1 / 8

Esercizio n.19

Esercizio n.19. Ripetere l’esercizio 17 ma considerando anche la presenza di un attrito che si manifesta come una forza F A =  v dove  = 1 è il coefficiente d’attrito e v la velocità del corpo. Trattare il problema in coordinate cartesiane, considerando condizioni iniziali:

sage
Download Presentation

Esercizio n.19

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Esercizio n.19 Ripetere l’esercizio 17 ma considerando anche la presenza di un attrito che si manifesta come una forza FA = v dove  = 1 è il coefficiente d’attrito e v la velocità del corpo. Trattare il problema in coordinate cartesiane, considerando condizioni iniziali: x(0) = 1 ; y(0) = 1; (dx/dt)t = 0 =  0.5 ; (dy/dt)t = 0 = 0 e ricordando che l’energia potenziale gravitazionale è U(x,y) = m2r2/2 dove r2= x2 + y2 e = 4G/3 = 1. Confrontare con la soluzione analitica e commentare il risultato numerico, applicando, con uno ‘step’ t = 2/50, a) il leap-frog in t =[0,2] b) il leap-frog in t =[0,4] (che cosa succede alla soluzione numerica?) c) il leap-frog modificato con “correzione” applicata a n = 10 e n = 20

  2. Soluzione n.19 E’ un sistema di due equazioni differenziali omogenee a coeff. costanti del secondo ordine, la cui soluzione analitica, essendo  > /(2m), si può scrivere: x(t)=Aetcos( t + B) ; dx/dt = Aet[cos( t + B) + sin( t + B)] y(t)=Cetcos(t + D) ; dy/dt = Cet[cos( t + D) + sin( t + D)] con  = /(2m) e  = (2   2 )1/2

  3. Soluzione n.19 Analogamente per la y con C e D al posto, rispettivamente, di A e B. Dalle condizioni iniziali del problema ed essendo  = 1,  = 1, = /(2m) = 1/2, e  = (2   2 )1/2 = (3/4)1/2, abbiamo: A = 1; B = 0; C = (4/3)1/2; D = /6

  4. Soluzione n.19 Trasformiamo le (19.1) in un sistema di equazioni diff. del primo ordine!

  5. Soluzione n.19a Metodo Leap-frog t =[0,2] t = 2/50 xn = x(nt); yn = y(nt) vx(n) = vx(nt); vy(n) = vy(nt) x0 = 1; vx(0) =  1/2; y0 = 1; vy(0) = 0; x1 = x0 + vx(0)t vx(1) = vx(0) [2x0 + (/m) vx(0)]t xn +1 = xn  1 +2vx(n)t vx(n +1) = vx(n  1) [2xn + (/m) vx(n)]t analogamente per la y, vy Soluzione analitica: X(t)=et/2cos[(3/4)1/2t] Y(t)= (4/3)1/2et/2cos[(3/4)1/2t /6]

  6. Soluzione n.19b Metodo Leap-frog t =[0,4] t = 2/50 xn = x(nt); yn = y(nt) vx(n) = vx(nt); vy(n) = vy(nt) x0 = 1; vx(0) =  1/2; y0 = 1; vy(0) = 0; x1 = x0 + vx(0)t vx(1) = vx(0) [2x0 + (/m) vx(0)]t xn +1 = xn  1 +2vx(n)t vx(n +1) = vx(n  1) [2xn + (/m) vx(n)]t analogamente per la y, vy Soluzione analitica: X(t)=et/2cos[(3/4)1/2t] Y(t)= (4/3)1/2et/2cos[(3/4)1/2t /6]

  7. Soluzione n.19c Metodo Leap-frog “modificato” (vedi pag. 342) t =[0,4] t = 2/50 xn +1 = xn  1 +2vx(n)t vx(n +1) = vx(n  1) [2xn + (/m) vx(n)]t per n = 10 si sono usati invece i valori “corretti” definiti come segue, per poi “ripartire” normalmente da n = 12 lo stesso per y e vy

  8. Soluzione n.19c Metodo Leap-frog “modificato” (vedi pag. 342) t =[0,4] t = 2/50 xn +1 = xn  1 +2vx(n)t vx(n +1) = vx(n  1) [2xn + (/m) vx(n)]t per n = 10 e n = 20 si sono usati i valori “corretti” definiti come segue, per poi “ripartire” normalmente da n = 12 e 22 rispettivamente. lo stesso per y e vy

More Related