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ÂNGULOS

ÂNGULOS. SILVIA MACÊDO. Ângulo. Região convexa. Semi-reta. Semi-reta. Região não- convexa. Origem. Ângulo: É a figura formada por duas semi - retas com a mesma origem. O ponto O , origem das semi-retas, denominado vértice do ângulo.

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ÂNGULOS

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Presentation Transcript

  1. ÂNGULOS SILVIA MACÊDO

  2. Ângulo Região convexa Semi-reta Semi-reta Região não- convexa Origem Ângulo: É a figura formada por duas semi - retas com a mesma origem.

  3. O ponto O, origem das semi-retas, denominado vértice do ângulo. As semi-retas OA e OB, denominamos lados do ângulo. Elementos do ângulo B A O Para identificar esse ângulo utilizamos a notação AÔB. Vértice do ângulo

  4. M O A P B O B A N C Ângulo ou Observação Quando não houver dúvida quanto ao ângulo a que nos referimos, podemos utilizar uma notação que indica apenas o seu vértice. Ângulo AÔB Ângulo AÔC Ângulo BÔC Ângulo Ô ou AÔB Nesse caso, há três ângulos com vértices em O: AÔB, BÔC e AÔC.

  5. Medida de um Ângulo • Medir um ângulo é determinar a abertura entre seus lados, isto é, compará-la com a abertura de outro ângulo, tomado como unidade. • A unidade padrão para medir ângulos é o grau. • Dividindo uma circunferência em 360 partes iguais, cada um dos ângulos centrais obtidos por essa divisão tem como medida 1 grau (1°)

  6. Medida de um Ângulo

  7. Medida de um Ângulo A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. O instrumento usado para medir ângulo é o transferidor. A unidade padrão utilizada para medir ângulo é o grau, representado pelo símbolo ( 0).

  8. Transferidor Transferidor de 360° Transferidor de 180°

  9. Utilizando o Transferidor Colocamos o transferidor de modo que o seu centro coincida com o vértice do ângulo. Identificamos na escala do transferidor o número interceptado pelo outro lado do ângulo. No exemplo abaixo, a medida do ângulo AÔB é 55°, e indicamos: med (AÔB) = 55°. Colocamos a escala correspondente ao zero no transferidor sobre um dos lados

  10. Vejamos mais um Exemplo

  11. Unidade de Medida A unidade padrão utilizada para medir um ângulo é o grau, representado pelo símbolo ( 0). 25°  lê-se: vinte e cinco graus. 12°  lê-se: doze graus. 148°  lê-se: cento e quarenta e oito graus.

  12. Submúltiplos do Grau Os submúltiplos do grau são: Minuto  ') Segundo  '' ) Exemplos: 18´  lê-se: dezoito minutos. 12´´  lê-se: doze segundos. 49´  lê-se: quarenta e nove minutos. 9´´  lê-se: nove segundos.

  13. Fixando Indique: Um ângulo de trinta e sete graus e vinte minutos. 37° 20´ Um ângulo de dez graus e dezoito minutos e vinte segundos. 10° 18´ 20´´

  14. 1 grau = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos Medida

  15. Relógio O relógio tem a forma de uma circunferência, 360° 30° 30° Foi dividido em 12 partes iguais. 360° : 12 = 30°

  16. 12 1 11 2 10 9 3 4 8 7 5 6 Exemplos Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 7 :00 horas? 5 x 30°= 150°

  17. 12 1 11 2 10 9 3 4 8 7 5 6 Exemplos Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 3 :00 horas? 3 x 30°= 90°

  18. 12 1 11 2 10 9 3 4 8 7 5 6 60´ 30° 30´ 15° : 2 : 2 Exemplos Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 3 :30 horas? 3 x 30°= 90° 90° - 15° = 75°

  19. 12 1 11 2 10 9 3 4 8 7 5 6 60´ 30° 30´ 15° : 2 : 2 Exemplo Quanto mede o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 8:30 horas? 2 x 30°= 60° 60° + 15° = 75°

  20. Transformação de Unidades Temos: Expressar 15° 12´ em minutos. 1° = 60´ 15° = (15 X 60)´= 900´ 1´ = 60´´ 1° = 3600´´ 900´+ 12´= 912´

  21. Exemplos 1° = 60´ Expresse em segundos 12° 20´14´´ 12° = (12 x 60)´= 720´ 1´ = 60´´ 720´+ 20´= 740´ 740´ = (740 x 60)´´= 44400´´ 1° = 3600´´ 44400´´ + 14´´= 44414´´

  22. Exemplos 1° = 60´ Expresse em segundos 10° 12´10´´ 10° = (10 x 60)´= 600´ 1´ = 60´´ 600´+ 12´= 612´ 612´ = (612 x 60)´´= 36720´´ 1° = 3600´´ 36720´´ + 10´´= 36730´´

  23. Transformação de Unidades Temos: Expressar 120’ em graus. 1° = 60´ 120’ : 60 = 20 1´ = 60´´ 1° = 3600´´

  24. Exemplos 1 Expressar 300’ em graus. Temos: 300’ : 60 = 50 1° = 60´ 2 Expressar 420’ em graus. 1´ = 60´´ 420’ : 60 = 70 1° = 3600´´

  25. Transforme em Graus e Minutos • Divida os minutos por 60 para obter os graus. • O resto, se existir, serão os minutos. Exemplo: Transforme 85’ em graus 85’ 60 -60 10 25’ Logo: 85’ = 10 25’

  26. Transforme em Graus e Minutos • Divida os minutos por 60 para obter os graus. • O resto, se existir, serão os minutos. Exemplo: Transforme 793’ em graus 793’ 60 -60 130 193’ 180’ 13’ Logo: 793’ = 130 13’

  27. Transforme em Graus e Minutos • Divida os minutos por 60 para obter os graus. • O resto, se existir, serão os minutos. Exemplo: Transforme 1000’ em graus 1000’ 60 -60 160 400’ 360’ 40’ Logo: 1000’ = 160 40’

  28. Transforme em Graus, Minutos e Segundos • Divida os segundos por 60 para obter os minutos. • O resto, se existir, serão os segundos. • Se os segundos forem igual o maior que 60, divida novamente por 60 para obter os graus. • O resto, se existir, serão os minutos. Exemplo: Transforme 1200” em graus 1200” 60 120 20’ Menor que 60, não temos graus. 00” Logo: 1200” = 20’

  29. Transforme em Graus, Minutos e Segundos Exemplo: Transforme 58400” em graus 973’ 60 58400” 60 60 540 160 973’ 373’ 440” 360 420 200” 13’ Maior que 60 180 20” Logo: 58400” = 160 13’ 20”

  30. Transforme em Graus, Minutos e Segundos Exemplo: Transforme 9864” em graus 164’ 60 9864” 60 120 60 20 164’ 44’ 386” 360 264” Maior que 60 240 24” Logo: 9864” = 20 44’ 24”

  31. Operações • Adição e Subtração: • A adição de medidas de ângulos é feita somando segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus. • Escrever o resultado na forma mais simples: É não deixar o minuto e o segundo com medidas maiores ou iguais a 60.

  32. Adição 120 40’ + 100 56’ Escrevendo na forma mais simples 2 1 120 40’ 220 96’ = 220 + ( 60’+ 36’) + 100 56’ 220 96’ 60’ = 10 220 +10 + 36’ = 230 + 36’ = 230 36’ Maior que 60 220 96’ = 230 36’

  33. Adição 120 20’ 40” + 300 50’45” Escrevendo na forma mais simples 2 1 120 20’ 40” 420 70’ 85” = 420 + ( 60’+ 10’) + ( 60” + 25”) = + 300 50’ 45” 420 70’ 85” 1’ 25” 10 10’ 430 + 11’ + 25” = 430 11’ 25” Maiores que 60 43° 11’ 25”

  34. Subtração 2 1 120 40’ 410 00’ 400 60’ - 100 36’ - 400 35’ - 400 35’ 020 04’ 000 25’

  35. Subtração 3

  36. Multiplicação

  37. Divisão Determine o valor de 720 30’ : 3 3 720 30’ 6 3’ 240 10’ 120 00’ -120 000 720 30’ : 3 = 240 10’

  38. Divisão Determine o valor de 390 20’ : 4 4 390 20’ -36 +180’ 90 50’ 30 200’ 20’ x 60 180’ 000’ 390 20’ : 4 = 90 50’

  39. Ângulos Congruentes • Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida. • Dizemos que são ângulos congruentes e indicamos .

  40. Bissetriz de um Ângulo • O ângulo AÔB mede 600. • A semi-reta OM dividiu esse ângulo em dois ângulos congruentes AÔM e BÔM. • Med(AÔM) = 300 • Med(BÔM) = 300 A M O B A semi-reta OM é a bissetriz de AÔB.

  41. R O P S Bissetriz de um Ângulo • O ângulo RÔS mede 1500. • A semi-reta OP dividiu esse ângulo em dois ângulos congruentes RÔP e SÔP. • Med(RÔP) = 750 • Med(SÔP) = 750 A semi-reta OP é a bissetriz de RÔS.

  42. Bissetriz de um Ângulo • Portanto a bissetriz de um ângulo: • É uma semi-reta de origem no vértice. • Divide esse ângulo em dois ângulos congruentes.

  43. A D O C Exemplos • Na figura ao lado, OD é a bissetriz de AÔC . • Com essa informação, podemos afirmar que: • Med(CÔD) = 700 • Med(AÔC) = 1400

  44. A D O C Ângulos Adjacentes • Dois ângulos são adjacentes quando têm um lado comum e não têm pontos internos comuns. • AÔD e DÔC são ângulos adjacentes.

  45. Classificação de Ângulos 90°  ângulo reto Como a figura sugere, duas retas perpendiculares determinam quatro ângulos com medidas iguais. Cada um deles é um ângulo reto.

  46. Classificação de Ângulos Vamos classificar os ângulos comparando com o ângulo reto (90°). Ângulo reto Ângulo agudo Ângulo obtuso

  47. Ângulos Especiais Podemos considerar como ângulos especiais: Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180°. Equivalente a dois ângulos retos. Um ângulo de uma volta mede 360°. Equivalente a quatro ângulos retos.

  48. A B A B O O Cuidado! Quando duas semi retas coincidem, obtemos dois ângulos: Ângulo nulo = 0° Ângulo de uma volta = 360°

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