird mit einem Minimum an Instrumenten und einem Maximum an Hirntätigkeit betrieben“  klassische Sicht Minimum der Instrumente: Schreibutensil  wichtig zur Verbreitung und Überlieferung Lineal und Zirkel  Konstruktionen in der euklidischen Geometrie (zur Konstruktion regelmäßiger n-Ecke) Abakus (Rechentafel, 1100 v. Chr. Erfunden)  Arithmetik) 8. Instrumente der Mathematik – Damals und Heute

46. Kopf? Finger? Sand?.... Tafel? Kreide?... Zettel? Stift? „Mathematik wird mit einem Minimum an Instrumenten und einem Maximum an Hirntätigkeit betrieben“  klassische Sicht Minimum der Instrumente: Schreibutensil  wichtig zur Verbreitung und Überlieferung Lineal und Zirkel  Konstruktionen in der euklidischen Geometrie Abakus (Rechentafel, 1100 v. Chr. erfunden)  Arithmetik Rechenschieber  Multiplikation/ Division 8. Instrumente der Mathematik – Damals und Heute

47. Der Rechenschieber (Anfang 20. Jahrhundert)

48. Kopf? Finger? Sand?.... Tafel? Kreide?... Zettel? Stift? „Mathematik wird mit einem Minimum an Instrumenten und einem Maximum an Hirntätigkeit betrieben“  klassische Sicht Minimum der Instrumente: Schreibutensil  wichtig zur Verbreitung und Überlieferung Lineal und Zirkel  Konstruktionen in der euklidischen Geometrie Abakus (Rechentafel, 1100 v. Chr. erfunden)  Arithmetik Rechenschieber  Multiplikation/ Division) Taschenrechner (Berechnung von Wurzeln, Logarithmen etc.) Computer  kann dem Mathematik-Betreibenden viel Arbeit abnehmen (Maple), ist deswegen aber auch manchmal verpönt. Dient weiterhin zur Veranschaulichung Instrumente der Mathematik– Damals und Heute

49. Mathematik ist nützlich: Anwendungsbereiche der Mathematik Intergal- und Differenzialrechung Physik (Mechanik) Vektorgeometrie Physik, Architektur Variationsrechnung Physik (Beschreibung (Lagrange) komplexer Bewegungsprozesse Reihenentwicklung Approximation von Funktionen (Taylor, Fourier) Geologie, Physik

50. Taylorreihe