6.2 多元函数的微积分

1. 6.2 多元函数的微积分 主要内容： 一.多元函数的概念 二.二元函数的极限和连续 三.偏导数的概念及简单计算 四.全微分 五.空间曲线的切线与法平面 六.曲面的切平面与法线 七.多元函数的极值

2. 一.多元函数的概念 二元函数的定义： 设D是平面上的一个点集．如果对于每个点P(x，y)D， 变量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x、y的二元函数(或点P的函数)，记为 z=f (x，y)(或z=f (P)) 其中D称为定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量． 类似地可定义三元及三元以上函数． 当自变量的个数多于一个时,函数称为多元函数

3. z M0 O y y0 x0 x 二元函数的图形： 点集{(x，y，z)|z=f(x，y)，(x，y)D}称为二元函数 zf(x，y) 的图形． 二元函数的图形是一张曲面． 例 z=a x+by + c是一张平面，

4. y O x 由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f (x，y)是中心在原点， 半径为a的球面． 它的定义域为D ={(x，y)|x2y2 a 2}． 由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f (x，y)有两个：

5. 二.二元函数的极限和连续1.二元函数的极限 设函数f (x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点．如果对于任意给定的正数e 总存在正数d ，使得对于适合不等式 定义 的一切点P(x，y)D ， 都有 |f (x，y)A|<e 成立， 则称常数A为函数f (x，y)当x x0，y y0时的极限， 记为 这里r|PP0|． 我们把上述二元函数的极限叫做二重极限

6. 注意： (1) 二重极限存在，是指P以任何方式趋于P0时，函数都无限接近于A. (2) 如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在． 例 当点P(x，y)沿 x 轴、y 轴趋于点(0，0)时函数的极限为零， 当点P(x，y)沿直线y=kx 趋于点(0，0)时

8. 2.二元函数的连续性 定义： 设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义,P0(x0,y0) D ． 如果 则称函数f (x，y)在点P0(x0，y0)连续． 函数f (x，y)在区域(开区域或闭区域)D内连续： 是指函数f (x，y)在D内每一点连续．此时称f (x，y)是 D内的连续函数． 二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数 f(P)上去．

9. 例４　函数　　　　　　　　　　　　　　　　在单位圆　　　　　　例４　函数　　　　　　　　　　　　　　　　在单位圆　　　　　　 上各点是否连续？ 解：　如果 函数在单位圆上任何点都连续 若　　　在单位圆上任何点都不连续 所以函数在原点不连续.

10. 偏导数的概念及简单计算1. 偏导数的概念： 定义 设函数zf(x，y)在点(x0，y0)的某一邻域内有定义， 当y固定 相应地函数有增量 在y0而x在x0处有增量x时， f (x0x，y0)f(x0，y0) ， （１）如果极限 存在， 则称此极限为函数zf (x，y)在点(x0，y0)处对x的偏导数，记作

11. 存在， （２）如果极限 则称此极限为函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导数， 记作

12. 偏导函数： 如果函数zf(x，y)在区域D内每一点(x，y)处对x的偏导数都 存在， 它就称为函数zf(x，y) 那么这个偏导数就是x 、y的函数， 对自变量的偏导函数，记作 类似地， 可定义函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导 函数， 记为 偏导数与偏导函数的关系：

13. 2 .一阶偏导数的计算 注意： 看成二者之商.

14. 例3求zx23xyy2在点(1，2)处的偏导数． 解

15. 3. 二阶偏导数的计算 二阶偏导数： 设函数zf(x，y)在区域D内具有偏导数 那么在D内fx(x，y)、fy(x，y)都是x，y的函数．如果这两个函数 的偏导数也存在,则称它们是函数zf(x，y)的二偏导数． 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数

16. 其中 称为混合偏导数． 同样可得三阶、四阶以及n阶偏导数． 高阶偏导数: 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．

17. 解

18. 在对x求导就有 得证.

19. 4. 复合函数的微分法(链式法则) 设zf(u，v)，而uj(x，y)，vy(x，y)，则复合函数 zf [j(x，y)，y(x，y)]的偏导数为：

21. 四. 全微分 全增量： z f (xx，yy)f(x，y)称为函数在点P(x，y)对 自变量增量x、 y的全增量． 全微分的定义： 如果函数zf(x，y)在点(x，y)的全增量

22. 记作dz或df(x,y),即 或 可微:当函数z=f(x,y)在(x,y)全微分存在时,称z=f(x,y)在 (x,y)可微. 当函数z=f(x,y)在区域D的每一点都可微时,称z=f(x,y)在 区域D可微.

23. 定理1 函数z=f(x,y)在其一阶偏导数连续时一定可微. 定理2 函数z=f(x,y))在可微点连续. 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数 连续，则它可微,且其全微分为．

24. 解 由定义知 所以 得

25. 解 因为 所以

26. 设在空间曲线 上有一个定点 ， 在其邻近处取 上另一点 ， z 并作割线 M  令 沿 趋近 ， M 那么割线的极限位置  O 就是曲线 在点 y 的切线 x 五．空间曲线的切线与法平面 定义: T

27. z M  O y x 设空间曲线的参数方程为 x(t)，yy(t)，zw(t) 这里假定(t)， y(t)，w(t)都可导． 过曲线上tt0和tt0t对应的 点M和M，作曲线的割线MM ， 考虑 当M   M ，即t  0时． 得曲线在点M处的切线方程为

28. z M O y x 法平面： 通过点M而与切线垂直的平面 称为曲线在点M处的法平面. 法平面方程为: j (t0)(xx0)y (t0)(yy0)w (t0)(zz0)0．

29. 例9求曲线xt，yt 2，zt3在点(1，1，1)处的切线及法平面 方程. 数t1， 所以 于是，切线方程为 法平面方程为 (x1)2(y1)3(z1)0，即x2y3z6．

30. 六．曲面的切平面与法线 曲面的切平面： 曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在 同一个平面上．这个平面称为曲面在点M的切平面． 曲面的法线： 通过点M (x0，y0，z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该 点的法线． 曲面的法向量： 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量．

31. 其中函数z=f(x,y)具有连续的一阶偏导数, 法线的方程为

32. 切平面方程为：

33. 例10求抛物面z3x22y2在点P(1，-1，5)处的切平面方程及例10求抛物面z3x22y2在点P(1，-1，5)处的切平面方程及 法线方程． 解 f (x，y) 3x22y2， 所以在点(2，1，4)处的切平面方程为 6(x1)-4(y+1)(z5)0，即6x-4yz50． 法线方程为

34. 七．多元函数的极值 极值的定义： 设函数zf (x，y)在点(x0，y0)的某个邻域内有定义，对于该 邻域内异开(x0，y0)的点(x，y)：如果都适合不等式 f (x，y)<f(x0，y0)， 则称函数在点(x0，y0)有极大值f(x0，y0)；如果都适合不等式 f (x，y)>f(x0，y0)， 则称函数在点(x0，y0)有极小值f(x0，y0)． 极大值、极小值统称为极值．使函数取得极值的点称为极值点． 定理 有界闭域上的连续函数一定存在最大值和最小值．

35. = 4 z xy ( 0 , 0 ) 例 函数 在点 处既不取得极大值也不 取得极小值 例11函数z(x-2)2(y-3)2-1在点(2，3)处有极小值-1 因为在点(0，0)处的函数值为零， 而在点(0，0)的任一邻域内，总有使函数值为正的点， 也有使函数值为负的点．

36. 取得极值的必要条件： 定理 设函数zf (x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点 (x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： 驻点： 函数zf (x，y)的驻点． 注意： 函数的驻点不一定是极值点 极值点一定是驻点 如：函数 （０，０）点是其驻点，但不是其极值点．

37. 取得极值的充分条件： 定理 设函数zf (x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一 阶及二阶连续偏导数，又fx(x0，y0)0，fy(x0，y0)0，令 则f (x，y)在(x0，y0)处是否取得极值的条件如下： • AC B 2>0时具有极值，且当A<0时有极大值， • 当A>0时有极小值； (2) AC B 2<0时没有极值； (3)AC B 20时可能有极值，也可能没有极值．

38. 求二元函数极值的步骤： 第一步 解方程组 fx(x，y)0，fy(x，y)0， 求得一切实数解，即可得一切驻点． 第二步 对于每一个驻点(x0，y0)，求出二阶 偏导数的值A、B和C． 第三步 定出AC B 2的符号，按定理的结论判 f(x0，y0)是否是极值、是极大值 还是极小值．

39. 例12求函数f (x，y)x3y33x23y29x的极值． 求得驻点为(1，0)、(1，2)、(3，0)、(3，2)． 再求出二阶偏导数． fxx(x，y)6x6，fxy(x，y)0，fyy(x，y)6y6． 在点(1，0)处，ACB 212·6>0，又A>0，所以函数的(1，0) 处有极小值f(1，0)5； 在点(1，2)处，ACB 212·(6)<0，所以f (1，2)不是极值； 在点(3，0)处，ACB 212·6<0，所以f (3，0)不是极值； 在点(3，2)处，ACB 212·(6)>0，又A<0，所以函数的 (3，2)处有极大值f(3，2)31．

40. 八.小结 1 多元函数的概念 2 二元函数的极限 3 二元函数的连续性

41. 4 偏导数的概念及简单计算 (1) 偏导数的概念 (2) 一阶偏导数的计算 (3) 二阶偏导数的计算 (4) 复合函数的微分法 5 全微分

42. 6．空间曲线的切线与法平面 j (t0)(xx0)y (t0)(yy0)w (t0)(zz0)0． 7．曲面的切平面与法线 8. 多元函数的极值 函数极值的求法

43. 九.作业 习题6.2 2 , 4 , 6 , 8 , 10