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DISTRIBUCIÓN NORMAL

DISTRIBUCIÓN NORMAL. Tema 15. Aproximación BINOMIAL  NORMAL. Tema 15.5 * 1º BCS. LA NORMAL COMO APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL.

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  1. DISTRIBUCIÓN NORMAL Tema 15 Matemáticas Aplicadas CS I

  2. Aproximación BINOMIAL  NORMAL Tema 15.5 * 1º BCS Matemáticas Aplicadas CS I

  3. LA NORMAL COMO APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL • El cálculo de las probabilidades de los sucesos binomiales, B(n,p) exigen una serie de operaciones que para valores de n >13, resultan un tanto arduos al no disponer de Tablas para los valores de n tan grandes. • Tales inconvenientes pueden eliminarse, pues para valores grandes de n, la distribución binomial se aproxima bien mediante una distribución normal. Matemáticas Aplicadas CS I

  4. A partir de n=25 la poligonal de la binomial no se distingue de la campana de Gauss correspondiente. • Esta aproximación o ajuste puede hacerse siempre que se cumpla: • n.p ≥ 5 • y n.q ≥ 5 • obteniéndose un ajuste muy bueno si “p” está próximo a 0,5 • Una vez cumplidos los requisitos anteriores, la normal que mejor se aproxima o ajusta será: • N(n.p , √(n.p.q) ) Matemáticas Aplicadas CS I

  5. Ejemplo_1 • En una distribución B(150, 0’45), calcula P (x ≥ 60). • Calculamos la media y la desviación típica: • N(n.p , √(n.p.q) ) • μ=n.p = 150.0’45 = 67,50 • σ=√(n.p.q) = √(150.0’45.0’55) = √ 37,125 = 6,0930 • Miramos los productos n.p y n.q • n.p = 150.0’45 = 67,5 > 5 • n.q = 150.0’55 = 82,5 > 5 • B(150, 0’45)  N(67’5, 6’093)  N(0,1) • P(x ≥ 60) = P(x’ ≥ 59,5) = P [ z ≥ (59’5 – 67’5) / 6’0930)] = • = P ( z ≥ - 1,31) = P ( z ≤ 1,31) = 0,9049 .. Matemáticas Aplicadas CS I

  6. Ejemplo_2 • El 1% de los coches fabricados por una empresa son defectuosos. En una partida de 5000 coches, ¿cuál es la probabilidad de que haya más de 60 coches defectuosos?. • Es una binomial B(5000, 0’01) • Calculamos la media y la desviación típica: • μ=n.p = 5000.0’01 = 50 • σ=√(n.p.q) = √(5000.0’01.0’99) = √ 49,5 = 7,03 • Miramos los productos n.p y n.q • n.p = 5000.0’01 = 50 > 5 • n.q = 5000.0’99 = 4950 > 5 • B(5000, 0’01)  N(50, 7’03)  N(0,1) • P(x ≥ 60) = P(x’ ≥ 59,5) = P [ z ≥ (59’5 – 50) / 7,03] = • = P ( z ≥ 1,35) = 1 - P ( z ≤ 1,35) = 1 - 0,9115 = 0,0885 Matemáticas Aplicadas CS I

  7. Ejemplo_3 • En una urna hay 3 bolas rojas, 2 blancas y 5 verdes. Sacamos una bola, anotamos su color y la devolvemos a la urna. Si repetimos la experiencias 50 veces, ¿cuál es la probabilidad de sacar roja en más de 20 ocasiones?. • Probabilidad de sacar roja: P ( R ) = 3 / (3+2+5) = 0,30 • Éxito: p = 0,30 , donde n = 50 veces que repetimos el experimento. • Es una binomial B(50, 0’3) • Podemos calcular P(X>20) por la fórmula, pero sería muy laborioso al tenerla que repetir 20 ó 30 veces, ya que no hay Tablas para n=50. • Miramos si podemos ajustarla a una normal: • Calculamos la media y la desviación típica: • μ=n.p = 50.0’3 = 15 • σ=√(n.p.q) = √(50.0’30.0’70) = √ 10,50 = 3,24 • Miramos los productos n.p y n.q • n.p = 50.0’30 = 15 > 5 • n.q = 50.0’70 = 35 > 5 • Al ser ambos mayores que 5 podemos realizar tal ajuste. • B(50, 0’30)  N(15 , 3,24)  N(0,1) • P(x > 20) = P(x’ ≥ 20,5) = P [ z ≥ (20,5 – 15) / 3,24] = • = P ( z ≥ 1,6975) = 1 - P ( z ≤ 1,70) = 1 - 0,9554 = 0,0446 Matemáticas Aplicadas CS I

  8. AJUSTE DE DATOS A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Tema 15.6 * 1º BCS Matemáticas Aplicadas CS I

  9. Ejemplo_0 • Al preguntar a 100 familias por el número de hijos, hemos obtenido los resultados siguientes: • ¿Provienen estos datos de una distribución normal?. • 1.- Hallamos la media y la d. típica. • x =∑x.f / ∑.f = (0.10+1.14+2.25+3.26+4.15 +5.10)/ 100 = 2,52 • s =(∑x2.f / ∑.f) – x2 = • = [ (0.10+1.14+4.25+9.26+16.15 +25.10)/ 100 ] – 2,522 = 8,38 – 6,35 = 2,03 • 2.- Calculamos las Z correspondientes: • Z = (X – x) / s • – 0,50 – 2,5 / 2 = – 1,50 0,5 – 2,5 / 2 = – 1 • 1,50 – 2,5 / 2 = – 0,50 2,5 – 2,5 / 2 = 0 • 3,5 – 2,5 / 2 = 0,50 4,5 – 2,5 / 2 = 1 • 5,5 – 2,5 / 2 = 1,5 • Pues P(X=4) = P(3,5 < X < 4,5) Matemáticas Aplicadas CS I

  10. 3.- Hallamos las probabilidades teóricas de cada valor según la normal ajustada N(2,5 , 2) • Para ello empleamos la Tabla. • P(X=0)= P(- 1,5 ≤ Z ≤ - 1) = P(Z ≤ - 1) - P(Z ≤ - 1,5) = • = 1 – 0,8413 – 1 + 0,9332 = 0,0919 • P(X=1)= P(- 1 ≤ Z ≤ - 0,5) = P(Z ≤ - 0,5) - P(Z ≤ - 1) = • = 1 – 0,6915 – 1 + 0,8413 = 0,1498 • P(X=2)= P(- 0,5 ≤ Z ≤ 0) = P(Z ≤ 0) - P(Z ≤ - 0,5) = • = 0,5000 – 1 + 0,6915 = 0,1915 • P(X=3)= P(0 ≤ Z ≤ 0,5) = P(Z ≤ 0,5) - P(Z ≤ 0) = • = 0,6915 – 0,5000 = 0,1915 • P(X=4)= P(0,5 ≤ Z ≤ 1) = P(Z ≤ 1) - P(Z ≤ 0,5) = • = 0,8413 – 0,6915 = 0,1498 • P(X=5)= P(1 ≤ Z ≤ 1,5) = P(Z ≤ 1,5) - P(Z ≤ 1) = • = 0,9332 – 0,8413 = 0,0919 Matemáticas Aplicadas CS I

  11. 4. Calculamos las frecuencias teóricas fi = n.pi • Vemos que la suma de probabilidades es 0,7664 en lugar de 1, por lo que no podemos afirmar que provengan de una normal. • Podemos dar por bueno el ajuste realizado, sabiendo que habrá un pequeño error al interpolar valores. Matemáticas Aplicadas CS I

  12. AJUSTE DE UNA LEY NORMAL • Si tomamos los “n” datos obtenidos en una muestra de la población, debemos buscar un modelo teórico que mejor se ajuste a dichos datos, para poder interpolar o extrapolar valores no recogidos en la muestra. • La normal (teórica ) que mejor ajusta o aproxima unos valores muestrales observados ( de media “x” y desviación típica “σ” ) es aquella que posee por parámetros los mismos “x” y “σ”, la normal N(x, σ). • Pasos a seguir: • 1. Calculamos la media y la desviación. • 2. Tipificamos los extremos de las clases. • 3. Hallamos las probabilidades, pi, teóricas asignadas a cada clase según la normal ajustada N(x, σ ). • 4. Calculamos las frecuencias teóricas fi = n.pi Matemáticas Aplicadas CS I

  13. EJEMPLO • Se ha medido el tiempo ( en minutos ) que se tarda en normalizar el pulso tras un determinado ejercicio de Educación Física a 100 alumnos de la E.S.O. • 1.- La media es x= 19 y la desviación típica σ= 5,44 • 2.- Calculamos las clases tipificadas: • ti = (ai - 19) / 5,44 , siendo “ai” cada uno de los extremos • Así tenemos: • ai=7  ti=- 2,21 ; ai=11  ti=- 1,73 • ai=15 ti=- 1,47 ; ai=19  ti= 0,00 • ai=23  ti= 1,47 ; ai=27  ti= 1,73 • ai=31  ti= 2,21 Matemáticas Aplicadas CS I

  14. 3. Hallamos las probabilidades teóricas de cada clase según la normal ajustada N(19, 5'44) • Para ello empleamos la Tabla. • P(- 2'21 ≤ Z ≤ - 1'73) = P(- 1'73 ≤ Z) - P(Z ≤ - 2'21) = • = 0,9864 - 0'9582 = 0,0282 • P(- 1'73 ≤ Z ≤ - 1'47) = P(- 1'47 ≤ Z) - P(Z ≤ - 1'73) = • = 0,9582 - 0'9292 = 0,0290 • P(- 1'47 ≤ Z ≤ 0) = P(0 ≤ Z) - P(Z ≤ - 1'73) = • = 0,9292 - 0'5000 = 0,4292 • P(0 ≤ Z ≤ 1'47) = P(Z ≤ 1'47) - P(Z ≤ 0) = • = 0,9292 - 0'5000 = 0,4292 • P(1'47 ≤ Z ≤ 1'73) = P(Z ≤ 1'73) - P(Z ≤ 1'47) = • = 0,9582 - 0'9292 = 0,0290 • P(1,73 ≤ Z ≤ 2,21) = P(Z ≤ 2,21) - P(Z ≤ 1'73) = • = 0,9864 - 0'9582 = 0,0282 Matemáticas Aplicadas CS I

  15. 4. Calculamos las frecuencias teóricas fi = n.pi • Vemos que la suma de probabilidades es 0,9728 en lugar de 1, pero el error cometido en el ajuste es muy pequeño. • Podemos dar por bueno el ajuste realizado, sabiendo que habrá un pequeño error al interpolar valores. Matemáticas Aplicadas CS I

  16. Visión gráfica del ajuste. x-σ =19-5,44=13,56 x-2σ =19-10,88=8,12 x-3σ =19-16,32=2,68 x+σ =19+5,44=24,44 x+2σ =19+10,88=29,88 x+3σ =19+16,32=35,32 7 11 15 19 23 27 31 8,12 13,56 19 24,44 29,88 - 2,21 - 1,73 - 1,47 0 1,47 1,73 2,21 Matemáticas Aplicadas CS I

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