Chaînes de Markov et systèmes d’équations

1. Chaînes de Markovet systèmes d’équations Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

2. Introduction Nous présentons ici les notions de chaîne de Markov et de point invariant d’une telle chaîne. Nous utilisons la mise en situation que vous trouverez dans le volume à la page 40.

3. Mise en situation Supposons que, pour le cours que vous suivez actuellement, il y a deux livres sur le marché; représentons-les par A et B. Supposons de plus que 50% des professeurs qui donnent présentement ce cours se servent du livre A et 50% se servent du livre B. La répartition du marché entre ces deux livres peut être représentée par un vecteur probabilité : w0 = (0,50,5) ou par un diagramme comme celui ci-contre.

4. Évolution du marché S S Supposons de plus que les probabilités de changement d’état sont celles du tableau ci-dessous. On peut déterminer la répar-tition du marché pour les années suivantes en ajoutant de nouvelles branches à chaque extrémité du diagramme.

5. Définitions Vecteur probabilité On appelle vecteur probabilitétoute matrice 1xn constituée d’éléments non négatifs dont la somme est égale à 1. (0,2 0,4 0,4) est un vecteur probabilité. Matrice de transition On appelle matrice de transition toute matrice carrée dont les éléments sont non négatifs et telle que la somme des éléments de chaque ligne est égale à 1. est une matrice de transition.

6. Matrice de transition S S Représentons les probabilités de change-ment d’état par une matrice de transi-tion. On peut déterminer la répartition du marché pour les années suivantes par des produits de matrices. w0P = w1 w1P = w2 Remarque L’associativité du produit des matrices donne : w2= w1P = (w0P )P = w0P2

7. Évolution du marché Le tableau ci-contre donne la répar-tition du marché après n changements d’état. Il semble qu’à long terme le produit A occupera 25 % du marché et le produit B 75 %. Le marché va-t-il vraiment se sta-biliser avec le temps? Autrement dit, il s’agit de savoir s’il existe un vecteur probabilité w = (t1t2) tel que :

8. Établir l’équation matricielle S S S S On a une équation matricielle, mais elle n’est pas sous la forme qui permet de la résoudre par la méthode de Gauss-Jordan. Utilisons les propriétés pour la transformer. , produit par l’identité; , en regroupant; , par la distributivité; , par l’addition des matrices. , par transposition.

9. Établir l’équation matricielle S S S , transposition du produit; On a manifestement deux contraintes équivalentes et l’une d’elles peut être éliminée. Cependant, on a une autre contrainte. En effet, puisque le vecteur cherché est un vecteur probabilité, on doit avoir : t1 + t2 = 1 En substituant à la première contrainte, on a donc :

10. Solution S S Il faut résoudre le système d’équations : dont la matrice augmentée est : En résolvant, on trouve : On trouve donc : (t1t2) = (0,25 0,75) La solution du système d’équations confirme qu’à long terme, le livre A aura 25 % du marché et le livre B 75 %.

11. Point invariant S Point invariant d’une chaîne de Markov Un vecteur probabilité w est appelé point invariantd’une chaîne de Markovsi w = w • P, où P est la matrice de transi- tion de la chaîne. Procédure pour trouver le point invariant 1. Établir la matrice de transition. 2. Utiliser le produit matriciel pour établir les équations du point invariant et substituer à la première équation la ligne représentant l’équation t1 + t2 + ...+ tn= 1. 3. Résoudre le système d’équations. 4. Interpréter le résultat selon le contexte.

12. Part de marché S Trois compagnies de téléphone se disputent le marché. Une enquête a permis de déter-miner le diagramme de tran-sition ci-contre. Actuellement, l’état du marché est donné par : (0,3 0,4 0,3) a) Construire la matrice de transition. b) Trouver la répartition du marché dans un mois. c) Trouver la répartition du marché dans deux mois. d) Trouver le point invariant. e) Interpréter le résultat selon le contexte.

13. Solutions S S S S a) La matrice de transition est : b) La répartition du marché dans un mois sera : (0,35 0,35 0,30) c) La répartition du marché dans deux mois sera : (0,36 0,34 0,30) d) Le point invariant est : (0,3625 0,3375 0,30) e) Cela signifie qu’à long terme, la compagnie Telquel aura 36,25% du marché, ComTel 33,75% et PlacoTel 30%.

14. Application à la génétique Les chaînes de Markov sont très utiles dans le domaine de la génétique. Dans l’étude de croisement de porcs, on a constaté que certains avaient un poil long et que d’autres avaient un poil court. La longueur du poil est contrôlée par une paire de gènes que l’on notera A et a. Il y a trois types de génotypes possibles, soit AA, Aa (qui est le même que aA) et aa. Le gène A domine le gène a. On dira donc que le génotype AA est dominant, que le génotype Aa est hybride et que le génotype aa est récessif. Les porcs du type AA et Aa ont le poil long tandis que celui de type aa ont le poil court.

15. Application à la génétique S S Si on croise un porc quelconque avec un porc dominant, le tableau suivant décrit la matrice de transition à chaque croisement. a) Si un troupeau est constitué de 45% de porcs de type AA, de 15% de porcs de type Aa et de 40% de type aa, quel devrait être la distribution des génotypes suite à un croisement avec un porc dominant. b) Déterminer l’état stable de ce processus.

16. Application à la génétique c) Si on croise les porcs uniquement avec des porcs hybrides, la matrice de transition devient  Quel serait alors l’état stable d’un troupeau à long terme?

17. Solutions a) (0,525 0,475 0). Tous les porcs auront le poil long. 52,5 % auront le génotype AA et 47,5% auront le génotype Aa. b) L’état stable sera (1 0 0), ce qui signifie qu’à long terme tous les porcs auront le génotype AA. c) L’état stable sera (0,25 0,5 0,25), ce qui signifie qu’à long terme 25% des porcs auront le génotype AA, 50% le génotype Aa et 25% le génotype aa.

18. Application au comportement On place une souris dans le compartiment A du labyrinthe illustré. Chaque fois qu’elle en-tend une sonnerie, apeurée, elle change de compartiment en choisissant au hasard une des portes du compartiment où elle se trouve. a) Après trois périodes de temps, quelle est la probabilité que la souris se retrouve à nouveau dans le compartiment de départ? b) Sur une longue période de temps, quelle sera la distribution des visites dans chaque compartiment?

19. Sourissimo a) Les vecteurs probabilité pour les trois périodes sont : (0 1 0 0), (0,3333 0 0,3333 0,3333) et (0 0,6666 0,16665 0,1666665) Il est impossible que la souris soit dans le compartiment A après trois périodes, sauf si elle y fait un infarctus en entendant la sonnerie lors d’une de ses visites précédentes. b) Le point invariant est : (0,1250 0,3750 0,2499 0,2499) À long terme, la souris devrait être dans la case A 12,5% des fois, dans la case B 37,5%, dans la case C 24,9% et dans la case D 24,9% des fois.

20. Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie,section 11.3, p. 335 à 340. Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie,section 11.4, p. 364 et 367.