1 / 13

Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą Rungego - Kutty

Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą Rungego - Kutty. Wykonał: Łukasz Klof Kierunek : Mechanika i Budowa Maszyn Specjalność: Mechanika Komputerowa Semestr: VII. Cel pracy.

liuz
Download Presentation

Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą Rungego - Kutty

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą Rungego - Kutty Wykonał: Łukasz Klof Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Specjalność: Mechanika Komputerowa Semestr: VII

  2. Cel pracy Celem pracy jest utworzenie programu całkującego równanie ruchu układu drgającegoo jednym stopniu swobody metodą Rungego - Kutty. Należy znaleźć funkcje określającepołożenie oraz prędkość masy. W tym celu trzeba rozwiązać równie różniczkowe ruchu, które dla danego układu przybiera postać:

  3. Wzory Rungego - Kutty Najlepszą metodą przybliżonego rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych oraz ich układów, nadającą się dla elektronicznych maszyn cyfrowych, jest metoda Rungego - Kutty (RK). Metoda RK drugiego rzędu, dla równania Wykorzystuje się tu wzory:

  4. Wzory Rungego – Kutty c.d. Proces obliczeniowy jest następujący: (I) Należy wybrać wielkość kroku całkowania h. (II) Ze wzorów oblicza się k1 i k2. (III) Ze wzoru oblicza się yn+1. Przy obliczaniu yn+2, yn+3, .... powtarza się kolejno kroki (I), (II), (III).

  5. Wzory Rungego – Kutty c.d. Formuły trzeciego rzędu: k1 = hf(x0, y0) k2 = hf(x0+h/2, y0+k1/2) k3 = hf(x0 + h, y0 - k1 + 2k2) Δy = (k1 + 4k2 + k3 ), formuły czwartego rzędu: k1 = hf(x0, y0) k2 = hf(x0+h/2, y0+k1/2) k3 = hf(x0 + h/2, y0 + k2/2) k4 = hf(x0 + h, y0 + k3) Δy = (k1 + 2k2 + 2k3 + k4).

  6. Oszacowanie błędu Znając już wartość funkcji yn=y(xn), oblicza się ze wzorów określonych metodą RK wartość [1]yn+1=y(xn+h). Następnie powtarza się obliczenia, ale z krokiem dwa razy mniejszym (h/2), tak że po dwukrotnym zastosowaniu wzorów RK oblicza się ponownie wartość [2]yn+1=y(xn+h). Można teraz łatwo sprawdzić przybliżoną wartość błędu gdzie k jest rzędem metody.

  7. Program komputerowy Program umożliwia numeryczne rozwiązanie równań opisujących drgania nieliniowe układu używając w tym celu wzorów Rungego – Kutty czwartego rzędu: gdzie: m – masa, c – tłumienie, k – sztywność sprężyny, k*- nieliniowość. Zakładamy również warunki początkowe x(0) oraz .

  8. Program komputerowy c.d. Powyższe równanie należy zapisać w postaci dwóch równań pierwszego rzędu: Warunki początkowe x1(0) oraz x2(0).

  9. Rozwiązanie

  10. Rozwiązanie c.d.

  11. Rozwiązanie c.d. Wyniki otrzymane przy pomocy programu RK. Dla drugiego kroku Dla trzeciego kroku

  12. Wnioski Różnice pomiędzy otrzymanymi wynikami w obydwu programach są bardzo niewielkiei wynikają z dokładności obliczeń poszczególnych programów. Metoda Rungego – Kutty, ze względu na nie skomplikowany proces programowania oraz dużą dokładność otrzymywanych wyników jest wykorzystywana do rozwiązywania równań różniczkowych w wielu programach (np. MATLAB).

  13. Literatura [1] Rao S. S.: Mechanical vibrations. Addison-Wesley Publishing Company, 1986 [2] Jan Kruszewski, Stefan Sawiak, Edmund Wittbrodt.: Wspomaganie komputeroweCAD/CAM Metoda sztywnych elementówskończonych w dynamice konstrukcji.Wydawnictwa Naukowo – Techniczne, Warszawa 1999. [3] Jean Legras: Praktyczne metody analizy numerycznej. Wydawnictwa Naukowo – Techniczne, Warszawa 1974.

More Related