Sistem Persamaan Homogen Penulisan Dalam Bentuk Matriks Ruang Vektor Metoda Gauss-Jordan

1. Sistem Persamaan Homogen Penulisan Dalam Bentuk Matriks Ruang Vektor Metoda Gauss-Jordan

2. Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan Homogen Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai b di ruas kanan dari persamaan sistem bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu disebut tak homogen. Sistem persamaan homogen berbentuk Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah

3. Sistem Persamaan Linier Dari sini terlihat bahwa dan substitusi mundur akhirnya memberikan semua x bernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi trivial ini diakibatkan oleh kenyataan bahwa r = n. Solusi tak trivial hanya akan diperoleh jika . Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan Jika rank matriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui, r = n, sistem persamaan akhirnya akan berbentuk

4. Sistem Persamaan Linier Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadi keadaan Sistem Persamaan Homogen Yang Hanya Memberikan Solusi Trivial Contoh: Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah Rank matrik koefisien adalah4; banyaknya unsur yang tak diketahui juga 4. Sistem persamaan liniernya menjadi yang akhirnya memberikan

5. Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan Yang Memberikan Solusi Tak Trivial Contoh: Matriks gandengan dan hasil eliminasinya adalah eliminasi Gauss: Sistem persamaan menjadi

6. Sistem Persamaan Linier maka akan diperoleh Jika kita mengambil nilai Solusi ini membentuk vektor solusi . yang jika matriks koefisiennya digandaawalkan akan menghasilkan vektor nol b = 0

7. Sistem Persamaan Linier Jika kita menetapkan nilai xD yang lain, misalnya akan diperoleh vektor solusi yang lain, yaitu Penggandaawalan matriks koefisiennya juga akan menghasilkan vektor nol Vektor solusi x2 ini merupakan perkalian solusi sebelumnya dengan bilangan skalar (dalam hal ini 33), yang sesungguhnya bisa bernilai sembarang. Secara umum vektor solusi berbentuk dengan c adalah skalar sembarang

8. Sistem Persamaan Linier Vektor solusi yang lain lagi dapat kita peroleh dengan menjumlahkan vektor-vektor solusi, misalnya x1 dan x2. Jelas bahwa x3 juga merupakan solusi karena jika digandaawalkan akan memberikan hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusi dapat juga diperoleh dengan menjumlahkan vektor solusi yang kita nyatakan sebagai

9. Sistem Persamaan Linier Contoh di atas memperlihatkan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk vektor-vektor yang seluruhnya dapat diperoleh melalui perkalian salah satu vektor solusi dengan skalar serta penjumlahan vektor-vektor solusi. Kita katakan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk suatu ruang vektor. Dalam sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruang vektor yang terbentuk adalah ber-dimensisatu. Perhatikan bahwa setiap vektor solusi merupakan hasilkali skalar dengan vektor x1. Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh vektor solusi akan berdimensi (nr), yaitu selisih antara banyaknya unsur yang tak diketahui dengan rank matriks koefisien. Dalam kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya unsur yang tak diketahui adalah 3 sedangkan rank matriks koefisien adalah 2.

10. Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan Dengan Vektor Solusi Berdimensi 2 Contoh: Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui 4. Sistem persamaan menjadi

11. Sistem Persamaan Linier Jika kita memberi nilai kita akan mendapatkan Ganda-awal matriks koefisien dengan vektor ini akan memberikan vektor adalah salah satu vektor solusi .

12. Sistem Persamaan Linier adalah juga vektor-vektor solusi dan sebagaimana kita tahu vektor-vektor ini kita peroleh dengan memberi nilai . Jika Ax1 = 0, maka perkalian dengan skalar k akan memberikan dan Dengan kata lain, jika x1 adalah vektor solusi, maka ,

13. Sistem Persamaan Linier Jika akan kita peroleh yang membentuk vektor solusi dan Dengan skalar l sembarang kita akan memperoleh vektor-vektor solusi yang lain seperti Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalah Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor berdimensi 2.

14. Sistem Persamaan Linier Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang menyatakan bahwa solusi sistem persamaan linier homogen dengan n unsur tak diketahui dan rank matriks koefisien r akan membentuk ruang vektor berdimensi (nr).

15. Sistem Persamaan Linier Kebalikan Matriks Dan Metoda Eliminasi Gauss-Jordan Pengertin tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannya dengan pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian pengertian ini khusus ditujukan untuk matriks bujur sangkar nn. Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai matriks yang jika digandaawalkan ke matriks A akan menghasilkan matriks identitas. Kebalikan matriks A dituliskan sebagai A1 sehingga definisi ini memberikan relasi Jika A berukuran n n maka A1 juga berukuran n n dan demikian pula matriks identitasnya.

16. Sistem Persamaan Linier Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki kebalikan; jika A memiliki kebalikan maka A disebut matrikstak singular dan jika tak memiliki kebalikan disebut matriks singular. Jika A adalah matriks tak singular maka hanya ada satu kebalikan A; dengan kata lain kebalikan matriks adalah unik atau bersifat tunggal. Hal ini mudah dimengerti sebab jika A mempunyai dua kebalikan, misalnya P dan Q, maka AP = I =PA dan juga AQ = I =QA, dan hal ini hanya mungkin terjadi jika P = Q.

17. Sistem Persamaan Linier Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau persamaan matriks dari suatu sistem persamaan linier tak homogen, yaitu Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks A ke ruas kiri dan kanan persamaan ini, akan kita peroleh Persamaan ini menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh vektor solusi x dari sistem persamaan linier jika kebalikan matriks koefisien A ada, atau jika matriks A tak singular. Jadi persoalan kita sekarang adalah bagaimana mengetahui apakah matriks A singular atau tak singular dan bagaimana mencari kebalikan matriks A jika ia tak singular.

18. Sistem Persamaan Linier Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matriks koefisien A adalah matriks bujur sangkar nn, maka solusi tunggal akan kita peroleh jika rankA sama dengan n. Hal ini berarti bahwa vektor x pada persamaan di atas dapat kita peroleh jika rank A1 sama dengan n. Dengan perkataan lain matriks A yang berukuran n n tak singular jika rankA=n dan akan singular jika rankA <n. Mencari kebalikan matriks A dapat kita lakukan dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Metoda ini didasari oleh persamaan Ax = b. Jika X adalah kebalikan matriks A maka

19. Sistem Persamaan Linier Jika kita lakukan eliminasi Gauss pada Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan matriks gandengan ini berubah menjadi dengan U berbentuk matriks segitiga atas. Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada yaitu dengan mengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada U sehingga U berbentuk matriks identitas I. Langkah akhir ini akan menghasilkan

20. Sistem Persamaan Linier Contoh: Kita akan mencari kebalikan dari matriks Kita bentuk matriks gandengan Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini

21. Sistem Persamaan Linier Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan

22. Sistem Persamaan Linier Hasil terakhir ini memberikan kebalikan matriks A, yaitu Dengan demikian untuk suatu sistem persamaan linier tak homogen yang persamaan matriksnya vektor solusinya adalah

23. Sistem Persamaan Linier Kebalikan Matriks Diagonal Kebalikan matriks diagonal dapat dengan mudah kita peroleh. Kebalikan Dari Kebalikan Matriks Kebalikan dari kebalikan matriks adalah matriks itu sendiri.

24. Sistem Persamaan Linier Kebalikan Dari Perkalian Matriks Kebalikan dari perkalian dua matriks adalah perkalian dari kebalikan masing-masing matriks dengan urutan dibalik. Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut

25. Course Ware Sistem Persamaan Linier Homogen Sudaryatno Sudirham