M. en C. Arturo Lezama León Maestría en Ciencias, en Ciencias de la Computación.

1. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE PACHUCAMAESTRÍA EN TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIONESMatemáticas Discretas M. en C. Arturo Lezama León Maestría en Ciencias, en Ciencias de la Computación. Septiembre – Diciembre 2009

2. Objetivo • Al finalizar el curso el alumno deberá aprender un conjunto particular de realidades matemáticas, como aplicarlas y a pensar desde el punto de vista matemático para resolver problemas construyendo sus propios modelos.

3. Evaluación y acreditación • Para acreditar la asignatura deberá obtener una calificación mínima aprobatoria de 80 y se tomará en cuenta para la misma: discusión de artículos, participación en las sesiones teóricas, completamiento debido de las prácticas y promedio de los exámenes que a juicio del profesor se apliquen para promover el autoestudio y la obtención parcial de la competencia de que se trate.

4. Reglas del curso • Horario: 5 p.m. – 6:30 p.m. Lunes • Al término de la unidad se realizará un examen. • Para tener derecho a los exámenes se tendrá que entregar los trabajos impresos y engargolados en pasta negra. • Se formarán equipos funcionales de máximo tres personas, para la entrega de tareas. • La tolerancia es de 10 min a la entrada. • Más de dos faltas considérese reprobado en el curso. • El promedio de las calificaciones de las unidades = 80 % • Prácticas (ejercicios y aplicaciones) + Investigaciones = 20 % • Las prácticas deberán entregarse tres días antes del examen. • Las fechas de los exámenes no se pueden cambiar.

5. Contenido • Unidad I. Lógica Matemática (3 semanas) • Unidad II. Conjuntos (2 semanas) • Unidad III. Relaciones y Funciones (3 semanas) • Unidad IV. Algebra Booleana (3 semanas) • Unidad V. Introducción a los Grafos y Árboles (3 semanas)

6. Objetivo U.2. Conjuntos • Que el alumno conozca las bases de la teoría de conjuntos mediante la aplicación de las reglas que permiten definir de manera completa los elementos de los mismos, para comprender su fundamento.

7. 2 Conjuntos • 2.1. Definiciones básicas • 2.2. Lógica y teoría de conjuntos • 2.3. Notación • 2.4. Conjuntos especiales • 2.5. Conjuntos finitos e infinitos • 2.6. Operaciones con conjuntos • 2.7. Producto cartesiano • 2.8. Diagrama de Venn

8. 2.1. Definiciones básicas • Conjunto. Es cualquier colección bien definida de objetos llamados elementos o miembros del conjunto

9. Ejemplos • Los Números pares menores de 10 se representan como {2,4,6,8} • Enteros positivos menores que 4 = {1,2,3} Notas • El orden no es importante • Ej. {2,1,3},{3,1,2},{1,3,2} • Son representaciones del mismo conjunto sin ninguna propiedad en común • Los elementos repetidos pueden ser ignorados • Ej. {1,2,1,2,3} • Es otra repetición del mismo conjunto {a, b, c},{a, a, b, c,}

10. Ejercicios • 1. Sea A={1,2,4,a,b,c}. Identifique cada uno de los siguientes casos como verdadero o falso • 2 A • 3  A • C A •  A • {}  A • A  A

11. 2.2. Lógica y teoría de conjuntos • Igualdad de conjuntos • Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos A=B • A={a, b, c} B={a, a, b, c} A=B

12. Ejemplos • Si A={1,2,3} y B={x | x es un entero positivo y x2 < 12} por lo tanto A=B • {C,PASCAL, C++, JAVA}={PASCAL,C++,JAVA,C}

13. 2.3. Notación • Se usan letras mayúsculas (A,B,C,S,T,…) para denotar los conjuntos y letras minúsculas (a, b, c, x, y,…) para denotar los elementos. Denota cualquier característica del elemento del conjunto • Si indica que un elemento x se encuentra en un conjunto A de la siguiente forma. x  A y que no pertenece al conjunto x  A. • Muchas veces no se puede enumerar todos los elementos de un conjunto. • Una propiedad define si un elemento pertenece o no a ese conjunto con esa propiedad.

14. Ejemplos • Conjuntos enteros • Reales positivos En estos casos se pueden especificar una propiedad que todos los elementos tengan en común y que los defina de forma única, que denotaremos como P(x) y se define un conjunto como : {x|P(x)} que se lee: Conjunto de todos los elementos ‘x’ que tienen la propiedad P. Ej. • {x|x es un entero positivo menor que 4} que corresponde con {1,2,3} • {x|x es una letra de la palabra ‘byte’} es {‘b’, ’y’, ’t’,’ e’} • Z+ = {x|x es un entero positivo} • r = {x|x es un número real} • El conjunto que no tiene elementos se denota nulo o vacío. Su símbolo es  y se denota { } y se denomina conjunto vacio.  = {x| x es un numero real y x2 = -1}

15. Subconjunto • Si se cumple que todos los elementos de un conjunto A también son elementos de otro conjunto B, se dice que A es un subconjunto de B, se denota AB, o de otra forma A es un subconjunto de B si para todo x A entonces x B, A es un subconjunto propio de B para todo x A por tanto x B y A KB, se denota como A T B. • Si A no es subconjunto de B se denota A  B • Nota: Si A es un conjunto cualquiera se cumple que A  A

16. Ejemplo • Sean A={1,2,3,4,5,6}, B={2,4,5} y C={1,2,3,4,5} entonces • Sea A es un conjunto cualesquiera y S={A,{A}} entonces se tiene A S y {A} es S por tanto el conjunto {A}  S y {{A}}  S sin embargo A  S • También se cumple:  A

17. Ejercicios Sean • A={a, b, c} • B={a, a, b, c} • C={b, c} Indicar los elementos de las siguientes relaciones: C T A A  B A  B DIAGRAMA DE VENN B A B A

18. Ejercicios • Demostrar que A = B ssi A  B y B  A • P(x) =A=B={x | x  A y x  B} ssi A • Sea A={x | x es un número real y x<6} Identifique cada uno de los siguientes casos como verdadero o falso • 3  A • 6  A • 5 A • 8  A • -8  A • 3.4  A

19. 2.4. Conjuntos especiales • Z+ = {x | x es un entero positivo}, en consecuencia Z+ esta formado por los números usados para contar: 1,2,3,… • N= {x | x es un entero positivo}, en consecuencia N esta formado por los números enteros positivos: 0,1,2,3,… • Z = {x | x es un entero}, en consecuencia, Z esta formado por todos los enteros : …, -3,-2,-1,0,1,2,3,… • r = {x | x es un número real} • El conjunto que no tiene elementos se denota nulo o vacío. Su símbolo es  y se denota { } y se denomina conjunto vacio.  = {x| x es un numero real y x2 = -1}

20. Conjunto Universal Para cada discurso o análisis existe un conjunto universal U el cual contiene todos los objetos. Cualquier otro conjunto S mencionado en el discurso se supondrá que es subonjunto de U (S  U) se representa: • Cardinalidad Si un conjunto tiene una cantidad n de elementos entonces se dice que su cardinalidad es n y se denota |A|. Ejemplos: a. El conjunto {1,2,3}, tiene cardinalidad n=3 b. R={x | x es un numero real}, es un conjunto sin cardinalidad. (infinito)

21. Conjunto Potencia Si A es un conjunto, entonces el conjunto formado por todos los subconjuntos de A se llama conjunto potencia de A y se denota P(A), Todos los elementos. 2n (cardinalidad) Ejemplos: a. Sea {1,2,3} entonces P(A) se compone de los siguientes subconjuntos:  , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {1,2,3} = A Ejercicio: Para la figura obtener a. Las relaciones entre los conjuntos A, B, C b. Las relaciones entre los elementos x, y con respecto a los conjuntos A, B, C A .y B .x C

22. Ejercicios Obtener el conjunto potencia de: • {a,b,c,d} • {rojo,verde,azul}

23. Sucesiones Una sucesión es una lista de objetos, ordenada y numerada en orden natural creciente Ejemplo: a. La lista 1,4,9,15,25,…,n2,… es la sucesión infinita de todos los enteros elevados al cuadrado. El primero elemento es el 1, el segundo elemento es el 2 y así sucesivamente. b. En una sucesión todos los elementos no tienen que ser iguales. La lista 1,0,0,1,0,0,1,1,1 es una sucesión finita con elementos repetidos. Conjunto correspondiente a una sucesión Es el conjunto de todos los elementos distintos de la sucesión Ejemplo: a. El conjunto correspondiente a la sucesión 1,0,0,1,0,0,1,1,1, es {0,1} b. El conjunto correspondiente a la sucesión 1,4,9,16,25,n2,… es {1,4,9,16,25,…}

24. 2.5. Conjuntos finitos e infinitos • Conjunto numerable Un conjunto se denomina numerable ( o contable) si es el conjunto correspondiente a alguna sucesión, al conjunto que no puede contarse se le llama No Numerable. Notas. 1. Todos los conjuntos finitos son Numerables 2. Un conjunto infinito puede ser Numerable o No numerable Los reales entre 0 y 1 es no numerable, infinito. Todos los conjuntos infinitos pueden ser numerables y no numerables. Ejemplos: a. El conjunto de todos los números enteros. Numerable b. El conjunto de números reales en el intervalo (0,1) es no numerable. Numerable- Cuando se sabe que sigue No numerable- No se sabe

25. Alfabeto • Dado el conjunto S, se puede construir el conjunto S* de todas las sucesiones finitas de elementos de S. Frecuentemente S se denomina Alfabeto, y las sucesiones finitas de S* palabra. • Nota. • Se supone que S* tiene como elementos a la sucesión vacía, denotada como . • En este caso particular de sucesión es común escribirlas sin comas de separación entre sus elementos.

26. Ejemplos • Sea el alfabeto S={a, b, c, d,…,z}. Entonces son palabras del conjunto S*, manzana, silla, gshagaagakldlpd, etc. Es decir, todas las sucesiones finitas de S están en S*: “Juan habla rápido”, “Pepe corre bien”, “bien Juana lento Pepe”, como se puede observar algunas tienen sentido y otras no, pero todas son validas.

27. Arreglo lineal o lista • Es una estructura que parte de una sucesión. • Es una sucesión S=S1,S2,S3,… cada elemento esta completamente definido, es decir, si cambiamos cualquiera de los elementos S, de la sucesión se obtiene una sucesión diferente. Ejemplo: Si tenemos S=0,1,2,3,2,1,1 y se cambia el 3 por el 4 se obtiene la sucesión 0,1,2,4,2,1,1 que es diferente Un arreglo se interpreta como una “Sucesión de posiciones” finita o infinita, según el tamaño del arreglo. Arreglo S:

28. Notas. 1. Los elementos de un conjunto pueden asignarse a las posiciones del arreglo 2. El elemento asignado a la posición n se indicará como S(n) 3. La sucesión S(1), S(2), S(3),… será llamada la sucesión de valores del arreglo 4. Un arreglo es considerado bien definido aún cuando alguna de las posiciones no tenga valor asignado o si alguna cambia durante el análisis.

29. 2.6. Operaciones con conjuntos • Unión Si A y B son dos conjuntos, se define la “Unión” como el conjunto que contiene todos los elementos de A o B. Se denota A U B A U B = {x | x  A o x  B} Ejemplos: a. Si se tienen los conjuntos D={a,b,c,e} y V={a,e,i,o,u} entonces la unión D U V = {a,b,c,e,e,i,o,u} b. La unión entre dos conjuntos A={1,2,3,4} y B={0,5,6,7,8,9} es A U B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

30. Ejemplos • Nota Si una propiedad se satisface para todo el conjunto universo, es un teorema | A U B |=|A|+|B| A={1,2,3} | A U B|=7 B={a,b,c,d} |A|=3 A U B={1,2,3,a,b,c,d} |B|=4 Por lo tanto | A U B |=|A|+|B| es falso U U A B A B ≡

31. Generalización • En general se tiene, que si A1, A2, …, A n son conjuntos de U entonces: A1U A2U … U A n se denota: Tomando en cuenta que no haya elementos repetidos.

32. Intersección • Si A y B son dos conjuntos, su “intersección” se define como el conjunto que contienen todos los elementos que pertenecen tanto a A como a B. se denota A  B A  B = {x | x  A y x  B } Nota. Dos conjuntos que no tiene intersección se llaman “disjuntos” Ejemplo: a. Si se tienen los conjuntos D={a,b,c,e} y V={a,e,i,o,u}, entonces la intersección entre ellos es D  V = {a,e} b. La intersección entre A={1,2,3,4} y B={0,5,6,7,8,9} es A  B =  En general se tiene que si A1 A2  A3  …  A n se denota como:

33. Complemento • Si A y B son dos conjuntos se define el conjunto de B con respecto a A como el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A y no al conjunto B. Se denota A-B A-B={x | x  A y x B } Ejemplo: Si se tienen los conjuntos A = {a, b, c} y B={b, c, d, e}, entonces el complemento de B con respecto a A es: A-B={a} Escriba : B-A Si U es un conjunto universal y A es un conjunto de U, entonces U = A se llama “complemento” de A. Se denota y = {x | x  A}

34. Ejemplo • U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} • A={0,1} • B={0,2,4,6,8} • A-B={1} • = {2,3,4,5,6,7,8,9} • = {1,3,5,7,9}

35. Ejercicios • Si se tienen los conjuntos A={1,2,3,4,5,7}, B={1,3,8,9} y C= {1,3,6,7,8}, entonces la intersección entre ellos es: • Que le falta al conjunto de A para ser el conjunto universo. • Realizar los primeros 10 impares de las copias

36. Diferencia simétrica • Si A y B son dos conjuntos se define su “diferencia simétrica” como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o B pero no ambos, se denota:

37. Ejemplos a. Si se tienen los conjuntos D={a, b, c, d} y E = {a, c, e, f, g}, entonces la diferencia simétrica entre ellos es: DE ={b, d, e, f, g} D-E={b, d} E-D={e, f, g} (D-E)(E-D)= DE b. La diferencia simétrica entre A={1,2,3,4,5} y B={0,5,3,2,1,9} es AB={4,0,9} ó {0,4,9}

38. Propiedades algebraicas de las operaciones con conjuntos • Propiedades Conmutativas 1. A U B = B U A 2. A  B = B  A Demostración: • Si x  A U B entonces x  A o x B y por tanto x B U A luego A U B  B U A • Por otra parte, si x  B U A entonces x  B o x A y por tanto x  A U B luego B U A  A U B • Conclusión: Como A U B  B U A y B U A  A U B entonces A U B = B U A

39. Propiedades Asociativas 3. A U (B U C ) = (A U B) U C 4. A  (B  C) = (A  B)  C • Dibuje su diagrama de Venn

40. Propiedades distributivas • 5. A  (B  C) = (A  B)  (A  C) • 6. A  (B  C) = (A  B)  (A  C) • Dibuje sus diagramas de Venn

41. Propiedades de Idempotencia • 7. A  A = A • 8. A  A=A

42. Propiedades de Complemento 9. –(-A)=A 10. A  –A =U 11. A  -A =  12. -  = U 13. –U =  Leyes de Morgan 14. –(A  B)=-A  -B 15. –(A  B)=-A  -B Propiedades de conjunto universal 16. A  U = U 17. A  U = A Propiedades de conjunto vacío 18. A   = A • A   =  |{}| = 1 {}= 

43. Principio de adición • Sean A y B conjuntos finitos entonces |A  B|K |A|+|B| pero |A  B| = |A|+|B|-|AB| Ejemplo: a. Sean los conjuntos D={a, b, c, d} y E={a, c, e, f, g} entonces |D|=4 |E|=5 | DE|=2 |A  B| = |D|+|E|-| DE|=4+5-2=7 DE = {a, c} D  E = {a, b, c, d, e, f, g}

44. Ejercicios • Dados los siguientes conjuntos U={a, b, c, d, e, f, g, h, k}, A={a, b, c, g}, B={d, f, e, g} C={a, c, f}, D={f, h, k} Obtener: A  B = B C = A  C = B  D= A-B = -A = A B = A C = A  B  C = AB  C = -(A  B) = -(AB) = En una compañía de servicios telemáticos se necesitaron contratar 35 ingenieros en telecomunicaciones para instalación de cableado y a 50 para realizar aplicaciones si se pretende que 15 realicen ambas tareas, cuantos ingenieros en telecomunicaciones se necesitan contratar.

45. Encuesta de programadores. ¿Cuántos programadores se encuentran? a. 20 usan C b. 35 usan C++ c. 90 usan VB d. 10 usan C y C++ e. 25 usan C++ y VB f. 20 usan C y VB g. 5 usan los 3

46. Tarea • Dados los siguientes conjuntos U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A={1,2,4,6,8}, B={2,4,5,9} C={x | x es un entero positivo y x216}, D={7, 8} Obtener: A  B = A C = A  C = C  D= A-B = B-A = -A = A B =

47. Funciones características • Si A es un subconjunto del conjunto Universal U La función característica f A de A se define como: f A (x) = Nota. Se pueden ejecutar operaciones con las funciones características, puesto que sus valores son numéricos, como se explica a continuación. Propiedades de las funciones características Para todo x (a) f A  B = f A f B o f A B (x) = f A (x) f B (x) (b) f A  B = f A + f B - f A fB o f A  B (x) = f A (x) + f B (x)- f A (x) f B (x) (c) f A  B= f A + f B-2 f A f B o f A  B= f A (x)+f B (x) -2 f A (x) f B (x)

48. Ejemplos • Sea U={1,2,3,4,5,6}, A={1,2}, B={2,4,6} y C={4,5,6}, se puede construir arreglos utilizando las funciones características como sigue: U(x): A(x): B(x): C(x):

49. Sean los conjuntos siguientes U = {a, b, d, e, f, h, k, m, n} B={b} C={d, f, m, n} D={d, k, n} • Obtener: f B (h), f C (f) ,f C (b), f D (k), f D (a) • Representar por medio de arreglos de ceros y unos • B  C • C  D • C  D

50. 2.7. Producto cartesiano • Conjunto Producto Un par ordenado (a, b) es una lista de los objetos a y b con un orden prescrito, (a aparece en primer lugar y b en el segundo). Por consiguiente, un par ordenado es una sucesión de extensión 2 . Del concepto de sucesión se tiene que (a1, b1) y (a2, b2) son iguales ssi a1=a2 y b1=b2 . Si A y B son dos conjuntos vacios se define el conjunto producto A x B como el conjunto de pares ordenados ( a, b) donde a  A y b  B. También se denomina producto cartesiano. A x B = { (a, b) | a  A y b  B }