SPUGNA DI MENGER

1. SPUGNA DI MENGER (Si ringrazia Giorgio Pietrocola per i suggerimenti stimolanti forniti nel forum del Tartapelago) 09/01/2006 A cura di Ivana Niccolai

2. Animazione dei primi stadi della costruzione della spugna di Menger Si sottolinea che l’immagine, rappresentante il quarto stadio della costruzione della spugna di Menger, è stata tratta dal libro: “Il turista matematico” di Ivars Peterson A cura di Ivana Niccolai

3. La spugna di Menger(Filastrocca di Grazia Raffa e di Ivana Niccolai) 1/3 Noi con altre ci laviamo, perché alla pelle teniamo; certo, quella su indicata è una spugna martoriata. Se costruirla vogliamo, un bel cubo noi prendiamo, in ventisette cubetti va diviso, e son perfetti, A cura di Ivana Niccolai

4. La spugna di Menger(Filastrocca di Grazia Raffa e di Ivana Niccolai) 2/3 e poi ne togliamo sette, ché Menger ce lo permette: sei, al centro di ogni faccia, più un cubetto (che non ghiaccia!) che del cubo è nel centro e si trova proprio dentro. Ora tal procedimento si ripete, a cuor contento, A cura di Ivana Niccolai

5. La spugna di Menger(Filastrocca di Grazia Raffa e di Ivana Niccolai) 3/3 per ognuno dei cubetti, or sono venti e perfetti. Essi poi van suddivisi (qui possiamo andare in crisi): questo metodo seguito porta verso l’infinito… Pur se a volte si “mugugna” Mengeriana abbiam la spugna! A cura di Ivana Niccolai

6. Uno stesso procedimento che si ripete in tre dimensioni diverse 1/2 Per costruire l’ “insieme di Cantor” si prende un segmento di retta, lo si divide in tre parti uguali e si toglie la sezione centrale; tale procedimento si ripete in ciascuna delle due parti rimaste e, poi, continua a essere ripetuto… Lo stesso procedimento si può applicare a un quadrato, dividendo ogni lato in tre parti uguali e togliendo il quadrato centrale; si continua, poi, a ripetere tale procedimento, ottenendo il “tappeto di Sierpinski”. La medesima operazione può essere applicata a un cubo, dividendo ogni spigolo in tre parti uguali e togliendo i cubetti centrali (i sei che stanno, ognuno, nel centro di ogni faccia + il cubetto interno, al centro del cubo); si continua, poi, a ripetere tale procedimento, ottenendo la “spugna di Menger”.” A cura di Ivana Niccolai

7. Uno stesso procedimento che si ripete in tre dimensioni diverse 2/2 A cura di Ivana Niccolai

8. Tabella relativa ai primi stadi di costruzione della spugna di Menger A cura di Ivana Niccolai

9. Alcune precisazioni conclusive La spugna di Menger è l’analogo, in tre dimensioni, del tappeto di Sierpinski Per costruirla si parte da un cubo, lo si suddivide in 27 cubetti e si tolgono 7 cubetti; tale procedimento si ripete in ognuno dei 20 cubi rimasti… La relazione tra il numero di oggetti prodotti, n, il fattore di riduzione, f, e la mono-bidimensionalità… è espressa dalla formula :   n=(1/f)d Nella spugna di Menger la dimensione frattale si calcola nel modo seguente: n = 20 f = 1/3 20 = 3d d = 2,7266833028… A cura di Ivana Niccolai