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1. La noción de medio en la teoría de las situaciones didácticas Una herramienta para analizar decisiones en las clases de matemática Dilma Fregona1 y Pilar Orús Báguena2 Prólogo Introducción Acerca de la Didáctica y de la enseñanza Capítulo 1. Las nociones de medio y situación 1.1. Recorrido por las nociones de medio y situación 1.2. Ejemplos de situaciones 1.2.1. “Vasitos y pinceles”: un problema de distribución 1.2.2. El juego de comunicación de figuras 1.3. Más allá del análisis realizado 1.4. Algunas cuestiones en debate 1.5. Retorno a las nociones de enseñanza y situación Capítulo 2. La estructuración del medio 2.1. Una primera aproximación 2.2. Descripción y utilización de los diferentes niveles 2.2.1. La situación objetiva 2.2.2. La situación de referencia 2.2.3. La situación de aprendizaje 2.2.4. La situación didáctica 2.2.5. La situación meta-didáctica 2.3. Más allá del análisis realizado 2.3.1. Una interpretación del alumno en posición del sujeto que actúa 2.3.2. El proceso de búsqueda de contratos didácticos 2.3.3. Diferentes dominios de declaración sobre las figuras Capítulo 3: El medio del profesor 3. 1. Posiciones del profesor - antes, durante o después de la lección- en distintos tipos de situaciones 3.2. Diferentes estados en la clase 3. 2. 1. Fases didácticas y a didácticas 3. 2. 2. Fases de búsqueda, de expresión pública y validación 3. 3. Alcances de una situación Reflexiones finales y ¡más preguntas! Bibliografía 1 Universidad Nacional de Córdoba, Argentina. fregona@famaf.unc.edu.ar 2 Universidad Jaume I de Castellón, España. orus@mat.uji.es

2. La noción de medio en la teoría de las situaciones didácticas Una herramienta para analizar decisiones en las clases de matemática Prólogo El área de investigación denominada Didáctica de la Matemática o Educación Matemática, según los países y enfoques, abarca problemáticas muy diversas y desde diferentes perspectivas teóricas. Una de ellas es la teoría de las situaciones didácticas, desarrollada por Guy Brousseau desde los comienzos de la década del 70. Su contribución como uno de los pioneros en el desarrollo de la Didáctica de la Matemática es internacionalmente reconocida. En el año 2003 Brousseau recibió la primera medalla Félix Klein, otorgada por la Comisión Internacional de Instrucción Matemática (ICMI por su denominación en inglés) por su destacada contribución a la educación matemática3. Desde la teoría de las situaciones se caracteriza la Didáctica de la Matemática como área de investigación que trata los fenómenos de comunicación de los saberes matemáticos y sus transformaciones. En el transcurso del tiempo, en un trabajo cooperativo con investigadores, docentes y alumnos de distintos niveles del sistema educativo, los objetos de estudio se ampliaron con el abordaje de diferentes problemáticas, y continúa en permanente profundización, revisión y crecimiento. El texto que aquí presentamos busca profundizar el estudio de algunas nociones desarrolladas en el marco de esta teoría, frecuentemente utilizada en investigaciones y documentos de apoyo a docentes en diferentes idiomas. En español, en el año 2007, en la colección “Formación docente –matemática” Libros del Zorzal difundió un texto de Guy Brousseau cuyo título es “Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas”. La noción de “medio” es particularmente interesante y productiva desde el punto de vista teórico, ya que permite abordar diversas cuestiones específicas sobre la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. Asimismo, puede contribuir a confrontar los conceptos y previsiones estudiados teóricamente con lo que sucede en un aula, sea en el marco de un estudio experimental o de investigación, como en una clase común. Por ello elegimos en este texto desarrollar dicha noción e ilustrarla con producciones realizadas fundamentalmente con herramientas de la teoría de las situaciones. Además, si bien es una noción fundamental y es frecuentemente utilizada, las discusiones que ha generado no están zanjadas y por tanto también nos parece interesante mostrar aspectos en debate que dan cuenta del proceso de construcción de un dominio de conocimiento, en este caso la Didáctica de la Matemática. Este área de conocimiento estudia las condiciones que favorecen la aparición y el uso de conocimientos matemáticos. Cuando ese estudio se refiere al aula, el docente aparece como responsable –sujeto a condicionamientos institucionales diversos aunque con cierto margen de libertad- de la organización y gestión en torno a un conocimiento bien determinado. Resultados de investigación en Didáctica de la Matemática contribuyen a distinguir responsabilidades de los profesores en tanto uno de los actores en el complejo proceso de enseñanza de la matemática: hay cuestiones propias a la difusión de los conocimientos, insoslayables en las prácticas de enseñanza, otras en las cuales son posibles ciertas anticipaciones y las intervenciones didácticas crean entonces otras alternativas. En un marco que excede las clases de matemática, Terigi (2004) plantea la enseñanza como un problema de condiciones de escolarización y no simplemente de estrategias. En este sentido, si es posible modificar las condiciones de escolarización, es una responsabilidad principal del Estado en el diseño de las políticas públicas hacia la escuela. La enseñanza, afirma la autora, no es un problema doméstico, es un problema didáctico, y en consecuencia 3 El ICMI, además de la Medalla Félix Klein otorga también la Medalla Hans Freudenthal. La primera se concedió en 2003 a Celia Hoyles. Otros investigadores galardonados son Ubiratan D‟Ambrosio (2005), Jeremy Kilpatrick y Anna Sfard (2007). 2

3. también la didáctica es un problema político en el sentido de la responsabilidad que compete al gobierno y al Estado, y a todo el pueblo. Bajo ciertas condiciones de escolarización, los saberes pedagógicos y didácticos muestran sus límites. Dado que docentes y escuelas están inmersos en las condiciones pedagógicas de la escolarización, finalmente se deja en sus manos una responsabilidad para la cual no están preparados, con lo cual la enseñanza en tanto que responsabilidad del Estado está en serio riesgo. Desde una perspectiva de plena inclusión educativa, se trata que los alumnos ingresen al sistema educativo, permanezcan en él y logren los aprendizajes a los que tienen derecho. En este sentido, proponemos profundizar el estudio del medio, con la intención de hacer un aporte a estas problemáticas sociales -desde el estudio de la matemática en ámbito escolar. Analizamos nociones teóricas, que a modo de herramientas permiten desnaturalizar ciertas prácticas, formularse cuestiones y favorecer la organización de ámbitos de enseñanza productivos para docentes y alumnos. Nos parece importante señalar que los estudios teóricos realizados en el marco de la teoría de las situaciones se confrontaban con la contingencia en un aula, en un instrumento para la observación de clases llamado Centro para la Observación e Investigación en Enseñanza de la Matemática (COREM). Dicha institución tenía un funcionamiento particular en una escuela pública, la Jules Michelet de Talence, con una población multicultural y con docentes cuya particularidad era esencialmente la disposición para el trabajo en grupo y la cooperación en los procesos de investigación. La escuela no tenía ninguna función ni de innovación o de investigación pedagógica, ni de demostración, ni de formación de profesores. Seguía los programas oficiales, sin adherir a ninguna escuela pedagógica. Solamente una parte de las lecciones eran objeto de observaciones, pero todos los resultados escolares y los progresos de cada alumno eran seguidos atentamente. Las lecciones en las cuales se llevaba a cabo un dispositivo experimental, convenido entre investigadores y docentes, eran observadas y registradas para estudiarlas. Las otras lecciones “comunes” eran preparadas por los docentes responsables de sus clases. Este texto es un trabajo de transposición didáctica, haciendo abuso de lenguaje ya que originalmente esa noción surgió en el ámbito de la difusión de saberes matemáticos. El saber a comunicar se refiere a resultados de investigación en el campo de la Didáctica de la Matemática, de las comunidades que los producen hacia comunidades que los enseñan o los utilizan de alguna manera con la intencionalidad de la enseñanza. Esperamos aportar un instrumento que contribuya a consolidar una cultura sobre la Didáctica que permita el diálogo y el trabajo fecundo entre docentes de matemática e investigadores y entre profesores de diferentes niveles del sistema educativo. Aspiramos a mejorar la formación de los docentes en matemática en el desempeño de su tarea específica: la enseñanza. Y así, en coincidencia con el análisis de Terigi, y parodiando a Eladia Blázquez4, no se trata para docentes y alumnos “de permanecer y transcurrir” en la escuela, sino de recuperar, honrar, la enseñanza y el aprendizaje. La realización de este proyecto no hubiese sido posible sin los apoyos que a diferente nivel nos brindaron el Plan de Promoció a la Investigació 2008, de la la Universitat Jaume-I en colaboración con Bancaixa: Estancias de doctores en la UJI.; la Facultad de Matemática, Astronomía y Física y la Facultad de Filosofía y Humanidades, unidades académicas de la Universidad Nacional de Córdoba (Argentina) y ediciones del Zorzal de Buenos Aires. Noviembre de 2009 4 Autora de la letra y la música de varios tangos, entre ellos “Honrar la vida”, que se inicia con: “¡No! Permanecer y transcurrir no es perdurar no es existir ni honrar la vida!” 3

4. Introducción Acerca de la Didáctica y de la enseñanza Bajo las denominaciones “Didáctica de la Matemática” o “Educación Matemática” existen diversas acepciones. En lenguaje habitual se identifica con la enseñanza de la matemática aunque también se la reconoce como área de investigación en el cual la enseñanza de las matemáticas es uno de sus objetos de estudio entre otras problemáticas abordadas desde diversas perspectivas teóricas. Las mesas de trabajo en los últimos congresos internacionales5 dan una idea de la diversidad de los temas de estudio, muchos de ellos comunes a pesar de la designación elegida. “Educación Matemática” es utilizada generalmente en países anglosajones y latinoamericanos como México y Brasil, e inclusive en instituciones como el ICMI. En Francia se utiliza “Didáctica de la Matemática” y esa es la designación que utilizaremos en este texto ya que profundizaremos aspectos de la teoría de las situaciones didácticas. Sin embargo, no dudaremos en recurrir a nociones que proceden de otras perspectivas teóricas, sin temor a producir un discurso ecléctico. La caracterización que anticipamos, tomada textualmente, afirma que en los últimos años: “(…) ha aparecido, también bajo el nombre de „didáctica‟ un intento de constituir una ciencia de la comunicación de los conocimientos y de sus transformaciones (…). Esta ciencia se interesa en lo que estos fenómenos tienen de específico del conocimiento que se tiene en el punto de mira.” (Brousseau, 1990, p. 260). Esta es la acepción que adoptamos en este texto. Cabe destacar que esta caracterización, genera una ruptura con ciertos usos sociales de la expresión: no se trata de un conjunto de técnicas y/o materiales que sirven para enseñar matemática; tampoco se refiere solamente a problematizar la relación enseñante-enseñado ya que está presente el saber matemático como componente esencial; además en esta caracterización la difusión de saberes y conocimientos no está restringida al ámbito escolar6. Otros autores de las escuelas francesas, como Chevallard, Bosch y Gascón caracterizan lo didáctico como todo lo referente al estudio. “Hablaremos de proceso didáctico cada vez que alguien se vea llevado a estudiar algo –en nuestro caso serán las matemáticas- solo o con ayuda de otra (s) persona (s). El aprendizaje es el efecto perseguido por el estudio y la enseñanza es un medio para el estudio, pero no es el único.” (1997, p. 59) Relaciones entre concepciones de enseñanza y medios Aunque la difusión de conocimientos y saberes matemáticos se realiza entre diferentes instituciones cuando hablemos de “enseñanza”, estaremos refiriéndonos al proceso que se desarrolla en el marco de un sistema educativo. Cuando un profesor prepara su clase para enseñar un tema, selecciona los materiales y los medios que favorezcan su tarea: objetos, problemas, actividades a realizar con un programa de computación, ejercicios, textos, etc. Según las concepciones de enseñanza y de aprendizaje en juego, y las condiciones de 5 Véase por ejemplo: http://www.seiem.es/ ; http://igpme.org/ ; http://www.mathunion.org/icmi/; http://aportes.educ.ar/matematica/nucleo-teorico/tradiciones-de-ensenanza/-congresos-dedicados-a-los-temas-en- didactica-de-la-matematica-en-el-mundo-temas-tratados/comision_internacional_de_inst.php 6 Chevallard estudió la transposición didáctica como un proceso de transformación de los saberes matemáticos desde que se generan y se incluyen como resultado de la comunidad matemática hasta la comunidad que los enseña; luego propuso perspectivas más amplias, las transposiciones institucionales (Chevallard 1985, 1989) y la teoría antropológica de lo didáctico (Chevallard, Bosch, Gascón, 1997). 4

5. escolaridad, se organizarán estos medios y se distribuirán las responsabilidades mutuas entre el docente y los alumnos en el marco de una relación didáctica posible7. Cuando se interpreta la enseñanza como una comunicación de informaciones, el docente se preocupa fuertemente por la calidad de su mensaje, y entonces los medios a los que recurre tenderán por ejemplo a cuidar particularmente el lenguaje, a brindar explicaciones claras, a presentar objetos matemáticos y sus aplicaciones con un orden bien definido. El alumno ocupa un lugar más bien pasivo, de receptor, cuyas interacciones con el docente y los medios son generales: escucha, copia, pregunta, colorea, aplica… el lugar del alumno es ocupado por un actor que sigue las indicaciones del profesor. Si bien esta descripción esquemática y reduccionista de una enseñanza “tradicional” se considera superada -al menos en los discursos de los docentes de la escolaridad obligatoria y de los formadores de docentes- la mayoría de ellos reconoce actualmente en ese esquema su trayectoria como estudiante y/o profesor en los diferentes niveles del sistema educativo. Concepciones actuales de la enseñanza, que se posicionan como constructivistas8 -en el sentido que el alumno realiza un proceso activo, en interrelación con objetos materiales o conceptuales, que escucha y es escuchado por otras personas- exigen otras responsabilidades a los docentes y entonces la preparación de la clase, los medios para llevarla a cabo cambian, ya no tienen las mismas características. La enseñanza en la teoría de las situaciones es una actividad que reúne dos procesos: uno de aculturación del alumno y otro de adaptación relativamente independiente (Brousseau 1999). El aprendizaje se concibe entonces como interacciones entre grupos de culturas diferentes y también como una adaptación a un medio que es factor de contradicciones, dificultades y desequilibrios. Los fenómenos de contacto entre culturas han sido estudiados desde diferentes perspectivas: la antropología, la sociología, la psicología social. El proceso de adaptación remite a influencias de la epistemología genética de Piaget y de sus aportes a la psicología evolutiva, según el cual en el desarrollo del individuo se alternan dialécticamente los procesos de asimilación y acomodación en la búsqueda de equilibrio para intentar el control del medio9 (con el fin básico de sobrevivir). Cuando el medio del individuo se modifica y no resulta inmediatamente interpretable con los esquemas que posee, entra en crisis y busca encontrar la manera de recuperar su equilibrio. Según el modelo piagetiano, se producen modificaciones en los esquemas cognitivos y se incorporan nuevas experiencias. Análogamente, en el aula se trataría de organizar un medio que se resista a la interpretación inmediata del alumno y que lo lleve a actuar, formular lenguajes y conceptos, cuestionar la validez de lo que se produce, etc. Los conocimientos se manifiestan esencialmente como instrumentos de control, de regulación de esas situaciones. (Brousseau, 1986) Desde esta perspectiva del aprendizaje, se concibe al docente como el responsable de organizar medios adecuados para que un actor en interacción con ellos, entre en relación con los saberes culturales que la sociedad considera necesarios para sus miembros y para el desarrollo personal del individuo. ¿Es la colección de objetos, problemas, textos, en suma los recursos que provee el profesor lo que conforma el medio en la teoría de las situaciones? Todo ello es parte del medio, ya que cuando el profesor decide anticipadamente los recursos que utilizará para instalar y desarrollar un tema determinado en una clase, generalmente su preocupación principal es qué proponer para que los alumnos hagan en relación a tal tema en un tiempo relativamente preciso. Pero además, la noción de medio favorece el cuestionamiento del objeto matemático a enseñar; recortarlo y vincularlo con otros saberes, elaborar la consigna con la cual se planteará la actividad en la clase que explicitará de alguna 7 Brousseau (1996, 2007) propone un estudio de la distribución de responsabilidades entre un emisor y un receptor. 8 El constructivismo, como perspectiva epistemológica y pedagógica podría ser objeto de varios libros. Para profundizar sobre este tema, sugerimos algunos autores a consultar: Giambattista Vico (1668-1744), Jean Piaget, Ernst von Glasersfeld, Lev Vygotsky, Paul Watzlawick, Jere Confrey, entre otros. 9 En biología, medio es el conjunto de circunstancias exteriores a un ser vivo. 5

6. manera las responsabilidades de alumnos y docente con respecto al objeto de estudio; organizar la clase y administrar el tiempo en función del desarrollo de ese objeto; favorecer ciertas interacciones de los alumnos; etc. Hasta el momento hemos utilizado “medio” y “situación”, palabras clave en la teoría de las situaciones didácticas, en sus acepciones corrientes: “Medio (sustantivo): conjunto de circunstancias culturales, económicas y sociales en que vive una persona o un grupo humano.” “Situación (sustantivo): conjunto de factores y circunstancias que afectan a alguien o algo en un determinado momento.” (Diccionario de la Real Academia Española, 22ª ed., 2001) Utilizaremos estas acepciones del Diccionario hasta poder definir las nociones de medio y situación y crear el significado que tienen en el marco de la teoría de las situaciones didácticas. Ese será el tema del capítulo 1 de este volumen en el cual analizaremos, para favorecer el estudio, dos ejemplos: uno referido a una situación de acción y otro a una situación de comunicación. En el capítulo 2 retomaremos la estructuración del medio ya presentada en español en diferentes obras y a través del caso de la situación de comunicación examinaremos un posible uso de tal noción. El capítulo 3 tratará acerca del medio del profesor, esbozado en los capítulos previos. Esta noción permite dar pistas acerca de la gestión de diferentes situaciones de enseñanza. Finalmente, a modo de conclusión, algunas reflexiones abiertas a sugerencias de los lectores, en torno a la utilidad para los docentes de estas herramientas teóricas. 6

7. Capítulo 1. Las nociones de medio y situación Hemos visto en la Introducción cómo las concepciones de enseñanza, de aprendizaje y las condiciones de escolaridad se vinculan para establecer el medio que el profesor organiza en torno a un tema determinado. ¿Qué sabemos hasta ahora del medio? - Existe de alguna manera en las situaciones de enseñanza, con funciones dispares que van de un decorado más o menos pertinente al objeto de estudio hasta una organización de condiciones que favorecen las interacciones del alumno con las “circunstancias exteriores”, incluyan éstas objetos –materiales, problemas, tecnología- u otros actores. - Según las características de las situaciones de enseñanza, a veces el alumno puede relacionarse directamente con el medio y en otras esa interacción “pasa” por las indicaciones o expectativas, explícitas o no, que el profesor se ocupa de instalar permanentemente. - Desde perspectivas constructivistas, un “conjunto de circunstancias exteriores” a un individuo se constituye en un medio cuando produce desequilibrios cognitivos. Por ello, en la teoría de las situaciones se habla de “medio antagonista” concebido para producir una confrontación con el alumno y que “resista” a sus primeras interacciones. - Es exterior al individuo y en ese sentido, podemos afirmar que en una clase existen medios para los alumnos y también para el docente. Si bien el profesor organiza “un medio” para la clase, las interacciones que cada uno de los alumnos establece con ese medio son diferentes, y por ello es posible hablar de medios10. Veamos un breve ejemplo tomado de Brousseau (1995) donde se ilustran algunos de los aspectos citados: las circunstancias exteriores a un individuo, en este caso un alumno, y las interacciones que establece con ese medio. En una situación A, un alumno recita, en respuesta a la solicitud de su profesora, la sucesión de números naturales hasta el 6. En una situación B, un alumno coloca, en respuesta a la solicitud de su profesora, 6 fichas en una caja. En una situación C, un alumno cuenta las 6 fichas de una caja solamente mirando para evaluar la posibilidad de llevar una ficha a cada uno de los compañeros de su mesa. Estas situaciones son diferentes aunque en todas aparezca de alguna manera el conteo; para cada una de ellas los instrumentos de control, es decir los conocimientos en juego, también son diferentes. En las dos primeras el actor responde con conocimientos numéricos a una demanda de la profesora, en la última decide contar para resolver una actividad de distribución. 1.1.Recorrido por las nociones de medio y situación La primera referencia de Brousseau a la noción de medio en la enseñanza de la matemática la encontramos a comienzos de los setenta, en el artículo “Processus de mathématisation. La mathématique à l‟école élémentaire” publicado en una revista de la Asociación de Profesores de Matemática de la Enseñanza Pública (APMEP) donde desarrolla las bases de la teoría de las situaciones. “La pedagogía tiende a organizar las relaciones del niño con su medio de modo tal que utilice los comportamientos adquiridos para crear comportamientos nuevos.11” (1972; p. 428) La palabra “medio” aparece en el sentido utilizado por Piaget al definir por ejemplo la acción como una reequilibración de la conducta ante una modificación del medio. Además, Brousseau aborda el aprendizaje vinculado a la enseñanza, como “comportamientos nuevos” producidos en la relación del niño con el medio. Más tarde esa expresión devino en procesos de “adaptación relativamente independiente”. La cita no es específica de la enseñanza de la matemática, aunque el título del artículo pone de relieve la especificidad del saber matemático en la modelización de la enseñanza. 10 La estructuración del medio nos permitirá distinguir diferentes posicionamientos de alumnos y profesor ante una organización determinada. 11 Es nuestra la traducción de las referencias bibliográficas de las que no contamos ediciones en español. 7

8. Asimismo la referencia a “la pedagogía” da pistas de la evolución de la Didáctica de la Matemática como campo de investigación. Tal denominación no existía, aunque había antecedentes de trabajos producidos por matemáticos, psicólogos y pedagogos que daban cuenta de la preocupación por estudiar la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. La teoría de las situaciones surgió desde una perspectiva complementaria a estudios en psicología cognitiva. Brousseau lo expresa de la siguiente manera: “[Pierre] Gréco me impresionó por su habilidad para concebir dispositivos experimentales destinados a poner en evidencia la originalidad del pensamiento matemático de los niños en las etapas de su desarrollo. Sin embargo, me daba cuenta de que no entraban entre sus preocupaciones analizar los dispositivos en sí mismos ni explicitar la relación entre éstos y la noción matemática cuya adquisición estudiaba. Comencé a plantearme algunas preguntas: ¿En qué condiciones puede propiciarse que un sujeto –cualquiera– tenga la necesidad de un conocimiento matemático determinado para tomar ciertas decisiones? y ¿cómo explicar de antemano la razón por la cual lo haría? (…). Los dispositivos piagetianos mostraron que los niños podían adaptarse desarrollando conocimientos matemáticos que no habían sido enseñados.” (2007, pp.14-15) Y con respecto a la construcción de la perspectiva didáctica, continúa: “(…) son los comportamientos de los alumnos los que revelan el funcionamiento del medio, considerado como un sistema. Lo que se necesita modelizar, pues, es el medio. Así, un problema o un ejercicio no pueden considerarse como una simple reformulación de un saber, sino como un dispositivo, como un medio que “responde al sujeto” siguiendo algunas reglas. ¿Qué juego debe jugar el sujeto para necesitar un conocimiento determinado? ¿Qué aventura –sucesión de juegos- puede llevarlo a concebirlo o a adoptarlo? (…) ¿Qué información, qué sanción pertinente debe recibir el sujeto por parte del medio para orientar sus elecciones y comprometer tal conocimiento en lugar de tal otro?” Encontramos en estas citas al alumno y un medio organizado; para elaborar un enfoque didáctico es imprescindible contar con un proyecto de difusión de conocimientos y buscar cómo hacerlo posible. Brousseau postula que cada conocimiento o cada saber pueden ser determinados por una situación que de alguna manera recrea las condiciones que permitieron la emergencia de dicho conocimiento12. En la construcción de la matemática, seguramente las condiciones que hicieron surgir los números fraccionarios y luego los racionales por ejemplo, no fueron las mismas que las que dieron origen al Teorema de Pitágoras. La Didáctica de la Matemática aparece como una epistemología experimental, ya que propone realizar un estudio epistemológico del saber a enseñar para analizar las condiciones que determinaron su origen y/o evolución. Las situaciones didácticas permiten elaborar una génesis artificial que intente recuperar algunas de esas condiciones, de modo que ese conocimiento o saber a enseñar sea la respuesta óptima para esa organización dada. Desde esta perspectiva en la cual las situaciones se organizan en torno a un conocimiento o saber matemático determinado, entendemos que la teoría de las situaciones surgió fundamentalmente en clara diferenciación con los trabajos de Zoltan Dienes y sus colaboradores desarrollada en la década del 60. Dichos trabajos se basan en un proceso psicodinámico general y proponen un modelo de aprendizaje fundado en el reconocimiento por parte del alumno de semejanzas en juegos estructurados organizados por el docente, seguido de la esquematización y formalización a cargo del docente de las generalizaciones que se espera haya realizado el alumno. Todo el proceso se plantea de manera independiente de los conocimientos a enseñar. A finales de los 80 se difunden trabajos que consolidan la teoría de las situaciones didácticas y con ello las nociones de medio y situación son los instrumentos fundamentales del modelo. (Brousseau 1986, 1986a, 1986b). En esos textos encontramos la necesidad teórica de un medio para el alumno en términos de objetivos de la enseñanza a largo plazo: desde que se establece la relación didáctica entre docente y alumnos se sabe que acabará en algún momento, y al final de la enseñanza el alumno tendrá que enfrentarse a situaciones desprovistas de intenciones didácticas. Para ello contará previsiblemente con los conocimientos aprendidos que le darán la posibilidad de interpretar sus relaciones con esos 12 Esta es una de las cuestiones en debate que esbozaremos más adelante. 8

9. sistemas como nuevas situaciones, a las cuales podrá responder de manera apropiada. Aunque en la enseñanza todas las situaciones son didácticas, ya que tienen por finalidad enseñar algo a alguien, se busca que el conocimiento al que recurra o produzca el alumno se justifique por su interacción con el medio, sin la indicación implícita o explícita del docente. Se las llama situaciones a didácticas, y constituyen de alguna manera un sistema ideal. El medio es un sistema autónomo, antagonista del sujeto. Fue también en 1986 cuando Brousseau propuso la estructuración del medio como una herramienta de análisis. Creemos necesario resaltar que la teoría es una modelización sobre los procesos de transmisión de los saberes matemáticos, de las posibles interacciones del profesor y de los alumnos comprometidos en una actividad matemática. No se trata de un prototipo ni una descripción que prescribe cómo debe ser la enseñanza. Como afirma Sadovsky (2003) pensar que algo puede darse de una manera, aún sabiendo que no es exactamente así, puede resultar fértil cuando se trata de precisar las condiciones en que se da un proceso de producción de conocimientos y saberes matemáticos en el aula. Desde este ángulo está claro que el modelo no pretende explicar todo lo que sucede en una clase de matemática, pero sí es importante distinguir qué cuestiones describe y explica y bajo qué condiciones son válidas esas explicaciones. El siguiente esquema puede ayudar a comprender cuáles son los elementos en juego en una situación didáctica. Hasta ahora hablamos del “mediodel alumno” o “medio para el alumno” organizado por el profesor en torno a un conocimiento o saber determinado. Las decisiones tomadas para diseñar ese medio tienen en cuenta el saber cultural y crean entonces unas condiciones que favorecen la aculturación del alumno. En la relación didáctica también el docente cuenta con su propio medio en tanto que circunstancias exteriores en el sentido piagetiano13. Veremos el interés de estas consideraciones al analizar, más adelante, la gestión de la clase por parte del docente. P: profesor A: alumno M: medio del alumno (A M): medio del profesor 1.2. Ejemplos de situaciones El lector familiarizado con la teoría de las situaciones didácticas seguramente conoce algunos ejemplos estudiados teóricamente, con la intención de producir situaciones a didácticas, que se difundieron en español en diferentes materiales: la ampliación del tangram14, para estudiar la proporcionalidad en un contexto geométrico; el grosor de las hojas de papel, para introducir las fracciones como medida (Centeno, 1988, 120-126); la carrera a 20, para revisar la noción de división euclideana (Brousseau, 2007, 19-23); el peso de un recipiente, para estudiar los procesos de medición a finales de la escolaridad primaria15; etc. A P M 13 La teoría antropológica de lo didáctico postula niveles de co-determinación que ayudan a interpretar los condicionamientos a los que está sujeto el docente. (Chevallard, 2002) 14 Hay varias versiones disponibles, entre ellas: http://www.scielo.org.ve/pdf/pdg/v29n2/art10.pdf; http://www.mat.uson.mx/depto/diplomado/primaria/geometria/s1a7.doc 15 Disponible en http://www.ugr.es/~jgodino/siidm/boletin10.htm 9

10. Algunas de ellas son modelizadas para que el conocimiento se adquiera mediante la acción (situaciones de acción), otras para adquirir un lenguaje (situaciones de comunicación) o una teoría (situaciones de validación)16. Presentamos ahora dos ejemplos conocidos como “vasitos y pinceles” (Bartolomé y Fregona, 2003), para resolver un problema de distribución con el recurso a los números naturales y “la comunicación de figuras”17, cuyo fin es la reproducción de una colección de figuras en una tarea cooperativa. Estos ejemplos ilustran los dos primeros tipos de situaciones; en el estudio ya mencionado de la carrera a 20, se distinguen fases donde se incluye también el estudio de la validación en matemática. 1.2.1. “Vasitos y pinceles”: un problema de distribución En los problemas de distribución se trata de anticipar la cantidad de objetos necesarios para distribuir cierto número de ellos (1, 2, 3, 4...) a cierto número de destinatarios (puede variar desde un número menor a 10 hasta por ejemplo 25 o 30). Se trata de recuperar el conteo como conocimiento óptimo para controlar una situación que se resuelve con la pregunta ¿cuántos? Un aspecto del carácter antagonista del medio en esta situación es determinar qué es lo que hay que contar para resolver el problema. La distribución realmente no constituye un problema para los niños de 5 o 6 años cuando el número de destinatarios es menor que 10 y, con los objetos disponibles, se trata de entregar un objeto a cada uno de ellos. Empieza a constituirse en un problema si el número de objetos por destinatario aumenta a 2, 3, 4, o 5 objetos, o el número de destinatarios es bastante grande, digamos 25 o 30. O si los objetos a distribuir están dispuestos en grupos cuyo número no coincide con lo que se da a cada destinatario: por ejemplo se deben distribuir galletitas, 3 a cada destinatario pero el paquete contiene 4. En todos esos casos el medio se vuelve más desafiante cuando el alumno no dispone de los objetos para hacer la distribución y debe anticipar cuántos objetos necesitará. Esa es una decisión de quien organiza el medio: claramente las interacciones y entonces los conocimientos en juego del alumno, no serán los mismos si puede tomar por ejemplo una pila de hojas para distribuir una a cada niño de su clase (supongamos 25) y devolver las que le sobran o buscar las que le faltaron, que anticipar exactamente cuántas deberá ir a buscar para que todos tengan una hoja y no sobre ninguna. En el análisis realizado por Quevedo (1986) y Brousseau (1992, 1994), una de las decisiones a tomar para hacer que el conteo –y entonces el número natural- aparezca como una estrategia óptima para resolver una actividad que esté al alcance de los niños de 5 o 6 años, es establecer en la consigna que se trata de buscar de una sola vez la cantidad necesaria y suficiente de objetos. Veamos las decisiones tomadas en una realización de la situación conocida como “vasitos y pinceles”. En una sala de 5 o 6 años, la docente coloca en una mesa vasos para contener pintura y en otra, bastante alejada de ella, coloca unos pinceles. La tarea es buscar de una sola vez la cantidad necesaria y suficiente de pinceles para que cada vaso tenga un pincel. Si el alumno no logra resolver el problema, tiene que recoger todos los pinceles y comenzar otra vez18. ¿Cuáles son las condiciones creadas en el medio para el alumno? Responder a esta cuestión implica realizar un trabajo teórico que generalmente lleva a cabo un investigador ya que la naturaleza de esta tarea y la enseñanza no es la misma y los tiempos de cada una 16 Situaciones organizadas para asegurar, en una tarea cooperativa, la búsqueda de la verdad en los conocimientos movilizados. Más tarde, en el desarrollo de la teoría, Brousseau introdujo las situaciones de institucionalizacióncomo necesidad del profesor de tomar en cuenta “oficialmente” el objeto de aprendizaje. 17 Disponible en http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/areas/matemat/doc5.pdf 18 Si el alumno no tiene éxito en responder a la tarea en un primer intento, significa que efectivamente se le ha planteado un problema. Si tiene éxito inmediatamente, la actividad resulta una aplicación de un conocimiento ya utilizado. El éxito inmediato a esta tarea no es necesariamente una marca de aprendizaje, podría ser por ejemplo debido al azar. 10

11. tampoco lo son. En la Escuela Michelet, donde se llevaban a cabo las lecciones experimentales estudiadas por Brousseau y su equipo, los profesores participaban con los investigadores en un trabajo cooperativo previo a la realización de la lección, durante el desarrollo y en el análisis posterior a la enseñanza efectiva. ¿Qué decisiones se tomaron para crear el medio? Para analizar las condiciones creadas en esta situación, puede ayudar pensar en términos de variables didácticas, es decir buscar aquellas condiciones que pueden variar a voluntad del docente y que según los valores que toman, modifican el conocimiento necesario para resolver la situación. En el ejemplo, ¿cómo se organiza la actividad? ¿Cuántos vasitos y cuántos pinceles tienen que estar disponibles? ¿Cómo se comunica la tarea a los alumnos? ¿Por qué el alumno daría la respuesta que esperamos? ¿Cómo sabe el alumno si su respuesta es correcta? Veamos algunas respuestas a estas cuestiones, que ilustran aspectos de la organización del medio para el ejemplo considerado: - el profesor dispone dos mesas bastante alejadas entre sí y dos colecciones: una de vasitos y otra de pinceles, que no tienen la misma cantidad de elementos. Las mesas están relativamente distantes para evitar el uso de la percepción y la memoria en una configuración que tiene pocos elementos, o recurrir a la correspondencia uno a uno. La distancia entre las mesas es una de las variables didácticas y el profesor le ha dado el valor concreto de “ubicarlas relativamente alejadas entre si”. - la cantidad de vasitos también es una variable didáctica, hay que decidir que valor concreto se le da. Los vasitos tienen que ser varios, como para no ser abarcados perceptivamente, pero en una cantidad que no supere el rango numérico del conteo del que dispone la clase. Supongamos que todos los niños saben contar hasta 20 (es decir pueden determinar el cardinal de una colección hasta veinte elementos, aunque no necesariamente saben escribir los números hasta ese rango), entonces una cantidad apropiada de vasitos puede ser 18, y la de pinceles debe ser mayor. - las reglas del juego, es decir la explicitación de los tipos de interacciones del alumno, también forman parte del medio y pueden ser reguladas mediante variables didácticas. En este caso se prevé que el alumno haga un único “viaje” para recoger los pinceles, es decir tiene que ir a buscar los pinceles y traer la cantidad exacta. En caso de que sobren o falten pinceles recoge todos los pinceles ya distribuidos en los vasitos, y vuelve a la mesa de los pinceles. De este modo se intenta favorecer el uso del conteo ya que si hubiera posibilidad de reajustes perceptivamente puede decidir cuántos buscar. Y si por el contrario, le sobran pinceles, no necesita pensar en nada más que devolverlos a la mesa correspondiente19. - ¿Puede el alumno recurrir a registros escritos? Esta es otra variable didáctica y el profesor decide no poner a su disposición materiales que le permita escribir, ya que esto podría favorecer ciertos procedimientos gráficos que harían desaparecer el conteo. Por ejemplo dibujar los vasitos y buscar entonces de una sola vez la cantidad de pinceles necesarios haciendo una correspondencia uno a uno. - Los materiales ya dispuestos, el profesor formula la consigna para comunicar la tarea al alumno: “Tenemos acá vasitos para pinturas, uno de ustedes tendrá que ir a buscar pinceles y colocar uno en cada vaso. Pero debe traer todos los pinceles de una vez y hacer que no sobren ni vasos sin pincel, ni pinceles sin vaso. Si no lo consigue recoge todos los pinceles, vuelve al lugar en que están los pinceles y lo intenta otra vez.” 19 Es necesario advertir que no cualquier modificación en el conjunto de condiciones creadas constituye una variable didáctica. Así, si se toman dos colecciones, una de cucharas y otra de platos, y se conserva la organización de “vasitos y pinceles”, esa variación no constituye una variable didáctica. Habrá comportamientos diferentes relativos a la manipulación de los materiales, pero no implica la necesidad de hacer intervenir conocimientos matemáticos diferentes para resolver la tarea. 11

12. - En las situaciones a didácticas se busca que la validación de la tarea esté en la misma actividad, a través de la interacción del alumno con el medio. El hecho de colocar un pincel en cada vasito y la exigencia de que no sobre ni falte ninguno, establece una correspondencia uno a uno entre las dos colecciones. El alumno seguramente ya ha usado ese conocimiento20 y entonces puede interpretar el estado del medio sin necesidad que sea el docente quien determine si la resolución es correcta. Por ejemplo, si un alumno trae pinceles y al distribuir uno en cada vasito descubre que tiene todavía 2 en sus manos, ¿qué información le está brindando el medio con respecto a los cardinales de las colecciones? La asimilación de esa nueva información constituye, en la teoría de las situaciones, una retroacción del medio hacia el alumno. El medio del profesor Un alumno está en situación de acción ante toda la clase y es el profesor quien lo designa para realizar la actividad. Si el primer alumno que se enfrenta con el problema lo resuelve rápidamente seguramente la mayoría de la clase no habrá logrado involucrarse con la situación. Resuelta o no inmediatamente, es conveniente que otros niños asuman la tarea con una cantidad diferente de vasitos. La decisión de qué alumno se enfrenta públicamente al problema es una variable de gestión, pero no es una variable didáctica en el sentido definido, ya que puede modificar los tiempos de aprendizaje de algunos alumnos pero no altera el conocimiento en juego. Conviene dar varias oportunidades a un mismo alumno para que intente resolver la actividad, además de lo que dijimos, que varios alumnos ocupen esa posición en el desarrollo de una misma lección. El profesor administra el tiempo, está alerta para que se respeten las reglas del juego, está atento a las interacciones de los alumnos con el medio y trata de mantener un clima razonable de trabajo en el aula sobre todo con quienes están ávidos por participar. La actividad se puede plantear en varias lecciones, no necesariamente consecutivas. No es necesario que todos los alumnos resuelvan el problema, el profesor recoge la información que le permite decidir qué alumnos conviene seleccionar y cuándo se acaba el juego en las condiciones especificadas21. En algunas reiteraciones de la actividad, el profesor puede modificar el medio del resolutor con un nuevo desafío: hacer “desaparecer” un vasito mientras el resolutor está buscando los pinceles. Si no hay errores en el conteo, el alumno encontrará que le sobra un pincel. Se espera que se sorprenda y reaccione diciendo: “¡Me hicieron trampa!” Esto marcaría la confianza que tiene en su propio hacer y en el conocimiento en juego, sería una señal positiva del control del alumno sobre la situación a través de su propio conocimiento. Modificar la cantidad inicial de vasitos también está entre las responsabilidades del docente, pero oportunamente puede delegarla en alguno de los alumnos y ampliar así la participación de la clase. ¿Qué pasa en el aula con esta actividad? Veamos lo que sucede en uno de los casos descritos (Brousseau, 1994). Un niño va y busca un manojo de pinceles, empieza a distribuir un pincel en cada vaso y expresa: “Ah! Me sobran tres”… percibe el fracaso en este intento. Recoge los pinceles mientras que los 20 En la enseñanza es bastante habitual recurrir a la correspondencia uno a uno para comparar dos colecciones de objetos (materiales o dibujados) cuando los alumnos no disponen de un conocimiento sobre los números que les permita decidir dónde hay más. 21 Modificando las variables didácticas es posible obtener otras situaciones que si bien se resuelven con el conteo, hace intervenir conocimientos diferentes. Como ya lo mencionamos, anticipar de cuántos paquetes de 4 galletitas hay que disponer para distribuir 3 galletitas a cada destinatario. 12

13. compañeros le sugieren: “¡Contá, contá!”. El niño cuenta los vasos, va a la mesa de los pinceles y toma un manojo, una cantidad al azar. Vuelve a distribuir los pinceles en cada vaso con el mismo riesgo –no claramente percibido- de no resolver el problema: efectivamente, no coincide. Recoge todos los pinceles y vuelve a la mesa correspondiente, sus compañeros le sugieren: “¡Contá los pinceles!”Y así lo hace, pero luego vuelve a tomar un manojo… Aunque en su medio aparece una información pertinente brindada por sus compañeros, el niño cuenta primero todos los vasitos, luego todos los pinceles, pero esos conocimientos no le ayudan a decidir cuántos pinceles debe llevar para resolver la tarea... El medio resiste a las interacciones del alumno. En distintos grupos se observó que cuando se proponía la actividad varias veces en el transcurso de la misma lección, con diferente número de vasitos, los sucesivos resolutores se encontraban con las mismas dificultades. Generalmente la respuesta correcta no es inmediata. Aún cuando pueda encontrarse un grupo de alumnos con un rico bagaje de experiencias numéricas, el conteo como conocimiento óptimo para resolver el problema es una construcción laboriosa. Inicialmente los niños piensan que hay que ir a buscar pinceles, sin hacer algo previamente. Toman y traen un manojo de pinceles y los empiezan a distribuir y descubren que sobran o faltan (raramente, por azar, aciertan a la cantidad buscada); recogen todo, dejan los pinceles sobre la mesa y empiezan otra vez. El conteo forma parte del bagaje de conocimientos del niño y está disponible como saber cultural, pero no en el uso que exige la actividad. Si fuese el docente quien indicara qué es lo que hay que contar, seguramente el alumno daría la respuesta correcta pero no por su propia iniciativa y ello cuestionaría el éxito en el aprendizaje. 1.2.2. El juego de comunicación de figuras Este es un ejemplo de situación de comunicación y dado que lo usaremos también en el capítulo 2 para ilustrar la estructuración del medio, la presentación será un poco diferente con respecto al ejemplo anterior. Haremos una descripción breve de la situación, a continuación mostraremos la planificación de la primera actividad (el juego de comunicación de figuras), luego un análisis de las decisiones tomadas en relación al medio y las interacciones previstas de los alumnos y finalmente una caracterización del medio del profesor. Breve descripción de la situación La actividad se inicia con un juego de comunicación: cada equipo de cuatro integrantes, se divide en dos grupos de dos alumnos, que cumplirán la tarea de emisores y receptores alternativamente. El grupo de los emisores posee figuras recortadas en cartón y debe obtener que sus compañeros receptores construyan una figura que se superponga al modelo. Para esto, los emisores deben enviar datos a través de un mensaje escrito, sin dibujos ni croquis. La validación se hace por superposición de la copia con el modelo. El proyecto didáctico así iniciado es más amplio, ya que el conocimiento a enseñar incluye un repertorio funcional –a nivel de la acción, en relación a la construcción de las figuras y a nivel de la formulación para determinar cuáles son los datos y el vocabulario correspondiente- para resolver problemas en un espacio del tamaño de una hoja de papel. Cuando el juego de comunicación de la primera clase acaba, cada equipo estuvo confrontado a tres o cuatro figuras diferentes y el profesor se encuentra con unos veinte mensajes e igual número de reproducciones de las figuras, algunas de ellas que se superponen con el modelo y otras no. Y eso por diversas razones. Cada equipo aprendió diferentes cosas, y los alumnos no pueden distinguir cuáles son los conocimientos nuevos. 13

14. La secuencia de actividades se hizo durante mucho tiempo en la Escuela Michelet con alumnos de 5º grado, con variantes más o menos importantes, y fue parcialmente analizada en diferentes producciones realizadas en el marco de la teoría de las situaciones didácticas. Un estudio de la situación fue emprendido por Fregona (1995), y precisamente el diseño de la actividad que presentamos a continuación22 es el resultado de un trabajo cooperativo con Denise Greslard, profesora del establecimiento. Planificación de la primera actividad: un juego de comunicación Material: - figuras geométricas recortadas en papel canson (con una cara coloreada) cuyos tamaños se dan entre paréntesis: un triángulo equilátero (15,8 cm), un triángulo rectángulo (18,8 cm, 15,4 cm y 10,7 cm), un triángulo obtusángulo (9cm, 19 cm y 15,6 cm), un triángulo acutángulo (16,8 cm, 13,2 cm y 13,7 cm), un triángulo isósceles (12,5 cm de base y 15,6 cm), un círculo (8,5 cm de radio), un cuadrado (18,2 cm), un rectángulo (19,5 cm y 11,6 cm) y un rombo (diagonales: 17 cm y 32 cm). - cada grupo de alumnos dispone de reglas, compases, escuadras hechas por plegado de una hoja, tijeras, papel blanco (ni rayado ni cuadriculado). Objetivos: - Crear las condiciones para confrontar en diferentes dominios -formulación, comunicación, construcción- los conocimientos de los alumnos sobre algunas figuras de geometría elemental. - Hacer explícito el vocabulario utilizado en la descripción de esas figuras. - Poner en funcionamiento técnicas de construcción de figuras. Descripción: - Organización de la clase: los alumnos se dividen en 7 equipos: A, B, C, D, E, F, G. Cada equipo comprende dos grupos: emisor y receptor, sucesivamente (o simultáneamente23). Los grupos que constituyen cada equipo están separados por una cortina. - Consigna: "Vamos a hacer un juego de comunicación. Los emisores se van a separar de los receptores por medio de una cortina. Los emisores tendrán una figura de cartón. Deberán transmitir a los receptores un mensaje escrito, sin dibujos, que deberá permitir a los receptores hacer una figura que se superponga con el modelo que ellos tienen. El equipo gana un punto cuando los receptores realicen, a partir del mensaje, una figura que se superponga con el modelo. Luego pueden jugar con una nueva figura. Para ganar tiempo, al comienzo todos van a ser emisores y luego todos receptores. " - Desarrollo: cada grupo tiene una figura. Los emisores redactan los mensajes. A medida que los mensajes están listos, el docente (como un cartero) los lleva a los correspondientes receptores quienes tienen la tarea de construir la figura. Terminada esa tarea, recortan la figura y se reúne el equipo para superponer la reproducción con el modelo en presencia del profesor. Acuerdan si el resultado es correcto, el docente indica sobre cada mensaje enviado "E" (éxito) o "F" (fracaso) y da un tiempo breve al equipo para que intercambie opiniones acerca del trabajo realizado. Luego entrega una nueva figura. Minutos antes de terminar la clase, en una fase de síntesis colectiva, los alumnos y el maestro verifican juntos por superposición cada reproducción con el modelo correspondiente. El docente hace una tabla con el puntaje por equipo y registra las figuras que fueron construidas correctamente y las que plantearon problemas. Advertencias: 22 Hemos conservado en este texto el formato habitual de la planificación de lecciones de la Escuela Michelet. 23 En las primeras realizaciones de esta actividad, los grupos de emisores trabajaban en la formulación mientras los receptores esperaban recibir el mensaje correspondiente. Luego, con la intención de dar tarea a todos los grupos al mismo tiempo, surgió esta variante. Oportunamente señalaremos algunas consecuencias de esta modificación, tanto a nivel de interacción de los alumnos con el medio como en la gestión por parte del profesor. 14

15. - El docente intentará no formular un criterio sobre la precisión exigida en la superposición de las figuras. Intervendrá solamente si no hay acuerdo entre los alumnos. - La distribución de figuras debe hacerse según los conocimientos disponibles de los alumnos. Se prevén mayores dificultades para el rombo -y llegado el caso un paralelogramo cualquiera, un trapecio o un polígono de mayor número de lados. Si cada grupo trabaja con más de una figura, sería conveniente no dar dos figuras del mismo tipo al mismo grupo. - Aunque el docente pueda llevar el mensaje a los emisores cuando los receptores tienen necesidad de datos suplementarios, conviene que no lo explicite en la consigna inicial para evitar que la comunicación se convierta en una actividad para "dar trabajo" al cartero. Por el contrario, si el docente se da cuenta que un grupo de receptores está bloqueado debido a ambigüedades en el vocabulario o falta de precisiones, puede sugerir que formule preguntas. - Si todos los alumnos son emisores al mismo tiempo, el docente debe estar muy atento a lo que pasa en cada grupo, en particular en el momento de llevar los mensajes -si necesitan reformulaciones- para evitar la superposición de tareas. Puede ser complicado para un grupo asumir simultáneamente el rol de emisor –al revisar el mensaje escrito y formular aclaraciones- y de receptor –al tratar de interpretar el mensaje recibido. - Cuando el docente muestra a los alumnos una figura, debe evitar "fijar" una posición en el espacio (por ejemplo el rombo con la diagonal mayor vertical) para no reforzar las concepciones previas de los niños. ¿Qué decisiones se tomaron para crear el medio? La situación prevé que los conocimientos de los alumnos sobre las figuras les permitan abordar el problema, pero al mismo tiempo que el medio sea suficientemente antagonista como para generar conocimientos nuevos. Para los alumnos el desafío está en producir una dialéctica de la comunicación en la cual la elaboración de un código (qué datos hay que dar y cómo se explicitan para determinar una figura dada) y la confrontación con la acción (interpretación del mensaje y la construcción correspondiente) constituyan idas y vueltas fundamentales para resolver el problema. Para el docente, esas decisiones que toman los alumnos sobre las figuras (acciones para tomar datos, para construir; formulaciones) son las que favorecen el uso y descubrimiento de conocimientos que dan sentido al objeto de enseñanza. Las decisiones relativas a las figuras, los materiales disponibles, la organización de la clase, nos permiten identificar algunas variables didácticas. Con respecto a la colección de figuras planas: - las figuras elegidas están en relación con los objetos matemáticos que desea enseñar. La decisión incluye figuras que han aparecido reiteradamente en los grados previos (cuadrado, rectángulo, triángulo equilátero, círculo) y también figuras poco conocidas, como rombo, paralelogramo, pentágonos irregulares, etc. Esas figuras son buenas candidatas para integrar la colección ya que no están determinadas solamente por la medida de sus lados. - los ejemplares de cada figura están recortados, para evitar el efecto de la posición del dibujo con respecto a los bordes de la hoja24. - el material en el que están hechas: se elige un papel que permita distinguir frente de reverso. Esta decisión se toma para que los alumnos puedan reconocer por superposición la figura independientemente de los giros o inversiones que se le efectúen. Además el papel es resistente al plegado, la intención es no favorecer el estudio de las figuras a través de sus ejes de simetría25. 24 Por ejemplo en los libros de texto, y en las prácticas de enseñanza, generalmente un lado de un triángulo es paralelo al borde inferior de la hoja o del pizarrón respectivamente. Y ese lado, se convierte en la base del triángulo. 25 La clasificación de cuadriláteros, como saber escolarizado, se realiza considerando propiedades de lados y ángulos. En caso de querer clasificarlos según sus ejes de simetría, el soporte debería favorecer esa búsqueda. 15

16. - las medidas de los lados son bastante grandes en relación al tamaño de una hoja A4, para hacer más evidentes los errores que se puedan producir al trazar ángulos interiores, perpendiculares, etc. Eventualmente presentan un desafío los segmentos mayores a 20 cm, sea para medirlos como para construirlos ya que esa es la longitud de la regla generalmente disponible en las clases. Con respecto a los materiales de que disponen los alumnos: - la elección de los instrumentos de geometría (reglas, compases, escuadras hechas por plegado de una hoja) determina la interacción tanto en la redacción de los mensajes como en la construcción de las figuras reproducidas. Por ejemplo, la inclusión de una regla no graduada exigiría a los alumnos conocimientos diferentes. - el papel es blanco, ni cuadriculado ni con líneas paralelas26. La interrelación entre las construcciones geométricas y las propiedades de las figuras es parte de los objetivos de aprendizaje. Fundamentalmente el grupo receptor pone a prueba el repertorio de técnicas de construcción: medir y trazar un segmento de una longitud determinada, trazar una recta perpendicular a otra por un punto, trazar una paralela a una recta por un punto dado, determinar un ángulo, etc. - la consigna prohíbe explícitamente dibujos o el calcado de la figura en los mensajes, ya que se busca que los alumnos expliciten el vocabulario que les permite describirla. Si los emisores disponen del vocabulario corriente en matemática y lo usan de modo pertinente (por ejemplo: rombo, triángulo rectángulo, diagonal, vértice, etc.) hay que ver si sus compañeros de equipo, los receptores, les dan el mismo sentido. Tal vez en esta primera actividad esas negociaciones de significado se den en el interior del equipo, pero en la secuencia de las lecciones ese proceso se pondrá en evidencia y se hará público para toda la clase. Con respecto a la organización de la clase: - la organización de la clase es por equipos, divididos en dos grupos que se desempeñan alternadamente como emisores y receptores. Se decide proponer un trabajo cooperativo a los alumnos: es el equipo el que gana un punto si la reproducción se superpone razonablemente con el modelo. Al interior de cada equipo, los emisores no compiten con los receptores. - los grupos están separados por una cortina -o cierta distancia- y el profesor actúa como cartero para evitar intercambios suplementarios de información como puede ser la que se obtiene viendo el modelo o la reproducción. Esta ayuda perceptiva podría reorientar el trabajo sobre el mensaje y recuperar de alguna manera los conocimientos que los alumnos tienen en base a experiencias anteriores, pero no es lo que se está buscando en esta fase de la actividad. - el tiempo destinado a que se encuentren emisores y receptores de un equipo después de trabajar sobre una figura puede ser muy valioso si los alumnos lo aprovechan para acordar vocabulario, técnicas de construcción, etc. El profesor no da mayores precisiones, solamente propone que hablen sobre lo que acaban de hacer; es responsabilidad de los alumnos indagar sobre las dificultades encontradas y buscar modos de superarlas. El medio del profesor En caso de que el lector sea un docente, ya puede imaginarse algunas de las condiciones que presenta el medio del profesor. Antes de la lección: Tomar decisiones en relación a la colección de figuras, los materiales que tendrán a su disposición los alumnos, cómo organizar los equipos y los grupos al interior de cada uno de ellos, qué figuras dar inicialmente a cada equipo y cuáles serán las sucesivas, qué márgenes de 26 En el papel rayado hay un soporte de información adicional: líneas paralelas, ángulos rectos, etc. 16

17. error será aceptado y cómo negociarlo públicamente, cómo intervenir si algún grupo en lugar de emisor o receptor está bloqueado en relación a los objetivos que se propone la actividad. Durante el desarrollo de la lección: - el profesor interactúa con los alumnos alentándolos a trabajar, a respetar las reglas de la actividad, a llevar los mensajes producidos al interior del equipo, pero no da información sobre los conocimientos que quiere ver aparecer. - en la consigna no se indica el margen de error permitido, porque el desafío no está en la precisión de la construcción sino en las diferentes dialécticas que plantea el juego: formulación al interior del grupo emisor y eventualmente ante el pedido de aclaraciones, interpretación de los receptores, comunicación-acción en la construcción, construcción- validación en la superposición. - acompaña al equipo en la superposición de la reproducción con el modelo, no como poseedor de la palabra justa, sino para favorecer la continuidad del proceso de enseñanza. - después de la primera figura obtenida, haya sido exitosa o no, sugiere al equipo que destine un momento para tratar de acordar sobre aspectos que crean oportunos antes de iniciar un nuevo juego con otra figura. Cuando se distinguen los tiempos de producción de los emisores y de los receptores, el profesor intenta mantener un razonable ambiente de trabajo en la clase. Cuando todos los grupos funcionan como emisores, es complicado gestionar la multiplicidad de actividades diferentes en las cuales está inmersa la clase y a la vez informarse de lo que sucede en cada grupo en las respectivas tareas. Es posible que simultáneamente, los emisores formulen y otros como receptores también formulen al pedir precisiones, otros construyen la figura según la descripción recibida, hay equipos que validan su actividad por superposición con el modelo mientras otros equipos tratan de concertar. Al finalizar la lección: - el profesor se encuentra con una colección de mensajes y figuras reproducidas, equipos que han tenido éxito en algunas de las tareas y otros que fracasaron por dificultades en la formulación o interpretación de los mensajes, o por problemas en la medición o en la construcción. La secuencia de lecciones prevé estudiar cada una de las figuras en particular, ¿qué hacer con esas producciones a partir de la segunda lección? El profesor reflexiona: ¿qué se puede hacer después de esta lección que no se podía hacer antes? ¿Qué observé como hecho notable que puede ser una referencia para toda la clase? La secuencia de lecciones prevé que cada una de las figuras sea objeto de enseñanza para toda la clase: a partir de la segunda lección, ¿qué retomar de las producciones de la primera actividad? - ¿Qué implica el éxito en la primera actividad en términos de conocimientos de los alumnos? Como lo expresa la consigna, el equipo gana cuando obtiene una figura que se superpone con el modelo. ¿Pero esto se debe a un buen mensaje? Ese calificativo "bueno", ¿tiene la misma significación para el docente que para el alumno? La calificación de "bueno", ¿se mantiene estable durante todo el desarrollo de la secuencia? ¿Qué pasa en el aula con esta actividad? El juego de comunicación fue realizado en la Escuela Michelet en numerosas oportunidades, con diversas colecciones de figuras planas. En cada realización los mensajes eran diferentes y los problemas que se planteaban también: reiteradamente el profesor se encontraba ante el desafío de decidir cómo seguir con la secuencia ya que su medio tenía condiciones que le oponían resistencia (un medio claramente antagonista para el profesor). Las interacciones de los alumnos con el medio son diferentes según la posición. Los emisores confrontan con el medio en el dominio de la formulación (y eventualmente de la acción ya que se observaron grupos que intentan construir una figura con su propio mensaje). Los receptores interpretan el mensaje e interactúan con sus materiales para trazar la 17

18. reproducción: las técnicas de construcción de una figura determinada están en el centro de la tarea. Veamos algunos ejemplos de mensajes propuestos por alumnos de quinto grado a partir de las figuras descritas en la planificación, a los cuales entre paréntesis agregamos el resultado de la superposición, entre el modelo y la reproducción. Mensaje 1:Largo 19 cm 3 mm Ancho 11 cm 6 mm (Éxito) Mensaje 2:Hay tres puntas. La línea más grande mide 12 cm, la mediana mide 9 cm y 6 mm y la más chica mide 5 cm 5 mm.(Éxito) Mensaje 3:Nuestra figura tiene tres lados. Esta figura tiene más o menos la forma de un triángulo. El lado más grande mide 19 cm y 1 mm. Lo trazan horizontalmente. Luego trazan una línea de 15 cm y 6 mm que se una a la otra línea. (La trazan ligeramente hacia abajo). El agujero que queda, lo terminan con una línea que una las otras dos líneas. (Fracaso) Mensaje 427:Es un triángulo. Su lado más grande mide 18 cm 8 mm. Su lado más chico mide 10 cm 8 mm y el último lado mide 15 cm 4 mm. P.: ¿Si el lado más grande está abajo, el más chico está a la derecha o a la izquierda? R.: Eso depende de qué lado uno lo ponga. P.: ¿Cómo es eso "lo", el más chico o el más grande? R.: Eh..., la figura. P.: Encontramos el triángulo. (Éxito) Mensaje 5:Es un triángulo, mide 15 cm 8 mm en todos sus lados. P.: La línea de abajo mide 15,8 cm y la línea de la derecha 15,8 pero la línea de la izquierda mide 13 cm. R.: Se equivocaron. (Éxito) Mensaje 6:Rombo (4 lados), la misma medida de los 4 lados: 18 cm y 2 mm. De ancho 17 cm (de izquierda a derecha). De largo (de abajo hacia arriba) 32 cm 2 mm. P.: ¿Qué es un rombo? ¿Un rectángulo o un cuadrado? R.: Ni uno ni otro. P.: ¿Entonces qué es? R.: Hagan una línea vertical y una línea horizontal que se crucen (una cruz) y unan con líneas de 18 cm 2 mm. P.: Esto no puede tener la misma medida de los 4 lados porque las medidas son diferentes. R.: Hagan una línea vertical de 32 cm 2 mm. Una línea horizontal de 17 cm. Luego unan normalmente con líneas de 18 cm 2 mm.(Fracaso) Mensaje 7:Es un redondel que tiene 17 cm de largo y de ancho. (Éxito) Mensaje 8 A:Es un rectángulo inclinado cuyos lados miden 6 cm y 2,5 cm. Mensaje 8 B: Trazar una línea de 6 cm de largo cuyo extremo izquierdo se llama A y el extremo derecho se llama B. A dos centímetros del punto A trazar una línea vertical de 1,3 cm cuyo extremo se llama C. Del punto B trazar una línea vertical de 1,3 cm de altura que se llamará D. Trazar una línea de 6 cm que une el extremo C y el extremo D. Debe pasar la línea D. Se llamará E. Unir la línea E a la línea B y C a la línea A.(Éxito) Estos mensajes obtenidos en la primera actividad de la situación de comunicación y las respectivas interacciones de los alumnos y el profesor, serán objeto de análisis en los capítulos siguientes. 1.3. Más allá del análisis realizado El desarrollo de las nociones de medio y situación, ilustrados anteriormente con dos ejemplos que corresponden a situaciones de acción y de comunicación, nos permite avanzar en la interpretación de algunos aspectos de la enseñanza de la matemática. En esta sección y sin que el orden establezca prioridades, profundizaremos en elementos que corresponden a 27“P.” y “R.” denotan, respectivamente, las preguntas de los receptores y las respuestas de los emisores. 18

19. diferentes niveles de análisis: un esquema que pone de relieve diferentes interacciones en una situación de acción, un primer análisis de los mensajes obtenidos en la situación de comunicación, un cuestionamiento acerca de la relación entre respuestas esperadas (más o menos inmediatas) por parte de los alumnos y el éxito del aprendizaje, la existencia simultánea de medios durante una actividad y la necesidad de re-pensar los saberes escolarizados. - Un posible esquema para una situación de acción La actividad de los “vasitos y pinceles” corresponde a una situación de acción: el alumno toma decisiones y el medio reacciona “mostrando”28 cuándo la cantidad de pinceles buscada es correcta. La interacción del alumno con el medio es en términos de intercambios de informaciones sin necesidad de usar un lenguaje. El alumno puede equivocarse, se le da la oportunidad de jugar otra vez, comenzará a desarrollar nuevas estrategias, tal vez algunas sugeridas por sus compañeros. Hay que tener en cuenta que los otros niños de la clase integran el medio de quien actúa y a veces la información que suministran no es interpretada por ese actor, entonces la información que le proporciona el medio no constituye una retroalimentación para él. ¿Y si no hay sugerencias de los compañeros? El medio está organizado para reaccionar con cierta regularidad para que el sujeto pueda llegar a vincular algunas de esas informaciones con sus decisiones e inclusive a anticipar esas reacciones y entonces tenerlas en cuenta en sus próximas decisiones. Los conocimientos permiten elaborar y cambiar esas anticipaciones. Presentamos un esquema de una situación de acción que enfatiza la interacción del alumno con el medio: Retroalimentación Información M A Acción P -Un primer análisis de los mensajes sobre las figuras ¿Qué “muestran” los mensajes y cómo contribuyen a plantear la secuencia de actividades en el marco de una situación de comunicación? Vamos a avanzar en algunas consideraciones teniendo en cuenta la figura descrita. 28Las comillas advierten que el medio “muestra” sólo si el alumno tiene los conocimientos necesarios para interpretar el resultado de sus decisiones. En este caso por ejemplo, al distribuir los pinceles uno en cada vasito, quedan vasitos sin pinceles. Ante ese hecho, el alumno tiene que interpretar cuál es la relación entre los cardinales de las dos colecciones. 19

20. Con respecto al rectángulo, el mensaje 1 fue exitoso para el equipo: Largo 19 cm 3 mm Ancho 11 cm 6 mm Para el profesor no es un buen mensaje: no determina una única figura, sin embargo el conocimiento implícito del ángulo recto es de tal peso que lleva a la construcción de un rectángulo que se superpone con el modelo. Consideramos que esta figura no es una buena candidata para integrar el medio de alumnos que ya tienen ciertas experiencias con los ángulos rectos en el espacio de una hoja A4. Respecto a los triángulos, . los emisores conocían el término “vértice”, lo escriben en el mensaje y luego dudan porque no sabían si ese vocablo formaba parte del repertorio compartido con los emisores. Para favorecer la cooperación en el equipo, utilizan “puntas”. . cuando el triángulo no es equilátero, los alumnos tienen ciertas dificultades para reconocerlos como pertenecientes a la clase de los triángulos. Por ello, en el mensaje 3 referido a un triángulo obtusángulo afirman que “tiene tres lados” y “tiene más o menos la forma de un triángulo”; . el mensaje 3 también muestra que tanto los emisores –en la producción del texto- como los receptores –que no piden aclaraciones- consideran que con dar la medida de la longitud de dos de sus lados es suficiente para determinar un triángulo. Actúan como si el ángulo comprendido entre esos lados tuviera una medida estándar. El equipo del mensaje 5 descubrió la posibilidad de modificar ese ángulo, hecho fundamental para concebir diferentes tipos de triángulos; . el mensaje 4 pone de manifiesto las dificultades de los receptores, en este caso, para determinar la figura independientemente de la posición. Es que, aún fijando un lado, ¿cuál de los triángulos posibles es el que describe el mensaje? El rombo provocó diálogos entre emisores y receptores y finalmente no pudieron reproducirlo. Los emisores, luego de discutir entre ellos, formulan la siguiente descripción: Rombo (4 lados), la misma medida de los 4 lados: 18 cm. y 2 mm. De ancho 17 cm. (de izquierda a derecha). De largo (de abajo hacia arriba) 32 cm. 2 mm. Los receptores no saben qué es un rombo e intentan aproximarse, a través de la descripción recibida, a un cuadrado o a un rectángulo. El intercambio de informaciones es el siguiente: P.: ¿Qué es un rombo? ¿Un rectángulo o un cuadrado? R.: Ni uno ni otro. P.: ¿Entonces qué es? R.: Hagan una línea vertical y una línea horizontal que se crucen (una cruz) y unan con líneas de 18 cm 2 mm. P.: Esto no puede tener la misma medida de los 4 lados porque las medidas son diferentes. R.: Hagan una línea vertical de 32 cm 2 mm. Una línea horizontal de 17 cm. Luego unan normalmente con líneas de 18 cm 2 mm. Para los receptores hay una contradicción: los cuatro lados tienen la misma medida y a la vez el ancho y el largo son diferentes. Formulan la objeción, pero no pueden descubrir qué 20

21. sucede y comienzan una construcción haciendo “una cruz” con los segmentos dados pero que no se cortan en sus respectivos puntos medios. El tiempo de búsqueda se acaba y el equipo no logra reproducir la figura. Respecto al círculo, Es un redondel que tiene 17 cm de largo y de ancho El vocabulario es muy básico y compartido por el equipo, de allí el éxito en la tarea de construcción. Otra vez “ancho” y “largo” indican dos dimensiones tomadas en direcciones privilegiadas–como denomina Piaget la horizontal y la vertical- y el recurso al compás correctamente utilizado, determina la figura buscada. El mensaje referido a un paralelogramo29, tiene dos versiones: A:Es un rectángulo inclinado cuyos lados miden 6 cm y 2,5 cm. Los emisores, después de escribir esta descripción intentaron confrontarla con la acción y descubrieron que faltaban datos. Emprendieron entonces la segunda versión, donde se relata un proceso de construcción con la designación de puntos clave para guiarla y el trazado de varios segmentos para controlar la inclinación y el paralelismo. B: Trazar una línea de 6 cm de largo cuyo extremo izquierdo se llama A y el extremo derecho se llama B. A dos centímetros del punto A trazar una línea vertical de 1,3 cm cuyo extremo se llama C. Del punto B trazar una línea vertical de 1,3 cm de altura que se llamará D. Trazar una línea de 6 cm que une el extremo C y el extremo D. Debe pasar la línea D. Se llamará E. Unir la línea E a la línea B y C a la línea A. (Éxito) Un conocimiento que hubiese contribuido a obtener una respuesta más económica es el de ángulo interior, pero si bien para alumnos de quinto grado la noción de ángulo es parte de un conocimiento cultural, no está disponible, no es funcional para la resolución de un problema. Tampoco estuvo disponible la diagonal del paralelogramo. Conviene recordar que la secuencia de actividades sobre la situación de comunicación de figuras prevé la construcción de conocimientos geométricos que llevarán a la descripción y reproducción de una figura a través de un mensaje mínimo30. - Relaciones entre respuestas esperadas y aprendizajes En diversas instancias de trabajo con docentes, hemos analizado los mensajes obtenidos y algunos profesores plantean por qué no se enseña previamente qué es cada figura, cómo se llama, cuáles son sus elementos y propiedades, etc. para que todos los equipos utilicen el vocabulario técnico correspondiente, obtengan las reproducciones de las figuras sin tanteos, etc. Las descripciones realizadas en los mensajes dan cuenta de conocimientos disponibles en algún grupo de alumnos, pero que no lo están para toda la clase. Precisamente se trata de crear condiciones para que los alumnos confronten sus repertorios a nivel de lenguaje y construcción de figuras, y descubran los elementos y las propiedades que permiten determinar 29 Esta descripción fue tomada de una realización previa del juego donde en la colección se incluía un paralelogramo de tamaño pequeño en relación a la hoja A4. 30 Esa condición es relativa, depende de los conocimientos de los alumnos. 21

22. una figura. Una situación de comunicación precisamente tiene por finalidad exigir a un sujeto formular un mensaje a otro sujeto para cooperar en el control de un medio que no es exactamente el mismo para ambos. Uno de los elementos que plantea dificultades es la noción de ángulo interior de una figura. Ya hemos visto que en el rectángulo, el ángulo recto es tratado implícitamente tanto por los emisores como por los receptores. Y también vimos en el tratamiento de los triángulos, que para algunos alumnos no es posible concebir la variación de un ángulo comprendido entre dos de sus lados. En el paralelogramo se recurre a ángulos rectos como auxiliares para controlar la inclinación y trazar lados opuestos paralelos. El juego de comunicación de figuras, como todas las actividades de la secuencia, se desarrolla en el espacio de una hoja de papel A4 y eventualmente en una A3, es decir en el microespacio. Los conocimientos que permiten controlar las decisiones en ese ámbito, no son los mismos cuando se amplía el espacio por ejemplo y se trata de construir un rectángulo en un pasillo de la escuela o en el patio (por supuesto, sin seguir las líneas de un cubrimiento rectangular)31. Para que el alumno trate de controlar una situación con sus propios conocimientos, el profesor busca crear una situación apropiada. Para que sea una situación de aprendizaje, es necesario que la respuesta inicial del alumno no sea precisamente lo que se quiere enseñar: si ya había que poseer el conocimiento a enseñar para poder responder a la cuestión, entonces no estaríamos ante una situación de aprendizaje. La respuesta inicial debe permitir al alumno poner en marcha una estrategia de base fundada en sus conocimientos anteriores; pero rápidamente esa estrategia debería revelarse suficientemente ineficaz para que esté obligado a hacer acomodaciones al medio, en el sentido piagetiano, es decir a modificar su sistema de conocimientos para responder a la situación propuesta. Generalmente el alumno se sorprende por no lograr resolver la cuestión en el primer intento: “¡Ah! Yo creía que era así…” Se trata de acompañarlo, entusiasmarlo para que siga buscando otras posibilidades, pero sin aportar información que cambie el sentido de sus respuestas y por tanto de los conocimientos en juego, para mantener el carácter a didáctico de la situación. - Medios durante una actividad El juego de comunicación de figuras, como su nombre lo indica, responde a una situación de comunicación. Si bien el medio es único para toda la clase, está claro que hay diferentes interacciones previstas según el grupo esté en posición de emisor o de receptor. Volveremos sobre estas cuestiones al tratar la estructuración del medio. Dejamos al lector la tarea de diseñar un esquema, en base al de la situación de acción, para bosquejar las interacciones entre los subsistemas de la situación: el alumno (emisor y receptor), medios del alumno y del profesor. Las situaciones didácticas se clasifican en tipos de acuerdo al modelo de interacciones posibles del alumno con su medio. Así, se distinguen las situaciones de acción, de comunicación, de validación… y las interacciones que caracterizan a cada una de ellas, están estrictamente incluidas porque un intercambio de juicios acerca de la verdad es un intercambio de informaciones particulares, y éste es un tipo particular de acción y de toma de decisiones. - Re-pensar los saberes escolarizados Si bien las situaciones modelizan un conocimiento o saber bien determinado, que por razones de legitimidad forma parte del proyecto de una sociedad y entonces existe en la 31 Estas nociones fueron estudiadas por Gálvez (1985), Berthelot y Salin (1992), entre otros. 22

23. currícula vigente, es necesario tomar cierta distancia con respecto a la presentación o a las tradiciones en las prácticas de enseñanza y permitirse cuestionar la organización, secuenciación y temporalización del objeto en cuestión. La transposición didáctica teoriza que cuando el objeto de saber ingresa a las currículas, el proceso de transformación del saber hace tiempo que está iniciado y continúa hasta el saber efectivamente enseñado en el aula (saber sabio, saber a enseñar, saber enseñado). Reconocer como fuente de legitimidad de los saberes a enseñar los saberes matemáticos, implica romper la ilusión de transparencia con la que aparecen, particularmente para un docente con cierta trayectoria profesional, los objetos a enseñar. Una profundización en el saber matemático en torno al cual se organiza un medio, da la posibilidad de distinguir con mayor precisión cuál es el objeto de enseñanza, qué condiciones favorecen su existencia y por tanto tomar decisiones productivas en las clases de matemática. 1.4. Algunas cuestiones en debate En la Didáctica de la Matemática, como en cualquier área de estudio e investigación, se plantean nuevas problemáticas, nuevos enfoques, revisión de resultados obtenidos desde determinadas perspectivas. En esta sección queremos dar a conocer algunos problemas planteados al interior de la teoría de las situaciones didácticas que son objeto de debates en la comunidad de producción de saberes en didáctica. - Brousseau postula que cada conocimiento o cada saber puede ser determinado por una situación que preserva su sentido. Y este es uno de los aspectos en debate: ¿es posible diseñar una situación a didáctica, para cualquier saber matemático? Esta cuestión se remonta a la década del 80. Vamos a retomar algunos aspectos del análisis de Sadovsky (2003) realizado desde la perspectiva de la Didáctica de la Matemática. En primer lugar, Brousseau “postula”, es decir recurre al vocabulario de la Matemática para sentar las bases de su teoría. Si bien la sistematización de conocimientos de la Didáctica de la Matemática no sigue las reglas de la matemática, en un sentido metafórico, da la posibilidad de plantearse cuál es el dominio de validez de la teoría en cuestión. Aunque Brousseau explicita “cada conocimiento o cada saber puede ser determinado por una situación”, él mismo advierte que no cualquier situación a didáctica característica de un conocimiento puede ser objeto de trabajo de un alumno y es tarea del docente procurarle las que estén a su alcance. Al respecto, M.J. Perrin Glorian (1999) señala: “La identificación abusiva entre situación a didáctica representativa de un saber y situación a didáctica que permite un primer encuentro con ese saber, en una institución dada, me parece una causa de malentendidos en el interior de la comunidad de investigadores en didáctica de la matemática, inclusive en Francia, y una dificultad en la articulación de los diversos marcos teóricos.” Como plantea Sadovsky, esas consideraciones, sin entrar en contradicción con la teoría de las situaciones, llevan a pensar que para algunos conocimientos no sería factible (en términos de enseñanza efectiva) concebir su entrada a la enseñanza por vía de situaciones a didácticas. Así, recupera los aportes de A. Robert (1998) quien establece relaciones entre el tipo de conocimiento al que se apunta y el tipo de escenario didáctico “adaptado” a esos conocimientos. Esta investigadora plantea que es difícil “inicializar” una secuencia a través de un “buen” problema que lleve a los alumnos “cerca”de los conocimientos a los que se apunta, cuando existe una gran distancia entre lo viejo y lo nuevo. Más específicamente, ella señala esta dificultad para introducir nociones generalizadoras, unificadoras y formalizadoras. - En este volumen usamos las palabras conocimiento y saber sin definirlas, pero su uso no fue arbitrario. La distinción entre ambos conceptos también genera discrepancias, al 23

24. interior de la comunidad de didactas franceses y en otras comunidades científicas32. Cuando el alumno en interacción con el medio elabora respuestas, óptimas o no, no puede reconocer por sí mismo si produjo un conocimiento nuevo, valioso, reutilizable en otras oportunidades. Para que esas respuestas encuentren su referencia cultural y su lugar en la trama sistemática del cuerpo de la matemática, necesita de la intervención del profesor. Existe una relación, pero también una distancia, entre el conocimiento producto de la interacción con un medio antagonista y el saber matemático: “Los conocimientos son los medios transmisibles (por imitación, iniciación, comunicación, etc.), aunque no necesariamente explicitables, de controlar una situación y obtener de ella determinado resultado conforme a una expectativa y a una exigencia social. (…) El saber es el producto cultural de una institución que tiene por objeto identificar, analizar y organizar los conocimientos a fin de facilitar su comunicación (…).” (Brousseau y Centeno, 1991, 176) - La relación entre la teoría de las situaciones y la teoría antropológica de lo didáctico La teoría antropológica de lo didáctico surge en los años 90 en las producciones de Chevallard inicialmente, profundizada luego y ampliada por numerosos investigadores en el campo de la Didáctica de la Matemática. En octubre de 2005, celebrando los veinticinco años de la difusión por primera vez de la teoría de la transposición didáctica se realizó en Baeza, España, el “I Congreso Internacional sobre teoría antropológica de lo didáctico: sociedad, escuela y matemáticas.” Uno de los frutos de ese encuentro es una obra que recoge las contribuciones de los investigadores que participaron en el mismo33. Hay investigadores posicionados en uno y otro dominio teórico, desde el cual valoran la superioridad del enfoque adoptado. Con el transcurso del tiempo, la profundización de las cuestiones ha llevado a algunos estudiosos a plantear la complementariedad de ambos enfoques. ¿Cuáles son las nociones de las dos teorías que parecen próximas y pueden considerarse como puntos de contacto? ¿Dónde se bifurcan los caminos? ¿Qué problemas permite abordar una teoría y otra? 1.5. Retorno a las nociones de enseñanza y situación La enseñanza, en el desarrollo de la teoría de las situaciones, tiene diferentes acepciones que enfatizan distintos aspectos del proceso. Una la concibe como el proyecto social de que un alumno se apropie de un saber constituido o en vía de constitución. Otra, posterior, caracteriza también al aprendizaje y considera que la enseñanza es una actividad que combina dos procesos: la aculturación y la adaptación independiente. Entendemos que la segunda es más abarcativa ya que “el proyecto social” que podría estar inicialmente vinculado a las currículas vigentes se abre a la perspectiva de la aculturación en tanto fenómenos de contacto entre culturas –la del medio social al que pertenece el alumno y la matemática- y entonces a una mirada antropológica. Desarrollamos en este primer capítulo del texto algunos aspectos del proceso de “adaptación independiente” –en el sentido de las situaciones adidácticas- al tratar la noción de medio y dimos además abundantes referencias bibliográficas. Desde esta perspectiva fundada en la psicología cognitiva, las situaciones son las herramientas que posee el profesor para crear un espacio de producción y transformación de conocimientos, una situación es un modelo de interacción entre un sujeto y un medio determinado, considerado éste como un subsistema34 autónomo, antagonista del sujeto. 32 La difusión de producciones francesas en inglés genera problemas a los traductores, ya que en ese idioma el verbo “to know” reúne ambas acepciones. 33 Véase Ruiz Higueras et al. (2007). 34 En el sentido que no puede concebirse de manera independiente de los otros componentes. 24

25. Al enfatizar en la enseñanza el proceso de interrelación entre culturas, la situación didáctica se amplía y deviene “el entorno del alumno que incluye todo lo que coopera específicamente en la componente matemática de su formación.” (Brousseau, 2007, pp. 49- 50) Y esta caracterización que extiende el entorno didáctico a otros medios no necesariamente organizados por el profesor en un entorno escolar, nos permite vincular la teoría de las situaciones con otras corrientes teóricas: - con la teoría antropológica de lo didáctico, donde como hemos dicho la Didáctica de la Matemática se define como “el estudio de la matemática” y la enseñanza es uno de los modos de acceso a la cultura matemática. En esta teoría se enfatiza que el estudio no vive encerrado en el aula, hay procesos de estudio que se realizan fuera de ella y la escuela debe crear medios para que los alumnos estudien y aprendan al salir de la escuela. Además, es importante considerar que en la sociedad hay ámbitos en los cuales la gente estudia matemáticas: empresas, laboratorios de investigación o de innovación tecnológica, departamentos universitarios, etc. Espacios que exceden el tiempo de la escolaridad obligatoria y de la enseñanza en instituciones didácticas. - algunas producciones de Schoenfeld (1992) se refieren a una tendencia en investigaciones que conciben el aprendizaje de la matemática como una actividad inherentemente social (además de cognitiva) y como una actividad esencialmente constructiva (en lugar de absorbente). Y destaca dos formas de asumir un punto de vista constructivista: desde una esfera fundamentalmente cognitiva y más recientemente hacia una esfera social. Schoenfeld cita a Resnick (1988): "Varias líneas de la teoría cognitiva y de la investigación apuntan a que desarrollamos hábitos y destrezas de interpretación y construcción de significado a través de un proceso que es más fructífero concebir como de socialización que como instrucción". La noción identificada como "aculturación" es central aquí en cuanto señala y resalta la importancia de la perspectiva y del punto de vista como núcleos del conocimiento. Puede argumentarse que una componente fundamental del pensar matemáticamente es tener un punto de vista matemático, es decir ver el asunto como lo ven los matemáticos ya que lo que estamos tratando es la entrada a la cultura matemática. Schoenfeld señala que si bien la perspectiva cultural está antropológicamente bien fundada (y cita a Geertz, 1983) su entrada a la investigación en Educación Matemática se produce a fines de los 80. En esa perspectiva rescata las comunidades de práctica estudiadas por Lave y Wenger (1989). - la amplia perspectiva de la modelización en la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en diferentes niveles de escolaridad, con modelos matemáticos “auténticos” o no, desarrollada inicialmente por Blum, W. (1991), Blomhoej, M. (1991), Hoyles, C., Noss, R. & Pozzi, S. (1999), entre otros. Sin la intención de ser exhaustivos, mencionamos otros enfoques teóricos, relativamente actuales en Educación Matemática, que tematizan las relaciones entre la matemática y la sociedad. Así, la vinculación entre educación matemática y problemáticas sociales son abordados desde el enfoque de la educación matemática crítica, desarrrollado por Skovmose (1994) y otros. La etnomatemática, inicialmente elaborada por D‟Ambrosio (1990), considera la diversidad cultural en el campo de la matemática. 25

26. Capítulo 2. La estructuración del medio En el análisis del juego de comunicación de figuras hemos visto que si bien el medio es único para toda la clase, es claro que hay diferentes interacciones cuando los alumnos se posicionan como emisores o como receptores. En este capítulo abordaremos el estudio de una herramienta de la teoría de las situaciones, la estructuración del medio, que nos permitirá analizar más finamente las diferentes posiciones del alumno y del profesor, y entonces de las posibles interacciones con sus respectivos medios. 2.1. Una primera aproximación La estructuración del medio es una noción de la teoría de las situaciones introducida por Brousseau en 1986, en un curso dictado en la IV Escuela de Verano de Didáctica de las Matemáticas. Ha sido frecuentemente utilizada en trabajos de investigación, estudiada y profundizada por el mismo Brousseau (1986b, 1988, 1990a) y otros investigadores. Margolinas y Steimbring (1994) incluyen nuevas posiciones y situaciones35, pero en este texto estudiaremos las presentaciones originales. Como ya lo anticipamos, en español también fue difundida36 y generalmente su presencia en los textos es fácilmente advertida por el siguiente esquema que contribuye a su interpretación. S5 sujeto objetivo S4 sujeto que actúa S3 sujeto del aprendizaje S2 alumno genérico S1 sujeto universal P2 profesor enseñando P1 profesor que prepara su clase  observa o actúa sobre Medio material Situación objetiva Sit. de referencia Sit. de aprendizaje Sit. didáctica Sit. metadidáctica A la izquierda se indican los diferentes niveles del medio, apoyados unos en otros en términos de medios y situaciones. A la derecha, se distinguen: - dos posiciones para el docente relativas a la gestión de la clase: profesor que prepara su clase, profesor enseñando, - cinco posiciones que puede adoptar el alumno referidas fundamentalmente a aspectos cognitivos en la interacción con su respectivo medio. De adentro hacia fuera: sujeto objetivo, sujeto que actúa, sujeto del aprendizaje, alumno genérico, sujeto universal. ¿Significa que en una situación cada sujeto debe pasar sucesivamente por los diferentes niveles? No necesariamente, la estructuración del medio es un modelo que muestra las interacciones posibles –referidas a una decisión según ciertas reglas, a una formulación que emite o recibe e interpreta, a una validación de un procedimiento o aserción, etc.- de un sujeto ante un medio. El alumno puede llegar a identificarse con esos cinco sujetos. Las dos posiciones previstas para el profesor parecen verosímiles, están presentes en cada situación porque es quien las organizó. Su actividad en el transcurso del tiempo y sus producciones generan las condiciones que lo habilitan a la siguiente situación. De allí el apoyo de una en otra. 35 Los autores incluyen una posición del profesor en tanto que observador (del trabajo de los alumnos) y una situación noosferiana, donde se ubica el profesor atendiendo a las ideologías de la noósfera, en referencia a la transposición didáctica. (Chevallard, 1985). 36 Véase Brousseau (1988) y Brousseau (2007). 26

27. La lectura del esquema partiendo del interior permite distinguir que la situación de un nivel deviene el medio para un sujeto exterior. Así, el medio material (M5) y el sujeto objetivo (S5) –exterior a él- constituyen la situación objetiva. Dicha situación para un alumno que ocupa la posición de sujeto que actúa (S4) es su medio objetivo (M4) y entonces las interacciones del binomio M4-S4 forman la situación de referencia. Ésta deviene el medio de referencia (M3) para el sujeto del aprendizaje (S3) y esa dupla forma la situación de aprendizaje. El alumno genérico (S2) con el medio de aprendizaje (M2) da lugar a la situación didáctica donde, por primera vez, se encuentra la presencia del profesor. Y finalmente –aunque este proceso reflexivo puede reiterarse- el medio didáctico (M1) y el sujeto universal (S1) forman la situación metadidáctica. Para decirlo más brevemente, siempre el sujeto y el medio de un nivel n definen una situación que llega a ser el medio para un sujeto ubicado en el nivel (n + 1). Hasta aquí hemos realizado una breve descripción del esquema presentado, la idea en este capítulo es estudiar el funcionamiento de la estructuración del medio. Para cada nivel tomaremos la descripción que realiza Brousseau e ilustraremos posibles interpretaciones con ejemplos tomados del estudio de figuras planas. 2.2. Descripción y utilización de los diferentes niveles 2.2.1.La situación objetiva: binomio sujeto objetivo S5-medio material Cuando el profesor prepara una clase en torno a un determinado conocimiento, organiza un medio, llamado medio material, que comprende objetos concretos (aunque puede no haberlos), las interacciones posibles de los alumnos, la definición de éxito y de fracaso de la actividad del alumno. Considera al mismo tiempo un sujeto simbólico, el sujeto objetivo, al que supone capaz de comprender la consigna y actuar en consecuencia. Este par medio-sujeto constituye la situación objetiva que es lo que se propone efectivamente como medio al alumno que en posición S4 interactúa con él. En el caso del estudio de las figuras, el profesor elige cuáles son las figuras con las cuales trabajará en la clase, las interacciones posibles (las reglas de juego) y las acciones que espera del alumno al inicio y al final del proceso de enseñanza. Generalmente, en la escuela primaria, el profesor dispone de una colección de piezas, dibujos, objetos o expresiones escritas u orales en lenguaje común o matemático. En una situación desprovista de intenciones didácticas, esos objetos se denominan según el lenguaje usual del medio cultural del alumno: un rectángulo, una baldosa, un barrilete, una tira, etc. Así, mientras que al exterior de la relación didáctica esos objetos tienen ciertas propiedades, en la relación didáctica se convierten en medio material y se caracterizan por sus propiedades geométricas: tiene un ángulo recto, tiene dos lados congruentes, es un rombo, etc. Cuando el maestro piensa decir en la consigna: “Trazamos un triángulo equilátero…” tal vez esté seguro que no toda la clase sabrá construirlo, pero está obligado a tomar una decisión – explicitada en la consigna- para estructurar la secuencia. El alumno que escucha esa instrucción, se ubica en la posición S5 y atribuye a un objeto el nombre “triángulo equilátero”. Sabe que ese objeto existe y que alguien puede reconocerlo y construirlo. S5 no está sometido a ninguna confrontación, el profesor supone que puede resolver la cuestión de una manera estándar. Y el alumno, ¿puede ubicarse en esa posición? Sí, aunque tal vez no pueda resolver la tarea expresada en la consigna. Veremos este hecho en relación al siguiente nivel. 2.2.2. La situación de referencia: sujeto que actúa S4 sobre el medio objetivo El alumno frente a la situación objetiva está en posición S4 de sujeto que actúa. Puede imaginarse en el lugar de S5, identificarse con él y comprender su punto de vista. Para un 27

28. observador en una clase efectiva, por momentos puede no haber diferencia entre un sujeto en S5 y un sujeto en S4, pero para el actor mismo, la diferencia está entre su propia interacción con el medio y la de otros. Volvamos al estudio de las figuras. Las interacciones de un sujeto que actúa con el medio objetivo dependen de la situación planteada. Es posible que el alumno deba observar con atención para aprender, por ejemplo, a reconocer figuras en los objetos que el profesor le muestra. O bien, que tenga la posibilidad de confrontar lo que conoce sobre una figura y el control efectivo sobre el micro espacio. Veamos un ejemplo, tomado de la secuencia de comunicación de figuras. Estaba previsto el estudio del triángulo y los objetivos de la lección eran: a) saber reproducir un triángulo, b) reconocer si un mensaje es bueno, es decir si permite construir un único triángulo. La planificación de la lección contemplaba construir un triángulo a partir de uno de los mensajes obtenidos en la primera lección, producto del juego de comunicación. El desarrollo previsto era: la exposición de uno de los mensajes en el pizarrón, el que el profesor creyera más adecuado; la lectura en silencio por parte de los alumnos; si la clase no manifiesta dificultades con la formulación, el profesor propone una actividad con la siguiente consigna: “Con este mensaje, ¿creen que podrán construir un triángulo que se superponga al modelo? Intenten hacerlo, pueden hacer varios ensayos, pero cuando decida que se acabó el tiempo, dejen de trabajar. Tienen aproximadamente 5 mn.”37 En la realización efectiva de la clase38, sucede lo siguiente: La profesora escribe en el pizarrón: Hagan un triángulo con un lado que mida 15 cm 7 mm. Luego un lado que mida 19 cm 2 mm y finalmente un lado que mida 9 cm. /Los alumnos leen, uno de ellos pide permiso para hablar./ M.: ¿Qué quieres decir? ACL: No entiendo porque dice un lado... un lado… un lado… No se sabe de qué lado habla, si es el que está a la derecha o abajo… Antes que la maestra formule la consigna donde solicita la construcción de la figura descripta por el mensaje, ACL alumno de quinto grado se representa el objeto triángulo y un sujeto S5 que puede o ha podido hacer algo con él. Él mismo, como alumno que debe tomar decisiones sobre esta figura se encuentra ante un problema. Tal vez porque han estado trabajando con construcciones de figuras sobre hojas de papel, ACL anticipa que tendrá que construir ese triángulo cuya descripción le parece insuficiente para determinarlo. Están dadas las medidas de longitud de los tres lados, ¿pero qué lado hay que poner abajo? El triángulo era hasta ese momento un objeto sobre el cual se conocen ciertas cosas, pero cuando ACL se ve en la posición de tener que tomar una decisión como por ejemplo construirlo, tiene necesidad de otros datos. Si no se dice en qué posición está cada lado, ¿se puede obtener un triángulo que se superponga con el modelo? ¿Será “el mismo” triángulo aunque tenga otra posición? Ante la inminencia de la acción, ACL se plantea una cuestión, los otros compañeros pueden o no tener la misma duda. Pero se ve bien aquí la diferencia que separa a uno mismo de los otros, como plantea Brousseau en la caracterización del nivel. Para un observador, la posición de ACL podría representarse con el siguiente esquema en el cual ACL está en posición de actor S4 y se diferencia de S5. 37 En esta situación el tiempo opera como variable didáctica. Los alumnos no tienen un procedimiento algorítmico para construir triángulos, por ejemplo con regla y compás. Se trata que intenten la construcción y reflexionen sobre la pertinencia de los datos. 38 Fregona, D. (1995). “M” designa al maestro, ACL a un alumno. S5 M5 S4 28

29. 2.2.3. La situación de aprendizaje: sujeto del aprendizaje S3 - medio de referencia Como hemos visto, es el medio de referencia y el alumno en la posición de sujeto del aprendizaje S3, los que forman la situación de aprendizaje. Las interacciones de un alumno posicionado como un sujeto que actúa S4 o como un sujeto del aprendizaje S3 con sus respectivos medios, son radicalmente diferentes. Los primeros establecen relaciones de acción; los segundos tienen la posibilidad de cuestionarse las decisiones tomadas, están en una posición más reflexiva y sus interacciones con el medio M4 responden más a tipos de situaciones de formulación o de prueba. Para desarrollar su proyecto de enseñanza, el profesor se apoyará en esta situación de aprendizaje. Veamos, desde la perspectiva de este nivel, las interacciones de FEC y LPI, dos alumnos que formaban el grupo que escribió el mensaje sobre el paralelogramo39. Como emisores, están en la posición S4, ante un medio objetivo. Midieron los lados y redactaron una descripción: “Es un rectángulo inclinado cuyos lados miden 6 cm. y 2,5 cm.” Antes de enviar el mensaje, intentan construir la figura según esa formulación, es decir consideran que un alumno en posición S5 podría ser un receptor. Se convierten entonces en sujetos en posición S4 pero en el lugar de receptores. Siguiendo su propio mensaje, se dan cuenta que se podrían obtener varias figuras con diferentes “inclinaciones”. Se sorprenden, los conocimientos utilizados no alcanzan… ¡Ese medio es antagonista! Reflexionan, discuten y finalmente FEC mide con la regla la altura –casi perpendicular- entre los lados más largos. Y afirma: “¡Ah! 1,3cm. Si se da esta altura, ya está.” La cuestión no fue tan simple, lo que estaba considerado ahora era la recta paralela a uno de los lados, pero ¿dónde estarán los vértices sobre esa recta? El ir y venir entre la acción y la formulación les permite obtener, después de un arduo trabajo, la segunda versión del mensaje: “Trazar una línea de 6 cm. de largo cuyo extremo izquierdo se llama A y el extremo derecho se llama B. A dos centímetros del punto A trazar una línea vertical de 1,3 cm cuyo extremo se llama C. Del punto B trazar una línea vertical de 1,3 cm de altura que se llamará D. Trazar una línea de 6 cm que une el extremo C y el extremo D. Debe pasar la línea D. Se llamará E. Unir la línea E a la línea B y C a la línea A.” La figura siguiente nos permite seguir la descripción del proceso de construcción: E C D A P B Estos alumnos someten cada anticipación a la verificación efectiva: tienen una idea, la llevan a cabo sobre la hoja de papel blanco. Finalmente superponen su construcción con el modelo, se sienten satisfechos de la producción y comienzan a formular el mensaje para los receptores. Los receptores siguieron paso a paso el procedimiento de construcción, pero algunos errores en las medidas, en particular en los ángulos rectos, les impiden obtener una figura que se superponga con el modelo. Y así lo observa el equipo, ante la presencia del profesor. El equipo que integra FEC en la posición S4 no tuvo éxito, ya que la consigna planteaba formular un mensaje y construir una figura que se superponga con el modelo. ¿Significa que 39 Identificado como Mensaje 8, en el capítulo anterior. 29

30. fracasó el aprendizaje? No necesariamente, FEC percibe los errores, levanta los hombros y declara: “No es nada, funciona.” No tropieza con la precisión en las medidas, está seguro que con ese procedimiento puede determinar ese cuadrilátero. Su desafío era ése y mira la producción de su equipo como sujeto que actúa y desde S3, reflexiona sobre esa situación. ¿Ese procedimiento es válido para determinar cualquier paralelogramo? FEC no se plantea la cuestión, por el momento llegó a controlar esta figura particular. Esa cuestión tampoco entra, por ahora, en la problemática del profesor: la situación de comunicación no ha previsto esa discusión y ella envía a una problemática de generalización y validación. Un alumno puede encontrarse en una posición S3 sin haber “pasado” por S4, en ese caso tal vez al imaginar lo que hubiese podido hacer como sujeto que actúa con el medio M3, no pueda anticipar las retroacciones de ese medio y su reflexión actual se vea sensiblemente limitada. Para el alumno en la posición S3, es la acción desarrollada por sí mismo o sus compañeros (aún evocada) en S4 y la reflexión sobre esa acción la que favorecen el descubrimiento de otras posibilidades de interacción, es decir de otros conocimientos. 2.2.4. La situación didáctica: profesor enseñando - alumno genérico - medio de aprendizaje El profesor aparece aquí como enseñante, aunque en el modelo no estaba presente fueron sus decisiones las que determinaron la organización del proceso. Cuando se ubica en la posición de preparar su clase, organiza el medio material y la acción de un sujeto objetivo. La posibilidad de que el alumno ocupe efectivamente diferentes posiciones depende del funcionamiento a didáctico de la situación, o de los ajustes que pueda hacer el profesor. Generalmente se trata de estudiar en profundidad la situación objetiva propuesta, ya que las correcciones en el rumbo son difíciles de llevar a cabo debido a las urgencias de la práctica, en la interacción del profesor con los alumnos. A veces, entre una actividad y la siguiente, hay tiempo para que el profesor se ubique en posición de quien prepara su clase (P1) y analice, revise y redefina el rumbo. En este nivel el profesor interactúa con un alumno genérico y también con el medio de aprendizaje (M2), es el espacio donde se produce el cambio de conocimientos en saberes - relativos a la producción hasta el momento- o de vinculación entre conocimientos. Este espacio se caracteriza porque el alumno ocupa su lugar como tal y el profesor actúa dando a conocer el texto del saber oficial a partir de los conocimientos aprendidos, descubiertos por los alumnos en la situación precedente. El profesor tiende a enviar al alumno a la posición S3 para retomar sus reflexiones y confrontarlas, según su proyecto, con un saber matemático constituido. El contrato didáctico40 va a regular ese pasaje a didáctico/didáctico en el nivel de la situación didáctica: es el profesor quien tiene la responsabilidad de identificar y comunicar el saber correspondiente a la situación propuesta. 2.2.5. La situación meta-didáctica: profesor que prepara su clase - sujeto universal – medio didáctico La dupla P1-S1 que interactúa con el medio didáctico (M1) define la situación metadidáctica. Ese medio está constituido por la situación didáctica, y el tipo de interacción es reflexiva tanto por parte del profesor como del alumno. El profesor se posiciona en esta situación metadidáctica tanto cuando inicia el desarrollo de un curso, como durante la marcha: prepara, observa, analiza producciones de los 40 Esta noción es fundamental en la teoría y está desarrollada en los diferentes artículos que aparecen en la bibliografía. Brevemente, se refiere al sistema de obligaciones recíprocas -explicitadas en una pequeña parte- entre el profesor y los alumnos en torno a un conocimiento o saber determinado. Volveremos sobre esto más adelante, en este capítulo. 30

31. alumnos (trabajos escritos individuales o grupales), evalúa cuáles de las decisiones tomadas en el medio objetivo de cada clase son adecuadas a su proyecto de enseñanza, y decide cómo avanza en ese proyecto. El profesor debe evaluar cuáles son las experiencias susceptibles de ser reconocidas como conocimientos de la clase, qué conocimientos han sido explicitados y qué otros no tomaron estado público, qué saberes pueden obtenerse legítimamente de ese medio didáctico y cuáles deberán esperar un momento más favorable. Este análisis organiza las decisiones del docente y si reconoce explícitamente su fracaso frente a los alumnos –en relación a los propósitos planteados- puede comenzar, sea una justificación de la tentativa o una acusación a los alumnos por los errores que cometieron. El alumno también puede observar, analizar, juzgar, etc. su propio aprendizaje y/o toda la dinámica de la situación didáctica ya que también puede ocupar una posición metadidáctica. Se encuentra fundamentalmente en un proceso privado donde analiza sus decisiones, la forma en que abordó el problema y las posibles alternativas, la formulación elegida, la validez de su respuesta y el dominio de validez, etc. Es la posición en la que intenta reorganizar sus conocimientos como resultado de su interacción con el medio didáctico. El alumno en posición S1 sale de la relación didáctica y la juzga. En el juego de comunicación de figuras por ejemplo, ante la consigna donde se prohíbe dibujar, un alumno afirma: “Sería demasiado fácil dar la figura directamente.” El alumno hace deducciones a partir de su conocimiento de la gestión de la clase realizada por el profesor, es el alumno que conoce las condiciones de escolaridad y que es capaz de desprender conocimientos sobre el medio didáctico. 2.3. Más allá del análisis realizado La descripción de la estructuración del medio y el uso en la interpretación de posibles posiciones de alumnos y docentes fue objeto de la sección anterior. Ilustramos la utilización de esa noción teórica con ejemplos tomados de la situación de comunicación de figuras, pero hay muchos otros casos estudiados y publicados en diferentes artículos. La potencia de la herramienta abre la posibilidad de plantearse nuevas cuestiones y avanzar en el análisis realizado. Muestra de ello son los siguientes apartados: en el primero exploramos la dialéctica formulación acción para un alumno en la posición de sujeto que actúa; luego un estudio del contrato didáctico en relación con los diferentes niveles de estructuración del medio; finalmente conclusiones parciales del estudio realizado permiten diferenciar las interacciones de los sujetos con las figuras según los niveles en los cuales se posicionan. 2.3.1. Una interpretación del alumno en posición del sujeto que actúa S4 Hemos anunciado que aunque el profesor organiza un medio en su clase, las interacciones posibles de los alumnos hacen que convivan diferentes medios en simultáneo. A la luz de la estructuración del medio esa afirmación resulta al menos plausible, debido a los diferentes posicionamientos que pueden adoptar los alumnos y las interacciones con el medio correspondiente. Hemos explicitado que las interacciones del alumno con su medio según cada tipo de situación (acción, formulación, validación) están estrictamente incluidas porque un intercambio de juicios acerca de la verdad es un intercambio de informaciones particulares y éste es un tipo particular de acción y de toma de decisiones. La estructuración del medio nos permite desarrollar una interpretación posible de las dialécticas formulación-acción- validación según que el grupo de alumnos esté en posición de emisor o de receptor. La situación de comunicación exige: al interior del grupo emisor formulación y eventualmente acción para someter a prueba el mensaje elaborado, revisión de la formulación y también de la 31

32. acción ante un ocasional pedido de aclaraciones; interpretación de los receptores e inicio del trazado lo cual implica un diálogo entre la comunicación y la acción en la construcción, y en el equipo la vinculación entre la acción y la validación de la tarea por superposición41. La posición S4, en el juego de comunicación, está ocupada por emisores que designaremos S4E o por receptores, que en tanto sujetos que actúan, denotaremos S4R. Según la organización de la clase, en un equipo, hay un grupo de al menos dos emisores y otro de al menos dos receptores, con una tarea a llevar a cabo en un trabajo cooperativo. El medio material, para los alumnos en la posición S4E, esta compuesto por42: - una colección de figuras recortadas, hojas blancas, escuadras, reglas, compás, lápices y gomas. - las reglas de juego, es decir las interacciones permitidas con el medio objetivo. Para cada partida o sea, para cada figura recibida: elaborar un mensaje escrito, sin dibujos (ni calcado ni esquemas). Cuando el mensaje está terminado, el profesor lo lleva al grupo de los receptores. - el desafío del equipo es obtener una figura que se superponga con el modelo, pero para el grupo emisor el problema es identificar los datos considerados necesarios para reproducir la figura y formular un mensaje que resulte claro43. El alumno, en tanto emisor, interactúa con el medio material y con sus compañeros de grupo. Cada alumno tiene, con respecto a la figura que recibe como modelo, ciertos conocimientos y como el mensaje debe ser único, la formulación debe ser el resultado de una concertación del grupo. Hay un trabajo de puesta a punto de un lenguaje, pero también de los conocimientos involucrados. Cuando un alumno en la posición S4E considera a sus compañeros receptores en la posición S5 –es decir un sujeto que se enfrenta a un medio en el cual, además de lo previsto por el profesor, está el mensaje producido por los emisores- la formulación del mensaje implica una compleja trama de significados. Veamos un ejemplo de esta negociación. Los emisores, en la primera parte del juego de comunicación, reciben un triángulo. Discuten en el grupo sobre el vocabulario a utilizar porque no están seguros que “triángulo” y “lados” formen parte del repertorio lingüístico de los receptores. Deciden no correr riesgos, y el mensaje resulta: “Hay tres puntas. La línea más grande mide 12 cm, la mediana mide 9 cm y 6 mm y la más chica mide 5 cm 5 mm.” En este caso, los alumnos en la posición S4R no tuvieron inconvenientes en la interpretación del lenguaje ni en la construcción, la dialéctica comunicación-acción no planteó dificultades y tampoco la superposición de la reproducción con el modelo, entonces el ida y vuelta entre la construcción y la validación fue exitoso. Cuando los alumnos en posición S4R tienen dudas, pueden pedir por escrito precisiones suplementarias. El medio objetivo con el que interactúan no es el de los emisores, sin embargo en el momento de formular una pregunta tienen que acordar y están, frente al mensaje, en la posición de emisores. Retomemos el mensaje 4, ya presentado en el Capítulo 1, relativo a un triángulo. La producción del grupo en posición S4E fue: “Es un triángulo. Su lado más grande mide 18 cm 8 mm. Su lado más chico mide 10 cm 8 mm y el último lado mide 15 cm 4 mm.” Los alumnos OLM y WAC en S4R no pueden interactuar con el papel blanco y producir la figura descrita, la dialéctica comunicación-acción está bloqueada, no hay ida y vuelta entre el mensaje recibido y una construcción que responda a la descripción. Discuten 41 La validación de la tarea es aquí una fase en la situación de comunicación, no constituye en sí misma una situación de validación. 42 Véase el material disponible según la planificación del juego de comunicación presentado en el Capítulo 1. 43 El alumno en tanto que emisor asume que tiene que describir la figura para que sus compañeros puedan reproducirla, generalmente no se plantea el problema de seleccionar los datos que permiten determinar la figura recibida. 32

33. acerca de las posibles posiciones de cada segmento, consideran insuficiente la información recibida y deciden pedir precisiones por escrito: ¿Cómo formular una pregunta que reduzca la incertidumbre debida a la posición del triángulo? OLM: A ver (...) hagamos una pregunta. ¿Cuál es el lado al lado de…? No, así no va, ¿cómo se dice? [713] A ver, ¿qué pregunta hacemos? El lado más grande, ¿está entre los otros dos? /OLM duda./ OLM: Este... ¡Ah! Cuando el lado más grande está abajo, el más chico ¿está a la derecha o a la izquierda? WAC: ¡Bien! Y esa es la pregunta, tal como la formula OLM, que el maestro lleva al grupo receptor. Si en los mensajes estuviera permitido incluir dibujos, evidentemente los conocimientos que permitirían controlar la situación estarían disponibles en estos alumnos porque se trataría de un ejercicio de reproducción por calcado del modelo o elaboración de un croquis. Con esa prohibición, ¿se trata de contrariar las prácticas de enseñanza en geometría donde es clásico recurrir a un dibujo? Claro que no, estamos buscando crear un medio antagonista que exija diálogos durante la formulación y también en la acción sobre el micro espacio. La prohibición de los dibujos se justifica entonces por la necesidad de: - crear un vocabulario pertinente y funcional para describir figuras planas, - evitar el aporte de información suplementaria dada por la “forma” y la posición de la figura en cuestión. - evitar las retroacciones inmediatas de un medio que, con un dibujo de la figura en cuestión, facilitaría la tarea pero no daría lugar a la interacción con un medio que se resiste: interpretar el mensaje recibido, consensuar una formulación con el compañero de grupo, atreverse a iniciar una construcción y descubrir cómo dependen –o no- los elementos sobre los cuales se tiene información. Estos intercambios, para un observador, podrían representarse con un esquema como el siguiente: Los intercambios entre S4E y S4R continúan y finalmente ese equipo tiene éxito en la tarea. Los receptores, reciben la cuestión y elaboran una respuesta, la cual necesita de más precisiones. La versión completa del mensaje es: Es un triángulo. Su lado más grande mide 18 cm. 8 mm. Su lado más chico mide 10 cm. 8 mm. y el último lado mide 15 cm. 4 mm. P.: ¿Si el lado más grande está abajo, el más chico está a la derecha o a la izquierda? R.: Eso depende de qué lado uno lo ponga. P.: ¿Cómo es eso "lo", el más chico o el más grande? R.: Eh..., la figura. P.: Encontramos el triángulo. Aparece en este caso el frente y el reverso de la figura, por eso las figuras están realizadas sobre papel que permite distinguirlos. Como en este mensaje, esa ayuda a los alumnos les permite interpretar la retroalimentación que les ofrece el medio. El análisis de estos ejemplos muestra que la organización particular de un medio objetivo genera idas y vueltas entre la formulación y la acción que permiten producir nuevos conocimientos. En este último ejemplo, en el momento de iniciar la acción los alumnos en S5 M5 S4R S4E 33

34. S4R advierten que, según sus conocimientos, faltan datos para reproducir el triángulo que posee el grupo en S4E. Las dialécticas entre la formulación y la acción es también muy fuerte cuando, después de haber intentado construir una figura según un mensaje dado, el trabajo se hace público y se trata de formular un enunciado que permita a cualquier alumno –de esa clase u otra- construir una figura que se superponga con el modelo. Entonces se da el diálogo entre la formulación y la acción en el marco de la cultura de la clase y también en la de referencia, ya que se inicia el proceso de conversión de conocimientos en saberes. 2.3.2. El proceso de búsqueda de contratos didácticos Introdujimos la noción de “contrato didáctico” al analizar el nivel del medio en el cual el profesor interviene directamente con los alumnos, es decir en la situación didáctica. En ese nivel el profesor se relaciona con el medio de aprendizaje (M2), es decir con los alumnos que posiblemente ocuparon las posiciones de sujeto que actúa y sujeto del aprendizaje y con sus producciones. En el marco de la relación didáctica, tanto el docente como los alumnos, saben que tienen responsabilidades con respecto al objeto de enseñanza y en la teoría de las situaciones, ese sistema de obligaciones recíprocas, que se parece a un contrato, se denomina “contrato didáctico” ya que es específico del objeto matemático tratado en la enseñanza. Aprender, como vimos, no es seguir indicaciones y copiar respuestas a problemas. Un proceso de aculturación, de entrada a la cultura matemática, exige plantear y resolver problemas, formular, simbolizar, elaborar pruebas, etc. Por tanto, cuando el profesor explicita una consigna para iniciar una actividad matemática en su clase, da cuenta de su proyecto de enseñanza, pero no puede comunicar del mismo modo el objeto de aprendizaje porque esa es la parte fundamental del trabajo del alumno. Al interactuar con la clase en la posición de profesor enseñando, el docente se relaciona a través de la palabra pero muchas veces de manera implícita –silencios, tonos de voz, gestos, posición del cuerpo, modificación de la distancia con un alumno o un grupo- para hacer avanzar el objeto de estudio. Dado que lo fundamental de esa interacción es implícito, el contrato didáctico vigente se pone de manifiesto por las rupturas, es decir cuando uno de los actores (el profesor o los alumnos) no responde a las expectativas del otro. ¿Es grave para la relación entre esos actores que acontezca una ruptura de contrato? No, porque no significa un quiebre en la relación interpersonal sino que es parte del proceso de aprendizaje y también de enseñanza: el profesor negocia con sus alumnos los significados de los objetos matemáticos en cuestión y juntos tienen la responsabilidad de trabajar en el proceso de búsqueda de un contrato que favorezca los propósitos de unos y otros, la enseñanza y el aprendizaje. No es posible acordar previamente un contrato didáctico entre el docente y los alumnos, tampoco resulta razonable convenir las condiciones de ruptura. El contrato didáctico es necesariamente incierto, por ello denominamos a esta sección “búsqueda de contratos didácticos”. Es el profesor el que orienta esa búsqueda, pero está fuertemente condicionado por las intervenciones y producciones de los alumnos sobre el objeto matemático que anuda la relación didáctica en ese momento. En esa relación, los conocimientos avanzan a diferentes ritmos, de un modo encubierto y el profesor puede mostrar los saberes asociados en la medida en que estén a una distancia adecuada de las situaciones que el alumno afrontó y de las respuestas que toman estado público en la clase. A través del contrato didáctico el profesor interviene sobre las producciones de los alumnos, crea espacios para hacerlas públicas, gestiona la participación de los alumnos, negocia el significado de los conocimientos producidos en la clase para transformarlos eventualmente en saberes. Ese proceso forma parte de la institucionalización y como ya lo adelantamos, puede ser modelizado en términos de situaciones. 34

35. Generalmente, con la intervención explícita del profesor, estamos en el nivel donde se encuentran todos los fenómenos de didáctica porque el profesor, para poder continuar con su proyecto, tiene necesidad de cambiar la significación de los conocimientos que produjo la clase. El estudio de estos fenómenos, entre otros, ha sido descrito en diferentes publicaciones por Brousseau y se los conoce como efectosTopaze, Jourdain, deslizamiento metacognitivo. Debido a la importancia que tienen estas nociones para el estudio que presentamos, retomamos las respectivas descripciones de Brousseau (2007): “La primera escena del célebre Topaze, de Marcel Pagnol, ilustra uno de los procesos fundamentales: Topaze le toma dictado a un mal alumno. Como no puede aceptar errores demasiado burdos y tampoco puede dar directamente la ortografía correcta, “sugiere” la respuesta disimulada en una codificación didáctica cada vez más transparente: “... lasss ovejasss estaban en un corral...”; para el alumno se trata de un problema de ortografía y gramática1. Con ese refuerzo en las eses, el problema ha cambiado por completo.” (pp. 75-76) “El “efecto Jourdain” –así llamado en referencia a la escena del Burgués gentilhombre de Molière, donde el maestro de filosofía revela a Jourdain lo que son la prosa o las vocales– es una forma del efecto Topaze. El profesor, para evitar el debate del conocimiento con el alumno y eventualmente comprobar el fracaso, admite reconocer el indicio de un conocimiento sabio en los comportamientos o en las respuestas del alumno, aunque en realidad estén motivados por causas y significaciones banales”. (pp. 77-78) “Cuando una actividad de enseñanza fracasa, puede que el profesor intente justificarse y, para continuar su acción, tome como objetos de estudio sus propias explicaciones y sus medios heurísticos en lugar del conocimiento matemático.” (p. 78) Es bastante frecuente que estos fenómenos se conviertan en prácticas de enseñanza donde la interacción entre profesor y alumnos es central, basada en un medio evocado donde el profesor intenta hacer que los alumnos se posicionen en S2 con preguntas del tipo: “¿Entendiste?” El alumno muchas veces contesta afirmativamente por desinterés, porque le parece que efectivamente entendió44, porque siente que ya pasó el momento de cuestionar, etc. El hecho es que el profesor le habla al alumno de su aprendizaje y entonces eso les da la posibilidad –a ambos- de “cerrar” la situación de aprendizaje. En otros momentos la intervención explícita del profesor es necesaria porque hay restricciones que no puede tomar bajo su responsabilidad y entonces escapa por un atajo que le ofrece el contrato didáctico: puede ser el caso de los conocimientos que el profesor no puede enseñar pero que tiene necesidad de suponer conocidos por los alumnos. Por ejemplo, uno de los fines de la situación de comunicación de figuras es obtener una descripción mínima de cierta figura plana y ya vimos que ese objetivo no se logra naturalmente, exige cierto trabajo por parte del profesor que enseña y es en esa posición donde tiene la oportunidad de intervenir para recuperar los objetivos propuestos, en la medida de lo posible con una gestión económica de su clase. Veamos a continuación algunos ejemplos que ilustran esos momentos cruciales en la enseñanza. Para la mayoría de los alumnos de quinto grado la posición de una figura es una propiedad que la caracteriza. Por eso algunos de los grupos emisores intentan explicar, por ejemplo en un triángulo, cuál es la posición de cada lado. Uno de los mensajes dice: “Tiene tres lados. El de abajo mide 16 cm y 9 mm. El lado de la derecha mide 13 cm y 8 mm. El de la izquierda mide 13 cm y 4mm.” Durante cierto número de clases el profesor acepta este tipo de información - aunque no es adecuada a su proyecto de enseñanza a largo plazo. Si toma el problema bajo su responsabilidad, tiene entonces que abordar el estudio de las isometrías del plano con un discurso cultural45, decisión que no le garantizará el aprendizaje de los alumnos. Entonces, en el momento de analizar el mensaje, intenta sortear esas referencias espaciales (abajo, izquierda, derecha) preguntando con un tono de voz que intenta desalentar a los alumnos: 44“Entender” en ese contexto puede significar seguir el discurso del profesor, lo cual no implica tener una relación con el conocimiento que sea utilizable para resolver un problema. 45 Un tratamiento de las isometrías que las hiciera un conocimiento funcional exige un trabajo de ingeniería didáctica y un tiempo que no está previsto en este año escolar. 35

36. “¿Hay que decir cada vez qué lado está a la derecha o a la izquierda?” Algunos alumnos no responden, otros afirman y algunos dan la respuesta esperada: “¡Nooo!” El profesor toma esta última - pertinente al proyecto de enseñanza y también de aprendizaje- y para iniciar un proceso de institucionalización de ese conocimiento, solicita públicamente explicaciones a los alumnos y acepta respuestas del tipo: “se da vueltas el modelo sobre el triángulo que hicimos, y ahí vemos si coincide”. El profesor continúa su proyecto eliminando del mensaje esa información “superflua” haciendo como si toda la clase hubiese comprendido la cuestión. Esa escena - donde la presencia de referencias espaciales es bien vista por buena parte de los alumnos- se repetirá al retomar los mensajes correspondientes a otras figuras, pero cada vez será mayor la cantidad de alumnos que desdeñan la posición en la descripción. En parte por la exigencia de los cuestionamientos del profesor: “¿Hará falta decir…?”. Por otra parte, las sucesivas construcciones de diferentes figuras y la siguiente verificación por superposición consolidan la experiencia de la congruencia por superposición: “No importa de qué lado uno lo ponga, coincide.” Además, fuera del aula, es posible que el niño haya tenido experiencias en ubicar objetos en un espacio determinado o en armar rompecabezas, contextos donde sin alterar las características del objeto es necesario buscar la posición para que encaje. Es una conjunción de factores la que permite a los alumnos seguir formando parte del juego didáctico del profesor, ya que ellos también son responsables de la continuidad de la relación didáctica. En algunos mensajes aparecen expresiones del tipo “el lado más largo mide…, el más chico…” que también van en contra del objetivo de obtener una descripción mínima, sin embargo estas comparaciones son más fáciles de eliminar ya que los mismos alumnos reconocen que no aportan información cuando ya se cuenta con las medidas de longitud de los lados. En estos casos la gestión de la clase es relativamente económica. 2.3.3. Diferentes dominios de declaración sobre las figuras Las interacciones de alumnos y profesores con las figuras pueden ser muy diversas. Aún sin necesidad de recurrir a la estructuración del medio, es razonable pensar que para alguien que estudia matemática, por ejemplo la constructibilidad de una figura no es un problema equivalente a la disponibilidad de repertorios de trazado para hacer un dibujo de esa figura. El análisis de la situación de comunicación de figuras con ayuda de la estructuración del medio, nos permite distinguir diferentes interacciones de un alumno en una posición dada con su respectivo medio en el cual existen figuras. Empieza a vislumbrarse que esas figuras no siempre dan la misma información; por ejemplo una colección de piezas, dibujos, expresiones escritas u orales, etc. que tienen ciertas propiedades y denominaciones en el lenguaje usual del medio cultural del alumno, devienen figuras geométricas cuando el profesor organiza una situación objetiva, es decir un medio material para que un sujeto desarrolle una actividad de geometría. En el texto hemos usado “figura” sin ahondar demasiado en qué sentido lo usamos, pero ahora parece necesario explicitar que ese sustantivo se refiere tanto a un objeto que se muestra como a una noción matemática. Algunos investigadores discuten las diferentes acepciones de la palabra “figura” y proponen calificativos para distinguir los objetos que pretenden describir: figuras de análisis para identificar datos e incógnitas, figuras precisas para favorecer la elaboración de conjeturas, etc. Arsac (1989) reserva la palabra dibujo para una traza sobre una hoja de papel, una pantalla, etc. y figura designa al objeto matemático cuyo dibujo es solamente una representación. Así, el dibujo de un triángulo es un caso particular de esta figura pero el objeto matemático triángulo excede dicha representación. Cuando el profesor trabaja en el aula, hay varias figuras susceptibles de corresponder a un mismo dibujo; por ejemplo tres puntos no alineados pueden ser solo eso, o los vértices de un triángulo, o la circunferencia que pasa por ellos, o tres rectas, etc. El sentido que se le da a un 36

37. objeto, la interpretación que se le da en este caso a un dibujo, depende de su función en la situación y de la posición que ocupan el profesor y el alumno. De acuerdo a esto, podemos distinguir diferentes dominios de declaración sobre las figuras (Fregona, 1995): . La figura material, es una mancha sobre un papel, un punto sobre una pantalla, una descripción, con la cual se pueden establecer relaciones universales: observar, recortar, plegar, trazar, reflexionar, etc. Se supone que es la misma para el profesor y para el alumno, es parte del medio material. . La figura representación mental es el resultado de una especie de negociación entre la percepción de la figura material y los conocimientos del sujeto. Es el tipo de relación personal que tiene un alumno en posición de sujeto que actúa S4 o que aprende S3, es la que considera el alumno en sus decisiones. Esta figura, para el alumno de la escuela primaria, generalmente está caracterizada por una conjunción de propiedades que no necesariamente definen la clase a la que pertenece. Hemos visto que para un alumno de 5º grado, un triángulo obtusángulo “(…) tiene más o menos la forma de un triángulo.” . La figura devuelta al alumno por la situación es aquella con la cual el alumno trata cuando quiere resolver un problema. Por ejemplo, en el juego de comunicación, la figura representación mental que el alumno tiene de un triángulo está presente en la descripción de ese dibujo recortado (figura material), pero no es suficiente para determinar el mensaje que formula. Hemos visto que cuando el emisor se pone en el lugar del receptor intenta buscar un vocabulario común, claro y preciso, describe cuidadosamente el objeto –sus elementos e incluye la posición- o da un procedimiento de construcción utilizando un sistema de referencia o una lista de instrucciones. Selecciona la información que considera pertinente a la situación, determina qué es lo que le conviene decir y cómo decirlo, por lo tanto establece una nueva relación con el objeto que se distingue de las anteriores. En la interacción del profesor con las figuras, también hay matices y ello nos permite distinguir: . La figura ideal es el objeto matemático convertido en la situación didáctica como objeto a enseñar. Posee las propiedades matemáticas conocidas por el profesor y también las que él piensa que tiene que enseñar a ese determinado grupo de alumnos. Estas figuras forman parte de la situación objetiva: son elementos del medio material y guían el tipo de interacciones de un alumno en la posición de sujeto objetivo. La figura ideal orienta al profesor en los objetivos que se ha propuesto vinculados a la institución a la que pertenece. Por ejemplo, para un docente de quinto grado de la escuela primaria, un alumno debe poder reconocer un rectángulo, designarlo y construirlo con escuadra sobre una hoja de papel liso. . Y finalmente distinguimos la figura didáctica como el medio concreto del profesor – en el discurso o a través de un dibujo- para poner de relieve ciertos elementos, propiedades, etc. que favorecen la gestión de la enseñanza. Encontramos esta figura en el nivel de la situación didáctica del medio, ya que el profesor elige dibujos que honren las propiedades que necesita para gestionar su clase. Por ejemplo, si el objeto de estudio es una propiedad de los triángulos, tratará de hacer un dibujo que sea lo menos particular posible (un trazado sin ángulo recto ni obtuso, de lados no congruentes, etc.) para evitar se añadan propiedades que solamente satisfacen un subconjunto de triángulos. Estos diferentes tipos de interacción con las figuras no son estáticos ni universales pero pueden ser un aporte para la preparación, la gestión y reflexión posterior de lecciones de geometría. En el transcurso de la enseñanza, tal vez la más estable es la figura material46; la figura representación mental y la figura devuelta están relacionadas con los aprendizajes 46 Aunque puede darse el caso de cambiar, durante la secuencia de lecciones, el ejemplar que forma parte del medio material por otro más adaptado a los propósitos de la enseñanza. 37

38. individuales y públicos de la clase; las figuras ideal y didáctica están directamente vinculadas a los propósitos que el profesor se plantea para la enseñanza. 38

39. Capítulo 3: El medio del profesor En los diferentes capítulos hemos estudiado cómo, decisiones que toma el profesor para organizar el medio del alumno, determinan las interacciones de los alumnos y los conocimientos que es posible se pongan en funcionamiento para intentar controlar la situación planteada; estando el foco del estudio en el medio del alumno. También introdujimos “el medio del profesor”, en tanto entorno de este actor y como un subsistema que le es antagonista, en el sentido de la teoría de las situaciones. En esta sección proponemos centrar la mirada en el estudio tanto de la preparación de las clases como en la gestión por parte del profesor, intentando complementar el análisis realizado sobre las interacciones del alumno con su medio. Recurriendo a las herramientas teóricas de la teoría de las situaciones, ¿qué condiciones crea el docente en las situaciones en tanto profesor que prepara su clase, según las posiciones que identificó en sus alumnos, en lecciones anteriores? ¿Y qué decisiones toma en la posición de profesor enseñando para hacer avanzar el proceso de aprendizaje de sus alumnos o de la enseñanza? Elaborar posibles respuestas a esas preguntas nos lleva a pensar en las sujeciones del profesor, es decir los diferentes controles en los que está inmerso pero también nos conduce a considerar los modos de apropiación –de espacios, usos, prácticas y saberes- que se dan en la cotidianidad de las prácticas entre los diferentes actores que construyen la escuela47. Es importante volver sobre las condiciones del trabajo docente y entonces revisar la problemática señalada por Terigi en cuanto a que la didáctica es un problema político. La mayor parte de los profesores trabaja en solitario y tienen escaso (o nulo) tiempo institucional tanto para preparar sus clases como para analizarlas posteriormente. Quisiéramos que el material que ofrecemos pueda ser discutido no solamente en los espacios de formación inicial sino también durante el desarrollo profesional de los docentes. De ninguna manera intentamos decir qué es lo que tiene que hacer un profesor; presentamos un material de estudio que esperamos favorezca la comprensión de algunos hechos que acontecen en la enseñanza efectiva de la matemática. Los apartados de este capítulo harán referencia a problemáticas que están enlazadas: la preparación de las clases y su respectiva gestión. Para ello volveremos sobre los ejemplos analizados e incorporaremos otros –debidamente referenciados- tomados de diferentes producciones: materiales destinados a la formación inicial o continua de profesores, resultados de investigaciones, etc. 3. 1. Posiciones del profesor - antes, durante o después de la lección- en distintos tipos de situaciones Desde la teoría de las situaciones didácticas podemos analizar las decisiones de un docente según esté en la posición de profesor que prepara su clase o como profesor enseñando. A su vez, resulta razonable esperar que tanto la preparación como la gestión misma de la clase, depende del tipo de medio que organiza y de las interacciones posibles de los alumnos en términos de tipos de situaciones. En los ítems siguientes vamos a tratar de aclarar e ilustrar esta afirmación pero de todos modos invitamos al lector a reflexionar sobre ella desde su formación y experiencia profesional. Antes de la lección, El profesor que prepara su clase ocupa esa posición en diferentes momentos de una secuencia de actividades. Evidentemente, cuando inicia el tema, decide en función de los 47 Diversos enfoques analizan estas vinculaciones. Entre ellas, Ezpeleta, Justa y Rokwell, Elsie “Escuela y clases subalternas”, en: Cuadernos Políticos 37, México, 1983, pp. 70-80. 39

40. propósitos de la enseñanza, del tiempo disponible para el tratamiento del tema, de los conocimientos que considera están disponibles en la clase, de las condiciones de escolaridad e institucionales, cuál es la situación objetiva que propondrá a sus alumnos. Si bien esa decisión es muy importante porque lanza de alguna manera el tiempo de la enseñanza, puede volver a ocupar esa posición cada vez que el tiempo cronológico se lo permita. Es decir, se inicia en una lección el desarrollo de un proyecto de enseñanza y antes del segundo encuentro con sus alumnos respecto del mismo tema, existe un cierto tiempo que según las condiciones en las que se desarrolla el trabajo, puede ser más o menos fértil para repensar, ajustar, evaluar el rumbo que toman las interacciones de los alumnos con sus respectivos medios (situaciones de referencia y de aprendizaje). El profesor cuando prepara su curso, en el tiempo que tiene disponible según las condiciones en que desarrolla su tarea, debe decidir la situación objetiva que corresponde al siguiente curso. Siguiendo con el ejemplo del juego de comunicación, en gran parte de los mensajes hay referencias frecuentes a conocimientos espaciales: abajo, a la izquierda, de qué lado se pone (frente o reverso), ancho, largo, punta, cruz, etc. Estas cuestiones que dan cuenta de repertorios no comunes o insuficientes en la comunicación y también en los trazados, pueden ser tratadas en cada equipo después de la validación de cada una de las figuras construidas. Convendría entonces que, sabiendo esto, el profesor organice esa primera actividad tratando de no posicionar simultáneamente a toda la clase como emisores. Es en la segunda actividad donde comienza un trabajo de análisis de los mensajes y de las figuras reproducidas: el profesor debe prever las interacciones de los alumnos con un medio que, en esa segunda clase, ya es evocado. ¿Cuál es la primera figura que va a proponer? ¿Y cuál de los mensajes obtenidos sobre esa figura será conveniente para iniciar el análisis? Estas decisiones son difíciles porque no serían las mismas si privilegia el avance del proceso de enseñanza o recupera las interacciones que resultaron más complicadas… Si el profesor necesita sentir que avanza hacia objetos culturalmente reconocidos como valiosos en la escuela primaria, se inclinaría por tratar el rectángulo, en tanto que soporte del ángulo recto, otro saber muy apreciado en ese nivel de escolaridad. En el recorrido por la clase, el profesor advirtió las dificultades de los alumnos para determinar un tercer vértice de un triángulo, sea porque solamente se daban dos lados como dato, sea porque se fijaba uno de los ángulos comprendidos entre dos de los tres lados dados. Identificadas estas dificultades, se puede prever en la segunda clase destinar un tiempo de trabajo al tanteo sistemático de un tercer vértice que permita a los alumnos disponer de modos de acción más eficaces. Por ello el profesor decide trabajar sobre un triángulo, con un mensaje que no es mínimo –no es el mejor de los mensajes obtenidos sobre los triángulos- pero permite construir una única figura y poner en escena para toda la clase el problema de la determinación de un punto, que implica la interacción con dos de los ángulos interiores de un triángulo. En la vía de esta segunda perspectiva se hubiese podido plantear el estudio del rombo, pero a la luz de las dificultades que tuvo el grupo receptor en la dialéctica comunicación- acción y en la construcción misma, se decide postergar esa figura hasta que la clase tenga experiencias que hagan suponer que están disponibles los conocimientos para abordar ese objeto matemático. Durante la lección, Un profesor en la posición de enseñante, en una situación de acción, busca que el alumno interactúe con su medio tomando decisiones hacia la búsqueda de un estado favorable para el alumno. Por ejemplo, en la carrera a 20, un estado favorable para ganar el juego es decir 17 Generalmente da diferentes oportunidades –el equilibrio de cuántas es delicado, hay que evitar consolidar posibles errores así como preservar las expectativas de los alumnos para que la mayoría pueda actuar y experimente retroalimentaciones. El profesor no solicita a los 40

41. alumnos que den explicaciones acerca de los procedimientos de resolución utilizados ni de su justificación, no es el momento. Recordemos el esquema de la situación de acción de la sección 1.3. con el cual podemos interpretar la primera fase de la carrera a 20: una vez comprendida la consigna, los alumnos juegan por pares, uno contra otro, varias partidas. Rápidamente algunos alumnos se dan cuenta que la mejor estrategia para llegar a decir 20 no es decir los números al azar y que quien dice 17, si no se equivoca después, gana. En el momento en que empiezan a formular ese conocimiento, el profesor organiza la clase para que juegue un equipo contra otro en una fase que puede ser modelizada como situación de comunicación. Analicemos brevemente otro ejemplo, donde la interacción del alumno es fundamentalmente a nivel de la acción, en una fase de búsqueda. Está tomado de una actividad que inicia una secuencia de enseñanza sobre nuevos sentidos para la división euclidiana en tercer grado48. Uno de los problemas planteaba: Se quiere distribuir un alfajor a cada uno de los 145 niños de una colonia de vacaciones. Cada caja contiene 18 alfajores. ¿Cuántas cajas hay que abrir? La clase está organizada en pequeños grupos, lo resuelven y registran sobre una hoja grande de papel el procedimiento de resolución. Al cabo de unos 20 minutos, el documento propone: Un niño presenta el trabajo de su grupo sólo si el procedimiento utilizado se identifica como diferente de los presentados hasta ese momento. En esa clase se distinguen como diferentes49 los procedimientos que muestran: sumas reiteradas, restas reiteradas o procedimientos multiplicativos. Al finalizar la planificación de dicha actividad, se afirma: Durante esta primera actividad, aún cuando el maestro valida los buenos resultados, no institucionaliza ninguno de los procedimientos. Es necesario dejar evolucionar en libertad a los alumnos en los diferentes procedimientos expuestos. En este caso el profesor solicita a los alumnos que presenten públicamente por escrito su solución, pero aunque los alumnos pueden hacer comentarios acerca de la conveniencia o no de tal o cual producción, el profesor no lo toma ni prioriza un procedimiento sobre otro. Eso no es parte de su desafío en ese momento, lo es el hecho de que toda la clase vea diferentes modos de resolución y/o registro, pudiendo contribuir así a ampliar la gama de lo posible y conducir a descubrir modos más económicos o más accesibles de resolución. Aunque haya una presentación escrita y/o verbal de una resolución, no estamos en una situación de comunicación porque no hay la intención de que un alumno (el receptor) actúe sobre un medio del cual el otro (el emisor) solamente puede obtener información. Para un observador, no son los gestos de los alumnos o las formas de participar en la clase los indicadores del tipo de situación, sino el funcionamiento de los conocimientos puestos en juego por los alumnos para controlar el medio organizado por el docente. Después de una lección y antes de la siguiente, 48“La división en la escuela primaria. Informe de situaciones de enseñanza realizadas con alumnos de tercero, cuarto y quinto grado”, Universidad Bordeaux I e IREM de Bordeaux (1985). Este documento destinado a docentes fue realizado en el marco del I.R.E.M. de Bordeaux gracias a la participación de los niños de algunos grados de la Escuela Jules Michelet (de Talence) y de sus profesores N. Brousseau, M. F. Gresillier, D. Greslard, M. J. Lacave-Luciani; de los formadores de docentes J. Briand, P. Teule-Sensacq, G. Vinrich, y la colaboración de Guy Brousseau. 49 La presentación de los “diferentes” procedimientos de resolución es una cuestión que nos reenvía a la búsqueda de los contratos didácticos: en este caso la diferencia radica en la operación utilizada, otras podría ser en la forma de registro que incluye tanto la economía de escritura como la organización de la información, etc. 41

42. - En un espacio de trabajo posterior a la lección, es posible analizar ciertas decisiones tomadas en la enseñanza efectiva. Y volver a la posición de profesor que prepara la lección para hacer avanzar los procesos de aprendizaje y también de enseñanza. Es ese el momento, en que si es posible en un trabajo colaborativo con docentes que hayan observado la lección o que compartan el proyecto de enseñanza, se plantean preguntas y se analizan cuestiones tales como: ¿Cómo sentimos hoy que se desarrolló la lección? ¿Qué saben hacer los alumnos ahora y que antes no podían? ¿Todos los alumnos lo pueden hacer, algunos, bajo qué condiciones? ¿Qué tipo de interacciones entre alumnos y medio se produjeron? ¿Cómo inciden en el proyecto de enseñanza? ¿Qué proponemos en la próxima clase? Es un proceso de aprendizaje para el profesor escuchar, registrar, llevar la cuenta de cómo avanza la clase en general y cada alumno en particular. Y también -allí es muy importante la mirada de un colega- reflexionar sobre la incidencia que pueden tener sus expresiones públicas al momento de formular una consigna, intervenir en un grupo o con toda la clase, analizar un procedimiento de resolución propuesto por un alumno, etc. La importancia de la observación sistemática, incluyendo la de los propios compañeros, es una de las aportaciones metodológicas más importantes de la Teoría de Situaciones, que pudo ser llevada a cabo durante años en la Escuela Michelet, a través del COREM. Esta metodología impregna todas las investigaciones realizadas en este marco teórico, incluidas las continuas ampliaciones y reformulaciones teóricas, lo que Brousseau (1986) denomina “el método espiral” de la investigación. Esta metodología ha marcado también las actividades y lecciones que se han presentado a lo largo de este libro, así como las reflexiones de sus autoras. Veamos un ejemplo, tomado nuevamente del juego de comunicación de figuras, sobre un hecho muy puntual pero que permite analizar la compleja trama de producción de saberes en una actividad colectiva. Los alumnos construían rectángulos con regla, determinando los ángulos rectos “a ojo”. Verificando la medida de los lados opuestos, corregían y ajustaban los ángulos para obtenerlos rectos. El docente tiene el propósito de instalar el uso de la escuadra para construir los ángulos rectos de un rectángulo y en un momento colectivo, sucedió lo siguiente: /Tres lados de un rectángulo abcd ya están construidos, se trata de verificar con una escuadra hecha de papel plegado si los ángulos, en particular el del vértice c es recto. Un alumno, Pedro, está en el pizarrón./ M.: Pedro, ¿dónde está el ángulo recto? /Pedro muestra el vértice c del ángulo./ M.: ¡Muy bien, está allí! ¿Cómo haces para verificar que el ángulo es recto? /Pedro mira al profesor, permanece en silencio./ M.: Es éste el que verificas… /M. muestra el ángulo c. Pedro ubica su escuadra sobre uno de los ángulos exteriores a c, lo que provoca la risa de algunos compañeros./ a b M.: ¿Dónde está tu ángulo? ¿Cómo habría que ponerlo? /Pedro no responde, pero retira su escuadra del pizarrón./ M.: Este es el ángulo que debes medir, ¿cómo haces para verificarlo? Pedro: Pero… M.: ¿Ana? Ana: Tiene que poner el ángulo recto contra… contra el lado grande y después mirar si da bien… /Pedro intenta ubicar su escuadra según las indicaciones de Ana pero no produce la respuesta esperada./ M.: ¿Qué estás haciendo? Estás solamente sobre el lado chico, es necesario que a la vez ¿estés sobre qué? Ana: Sobre ese y sobre… M.: Y sobre el otro… Ana, pasa a mostrarle. /Algunos alumnos se ríen. Al ver la solución que muestra Ana, Pedro sacude la cabeza./ c 42

43. ¿Por qué la maestra no acepta la respuesta de Pedro? Una primera interpretación: la clase no dispone de los conocimientos necesarios para justificar esa técnica. Sin embargo, en diferentes oportunidades, aceptó respuestas en esas condiciones, por ejemplo que bastaba verificar si tres de los ángulos de un rectángulo son rectos para determinar que el cuarto también lo es. Otra interpretación posible: la dificultad de convertir un conocimiento de los alumnos –la construcción de un rectángulo- utilizando una técnica determinada –con una regla- en un saber oficial muy valorado en la escuela primaria tal como construir un rectángulo con una escuadra para trazar los ángulos rectos. Esta mirada puede ayudar a reflexionar acerca de los procesos de enseñanza o de aprendizaje, al poder aplicarse a otros conocimientos de los alumnos, en otras situaciones. Ese fragmento de la clase nos muestra que las relaciones entre la figura ideal y la figura didáctica son muy complejas. Generalmente la figura didáctica proviene de la figura ideal, porque debe mostrar de la manera más clara y directa posible las propiedades de la figura ideal. El hecho de verificar si es recto uno de los ángulos adyacentes a un ángulo interior del rectángulo no conviene al proyecto del profesor: la escuadra se usa para construir o verificar cada ángulo interior del rectángulo. Esa es la figura didáctica que el profesor busca instalar en la clase y con esa exigencia, institucionaliza de ahora en adelante la técnica de trazado de ángulos rectos. ¿Ya no podrán los alumnos trazar rectángulos con regla? En privado seguramente sí, pero ya no públicamente porque la mencionada conversión de conocimientos en saber oficial autoriza al profesor a exigir determinadas técnicas de construcción de figuras que involucren ángulos rectos. 3.2. Diferentes estados en la clase Así como vimos, con ayuda de la estructuración del medio, diferentes posiciones de alumnos y docentes, ahora pretendemos analizar desde diferentes perspectivas, sin pretensión de exhaustividad, los diferentes estados en las producciones de la clase que condicionan la gestión por parte del profesor. Algunas decisiones del profesor, como vimos, pueden preverse y otras deben dar respuesta a las interacciones del momento: ¿qué es lo que interesa hacer público para la clase y en consecuencia qué alumno es el que explicitará sus hallazgos? ¿Cuáles son las respuestas que tomará en primer lugar? ¿Cómo desafiará a los alumnos que se resisten a trabajar en una tarea compartida? ¿Cómo modificará un medio para mostrar los alcances de validez de los resultados obtenidos? ¿Cómo pondrá en evidencia las consecuencias de algunas decisiones? ¿Cuánto tiempo destinará a una determinada actividad? ¿Cuáles de los aportes de los alumnos convendrá tomar en un determinado momento, cuáles serán pospuestos en el transcurso de la lección y cuáles convendrá que se posterguen definitivamente a otro tema? ¿Cómo avanzará en el proceso de enseñanza según lo que los alumnos mostraron poder hacer en esta lección? Cualquier docente reconoce que estas y otras preguntas se plantean permanentemente durante el desarrollo de la lección, y a través de este sesgo que adoptamos desde un enfoque de la didáctica de la matemática, intentaremos armar diversas redes para atrapar diferentes momentos de la clase. Aquí incorporamos la idea de fases, ya trabajada por otros autores, entre ellos Margolinas (1989), Orús (1992). 3. 2. 1. Fases didácticas y a didácticas En una misma lección, digamos durante una hora de clase, el profesor puede organizar fases que corresponden a diferentes interacciones de los alumnos: por ejemplo acción y formulación en los primeros juegos de la carrera a 20. También es posible pensar en el análisis de una lección en términos de fases didácticas y a didácticas, es decir de espacios de tiempo y trabajo en los cuales las responsabilidades de 43

44. cada actor (profesor, alumnos) son diferentes y están esbozadas a través de contratos didácticos vigentes. Este análisis, realizado por el profesor que prepara su curso, permite reflexionar acerca del sentido de la secuencia de actividades, anticipar algunas de las posibles respuestas de los alumnos y en el momento de gestionar la clase, organizar los tiempos, las intervenciones, disminuyendo parcialmente la incertidumbre en la enseñanza. Vamos a reutilizar como ejemplo la situación de comunicación de figuras para ilustrar el discurso. Una lección sobre un tema determinado comienza siempre con una fase didáctica inicial: la explicitación de la consigna inicia un proceso donde el profesor presenta un medio material y las interacciones previstas de un sujeto a través de ciertas condiciones (por ejemplo, “prohibir dibujos” en la primera actividad de la situación de comunicación), cuándo finaliza la actividad y cómo saber si el resultado es correcto (en la misma situación, superponer la reproducción con el modelo). Luego, es el turno del alumno de asumir su compromiso y aceptar como suyo el desafío50 de interactuar con ese medio con los conocimientos de los cuales dispone, en tanto que herramientas de control. Si el alumno acepta la posición de sujeto que actúa, el docente no aporta información, solamente está alerta a posibles desviaciones en el trabajo, por ejemplo cuando no se respetan las condiciones explicitadas o falta algún elemento material para el trabajo de un grupo, etc. Estamos entonces en una fase a didáctica de la clase, donde el alumno, por ejemplo, trabaja con sus compañeros para reproducir una figura que se superponga con un modelo, el profesor lleva los mensajes en caso de dudas y suministra tijeras, etc. Cuando el equipo decide que la reproducción está terminada, se recorta y entonces los grupos correspondientes a emisores y receptores se reúnen para verificar por superposición con el modelo, acompañados por el profesor. Las observaciones de esta lección realizadas durante varios años mostraron que el equilibrio entre las decisiones del profesor y los objetivos de la enseñanza, es delicado. La consigna habla de la superposición sin dar márgenes de error, por lo cual se supone que se acepta lo que habitualmente se considera como “exacto”, es decir alrededor de un milímetro en algunos de los lados. Sin embargo la mayor preocupación del docente está centrada en la formulación del mensaje y el procedimiento de construcción que corresponde. Mientras cada grupo trabajaba en su posición con la figura que le correspondía, el profesor recorría la clase para informarse del trabajo realizado. Y pese a estar expresado en la consigna que el método de validación es de tipo a didáctico y en principio sin necesidad de la intervención del profesor, su presencia en el momento de la superposición lo lleva a ocupar, para el equipo, una posición de profesor que enseña. Como ya lo hemos dicho, la ejerce recurriendo al contrato didáctico: negocia las diferencias en el equipo -en caso de no haber acuerdo- teniendo en cuenta no sólo la producción de la figura recortada sino la información que posee sobre el trabajo del equipo. Su presencia valida públicamente la producción del equipo. Relanza una fase a didáctica cuando entrega otra figura al grupo que desempeñará la tarea de emisor. Generalmente, en una lección, cada equipo ha trabajado con tres o cuatro figuras y finaliza la actividad con una intervención del profesor que hace un balance entre las figuras tratadas, el éxito o el fracaso de la reproducción y el puntaje correspondiente a cada equipo. Por parte de los alumnos surgen comentarios del tipo: “hay figuras más fáciles que otras”, “hay problemas de medidas”, “hay problemas con el mensaje”, etc. La preparación del curso, con la predeterminación de fases a didácticas o didácticas, le permite al profesor no sólo tomar las iniciativas previstas en relación con el contrato que buscaba inicialmente, sino que también le permite tomar decisiones e incluso modificar durante la lección si fuese necesario, sus estrategias iniciales, para seguir buscando el contrato planteado. 3. 2. 2. Fases de búsqueda, de expresión pública y validación 50 En la teoría se denomina devolución a ese proceso. 44

45. En este mismo capítulo utilizamos ya la expresión “fase de búsqueda” haciendo referencia a los modos diferentes de resolución de un problema de distribución para iniciar el trabajo que conduce al algoritmo estándar de la división euclidiana. También en ese ejemplo, había espacios donde un alumno presentaba el trabajo de su grupo, es decir “hacía público” un modo de resolución, de registro escrito, de resultados obtenidos. En los momentos de “validación”, se plantea el problema de la negociación de los errores que circulan en el aula51. Estas fases en las producciones de los alumnos complementan los análisis propuestos en los momentos didácticos y a didácticos. La gestión de la clase por parte del profesor, desde el momento en que el razonamiento de un alumno se hace público, depende de los resultados obtenidos en función de si ha hallado al menos “una solución” que pueda ser formulada y validada, o de si no la ha encontrado52. •Si el alumno encuentra “una solución negociable”, o al menos presenta un resultado, la gestión del profesor consiste en constatar o identificar esta solución hallada por el alumno y compararla con “la solución” oficial, preexistente y conocida ya por el docente. Reconocemos en este caso la problemática entre las relaciones de las llamadas nociones herramienta en tanto instrumento para resolver un problema con las nociones objeto de la actividad matemática que toman un lugar en la construcción de un saber organizado53. •Si el alumno fracasa y no sabe “buscar” una solución, o si la solución es considerada como un error por el profesor, ¿cómo puede el profesor enseñarle? ¿Es posible enseñar el aspecto creativo del razonamiento? ¿Cómo negocia el profesor “el error” y más concretamente, ¿cómo negocia los “errores” de razonamiento?54 En el proceso de regulación de las diferencias entre los razonamientos de los alumnos y los razonamientos oficiales, el profesor toma en cuenta la manera en que han sido producidos. Ya señalamos tres fases: el proceso de búsqueda de la solución, la expresión o la comunicación del resultado de la acción o de la validez y el proceso de validación. La búsqueda de la solución, ofrece al niño (en la posición S4) la posibilidad de movilizar sus conocimientos personales en una situación nueva, para encontrar soluciones que son conocimientos nuevos. Para el profesor, en situación didáctica, este proceso de búsqueda supone un momento de la gestión del razonamiento-acción. La denominación razonamiento-formulaciónabarca tanto la expresión del razonamiento-acción, de los procesos o de los conocimientos movilizados por el sujeto que actúa S4 en una situación de acción, como el trabajo reflexivo del sujeto del aprendizaje S3, inmerso en una situación de comunicación. Diferentes tipos de lenguaje coexisten al interior de esta fase de expresiones públicas, - El del alumno, en tanto que sujeto implicado en la acción, procede y aborda el problema planteado, mediante sus conocimientos personales (privados y públicos) y en función de estos y de los recursos lingüísticos de los que dispone, expresa su solución. (“El triángulo torcido o inclinado...”, “Hay tres rincones... ”, etc.). Incluso si el saber oficial pertinente está en ese enunciado, aparecerá enmascarado en su formulación por los conocimientos personales del alumno involucrados en la acción de búsqueda y en la expresión. Así, el alumno se expresa con la lengua natural como referencia, pero también con los códigos y las representaciones propias del lenguaje matemático que él controla (vuelven a ser, conocimientos matemáticos “utilizables”), - El de la solución de la situación objetiva propuesta, el saber oficial y por tanto con recurso al lenguaje matemático. 51 Proponemos al lector analizar el ejemplo citado sobre la verificación de los ángulos rectos en un rectángulo desde la mirada de las fases de validación. 52 Los ejemplos tomados sobre el estudio del razonamiento provienen de Orús (1992). 53 Véase Douady (1986). 54 Las preguntas referidas a los razonamientos también pueden formularse en relación a la producción de una demostración, o a la resolución de un problema que se resiste a los primeros abordajes, etc. 45

46. El profesor debe gestionar, en la situación didáctica, esta expresión o la “corrección” de las situaciones específicas de formulación; conoce una solución a la situación planteada, su formulación “correcta” matemáticamente y la formulación que “puede aceptar” oficialmente en la clase, en función de su “historia” 55y de la “memoria didáctica” (Centeno, Brousseau, 1991) que el profesor tiene (o quisiera tener) de esta historia; pero ¿cuál es el nivel de exigencia permitido oficialmente por el profesor en la formulación? ¿Qué “grado de imprecisión” -o incluso “de incorrección”- en el discurso global de un alumno, está dispuesto a aceptar, o a negociar?56 Respecto a la solución elaborada por el alumno, ya que el saber oficial pertinente encontrado aparece impregnado en su formulación por: - sus conocimientos personales puestos en juego en la acción de búsqueda, ¿cuáles han sido los medios empleados para encontrar la solución? ¿Cómo el alumno puede separar la explicación de la búsqueda y de los resultados? ¿Es capaz el alumno de distinguir entre todos los conocimientos en juego, cuales son los que tiene que formular? ¿Cuál es la solución “legítima” y por tanto, formulable? - sus capacidades lingüísticas, con la lengua natural como marco, pero también con los códigos y las representaciones propias del lenguaje matemático que el alumno posee (los conocimientos matemáticos “utilizables”), - la comprensión general del grupo de alumnos: la formulación utilizada, ¿debería ser comprendida por toda la clase? - el nivel de exigencia del profesor respecto a la formulación ¿es el mismo para los saberes o los conocimientos que funcionan como “nuevos” que para los que funcionan como “antiguos”? La respuesta a todas estas cuestiones, parece que deba ser descubierta implícitamente por los alumnos, a partir de las indicaciones o signos didácticos transmitidos por el profesor durante estas fases públicas de formulación: las correcciones hechas, los ejemplos que da, como el profesor formula o reformula las diferentes soluciones halladas, etc., es decir la “costumbre” y la imitación parecen fijar las normas de funcionamiento colectivo e incluso del “aprendizaje” de la expresión de los razonamientos. La gestión del razonamiento como proceso de validación, en la situación didáctica, representa el momento más delicado, de la negociación didáctica: es la aceptación o el rechazo oficial de los razonamientos personales, de las producciones “nuevas” elaboradas por los alumnos, respecto a su validez en el ámbito de las matemáticas; pero incluso aquí también, se deben tener en cuenta los diversos tipos de medios a-didácticos, según modelen una situación de acción, de formulación o de prueba: • La situación de acción puede ofrecer un cierto espacio al profesor para negociar únicamente el resultado del razonamiento-acción personal en función de la solución oficial de la situación, ignorando o dejando de lado, el proceso de elaboración, de búsqueda de la solución que al no ser un objeto directo de enseñanza puede ser ignorado. Esta forma de actuar ya ha sido señalada por diversos autores, es muy habitual en la enseñanza. • Asimismo, la formulación permite negociar las diferencias como un problema de vocabulario, de expresión, en la cual “la corrección”, se convierte en la eliminación de la diferencia entre la repuesta del alumno y la respuesta oficial, pudiendo ésta ser presentada 55 Nos referimos a la historia didáctica de la clase, es decir, los conocimientos que circularon en la clase, la articulación entre esos conocimientos, los contratos vigentes en las fases didácticas (con respecto a la formulación, las reglas de debate,...). 56 Desde la perspectiva del alumno, ¿cómo gestiona esa diferencia entre su lenguaje natural y el lenguaje matemático exigible en las explicaciones públicas en clase? ¿Distingue (incluso, puede distinguir) los diferentes momentos de construcción de los conocimientos y entre los conocimientos matemáticos que ya debe “saber” y “saber formular” y los nuevos conocimientos en construcción? 46

47. “fácilmente” por el profesor, “reformulando” la expresión del alumno, sin entrar en el origen de sus dificultades. • Pero en la fase de validación, solo son los razonamientos matemáticos -las demostraciones- o los razonamientos lógicos, los que pueden validar o refutar matemáticamente las respuestas de los alumnos. Es pues en esta fase de validación cuando los conflictos generados por el contrato didáctico serán inevitables. Un aspecto particular relacionado con las dificultades de gestión de la validación es ¿como efectuar la devolución de la responsabilidad de la validación a los alumnos? ¿Se trata de una responsabilidad que institucionalmente debe recaer en el profesor, que es quien tiene la responsabilidad del saber oficial? Pero si el profesor quiere que los alumnos “razonen”, produzcan conocimientos nuevos, ¿esto supone que los alumnos deben asumir también la responsabilidad de la validación de sus propias producciones y de las de los demás, profesor incluido? Estas problemáticas son objeto de estudio en diferentes grupos de investigación de diversos países. 3. 3. Alcances de una situación Acabamos de presentar algunas dificultades para el profesor, ligadas a la gestión de diferentes estados en la clase, en particular en relación al “error” en fases didácticas de diferentes tipos situaciones. Uno podría pensar ingenuamente que si todas las respuestas obtenidas son correctas o son las esperadas, la gestión sería más fácil. Pero ¿qué significa “el éxito” en la realización de las tareas planteadas en clase, en términos de conocimientos o de aprendizajes? ¿Podemos confiar en una propuesta de enseñanza que solamente produce en los alumnos las respuestas esperadas? Retomemos el análisis del juego de comunicación de figuras, en donde nos planteábamos algunas preguntas: ¿Qué implica el éxito en la primera actividad en términos de conocimientos de los alumnos? Como lo expresa la consigna, el equipo gana cuando obtiene una figura que se superpone con el modelo. ¿Pero esto se debe a un buen mensaje? Ese calificativo "bueno", ¿tiene la misma significación para el docente que para el alumno? ¿Tiene la misma significación para los emisores y para los receptores? La calificación de "bueno", ¿se mantiene estable durante todo el desarrollo de la secuencia? Es claro, creemos, que el éxito inmediato en la tarea no implica a menudo un aprendizaje exitoso. Volvamos al mensaje que ya presentamos: “Largo 19 cm. 3 mm. Ancho 11 cm. 6 mm” (Éxito) El equipo ganó sin dificultades, su medio es aliado y oculta las posibles fuentes de desequilibrios para ese objeto de enseñanza. Es la familiaridad con la figura rectángulo y el significado compartido de las palabras utilizadas los que dieron toda la información necesaria para tener éxito en la tarea. En ese caso no hubo confrontaciones en el lenguaje ni tampoco en la interacción con la hoja de papel: la construcción resultó más bien rutinaria. Aunque los alumnos tomaron decisiones, no hubo desafíos a superar. Para el profesor ese mensaje está muy alejado de su proyecto, pero como el trabajo del equipo responde a lo enunciado en la consigna, debe aceptar el éxito de la actividad pero también debe registrar lo sucedido en ese equipo porque deberá volver sobre ello. Por el momento, en la primera actividad, la comunicación fue exitosa. También en esta primera actividad el profesor acepta mensajes con información superflua desde su punto de vista, pero necesaria para los alumnos. El profesor tratará de eliminar la información acerca de la posición de los lados en un triángulo, que además de ser constitutiva de la figura representación mental del alumno, éste se encuentra en la posición de dar la mayor cantidad de información para permitir el éxito en la tarea. Como los mismos alumnos expresan, aunque hay datos que no son necesarios para reproducir una figura, pueden ser útiles para verificar. 47

48. Así, al final de la secuencia de enseñanza, se hizo público en la clase que “con la medida de las diagonales se puede construir un rombo, pero si además tenemos la medida de un lado eso sirve para verificar.” Y otro alumno agrega: “Con la medida de las diagonales se puede, si sabemos que son perpendiculares y se cortan por la mitad. Si alguien faltó a esa clase, no podría construirlo.” Los desafíos que genera el medio del alumno y el medio del profesor claramente no son los mismos y es necesario entonces negociar el significado de los saberes en juego. Esta afirmación, válida en cualquier situación, puede ser ilustrada con el estudio de la situación de comunicación de figuras.: es necesario diseñar situaciones de validación y de institucionalización que permitan el reconocimiento y la organización de los saberes matemáticos en juego. Durante el desarrollo de la secuencia en el marco de la comunicación se van instalando repertorios a nivel del lenguaje y de la acción, así como de las concepciones involucradas. La dialéctica acción-validación, tal como es concebida y realizada a través de la superposición de figuras, permite trabajar al menos dos aspectos fundamentales: ¿cómo saber si el objeto que tiene ciertas propiedades es el mismo que otro que tiene otras propiedades57? ¿Cuáles son los datos necesarios para construir, según cierta técnica, una figura material determinada? La gran cantidad de preguntas que han quedado abiertas en este capítulo muestra también la necesidad de diseñar tipos específicos de situaciones, así como la necesidad de que el profesor prevea la gestión que quiere llevar a cabo de las posibles fases de búsqueda, validación e institucionalización, que seguramente van a aparecer en el desarrollo de las situaciones planteadas en clase. Reflexiones finales y ¡más preguntas! Es necesario llegar a esta sección para dar por terminado el texto que aquí presentamos, pero todas las preguntas que quedaron abiertas dan cuenta de que no hemos llegado al final de este camino de reflexiones. Las situaciones que tomamos, difundidas en diferentes materiales bibliográficos (vasitos y pinceles, la ampliación del tangram, el juego de comunicación de figuras, la carrera a 20, el peso de un recipiente, etc.), es un material de estudio, de análisis de posibles interacciones de docentes y alumnos en un entorno creado para desarrollar actividades matemáticas. Dichas situaciones provienen de trabajos de investigación que fueron confrontados con la contingencia en aulas de la Escuela Jules Michelet. El estudio teórico fue muy arduo y las confrontaciones numerosas, pero ello no las convierte en un arquetipo de lecciones a dar en la escolaridad obligatoria. Además, esas situaciones no se llevaban a la práctica en forma aislada, sino en el marco de una secuencia para desarrollar los contenidos previstos para cada grado. Por ejemplo, la carrera a 20 aparece como un juego en quinto grado que permite dar relevancia al resto en la división euclidiana, pero las actividades vinculadas a la división (por ejemplo, problemas de reparto en partes iguales de cierta cantidad de objetos, o problemas que los alumnos resuelven con adiciones o sustracciones repetidas, o aproximaciones para determinar el cociente a través de multiplicaciones y restas, o con cierto dominio del algoritmo usual de la división) se desarrollaron durante un largo período que se inició en los primeros años de escolaridad. Durante ese proceso, además de la carrera a 20, 57 Nos referimos a los hallazgos de los alumnos al estudiar por ejemplo un rombo. Algunos lo consideran como dos triángulos isósceles congruentes pegados por sus respectivas bases, otros a través de las propiedades de las diagonales. ¿Es la misma figura la que responde a esas descripciones? Conviene recordar que hasta el momento no se han institucionalizado las propiedades de los cuadriláteros ni organizado una clasificación jerárquica, en la comunicación se da fundamentalmente una fase de búsqueda de propiedades y construcción de vocabulario y trazado con ciertos instrumentos geométricos sobre una hoja de papel. 48

49. hay muchas otras actividades, inclusive rutinarias, conocidas por los profesores que enseñan en esos niveles. Insistimos en nuestra intención de hacer un texto para estudiar la enseñanza efectiva de la matemática. No proponemos un manual de prácticas alternativas o de innovaciones acerca de la enseñanza, en el sentido de imponer modas acerca de ciertas prácticas. Si alguna de las actividades despierta el interés de los docentes por revisar y actualizar su quehacer en el aula, da elementos para la comprensión de los documentos oficiales, alienta a un trabajo cooperativo para favorecer el aprendizaje y la enseñanza de la matemática… ¡Mejor así! Hemos observado no obstante, a partir de la difusión de ciertos resultados de investigación una especie de rutinización de ciertas fases en la enseñanza, donde se pierde el sentido de las actividades propuesta en el aula y del conocimiento matemático en juego. ¿A qué nos referimos? Por ejemplo, en los últimos años en nuestro país, está muy difundida una secuencia de trabajo en el aula que con variantes menores, comienza cuando el profesor plantea un problema para que los alumnos resuelvan individualmente o en grupos. Los alumnos trabajan, cada individuo o grupo pasa al pizarrón a explicar de qué manera resolvió el problema a condición de que su procedimiento sea diferente de alguno ya expuesto. El profesor toma lo que le sirve de cada exposición y da la versión correcta, expresada y simbolizada matemáticamente, institucionalizada para esa clase. Esto puede llevar una o dos lecciones, depende del problema inicial y del tema de estudio. Esta rutina parece responder más bien a cierto ritmo de trabajo en el aula58 que a una necesidad de evolución de los conocimientos. El origen de esta dinámica tal vez resida en la necesidad de dar mayor participación a los alumnos en el curso, ¿pero para producir qué? ¿Qué y cómo toma efectivamente el docente las producciones de los alumnos para desarrollar su proyecto? Aún en esa secuencia que parece unívocamente armada (problema-resolución- presentación-validación e institucionalización) hay cuestiones que pueden modificar completamente el sentido de cada fase. Veamos algunas de ellas que permiten desnaturalizar ese proceso: ¿es un problema59 para el grupo de alumnos la actividad que se plantea? ¿Justifica un trabajo grupal para resolverlo? ¿Cada alumno del grupo desarrolla la misma actividad o sabe qué tiene que hacer? ¿Cuánto tiempo se destina a esa actividad? ¿Quién pasa en primer lugar a hacer público su procedimiento de resolución? ¿Se cuestiona, se analiza el procedimiento o se deja que todos los grupos expongan sus respectivos métodos? Muchas veces resulta tedioso para los alumnos y para el docente escuchar las diferentes presentaciones y entonces el docente decide que se presenten las resoluciones diferentes. ¿Cuándo el docente considera que un procedimiento es diferente de otro? ¿Coincide esa distinción con la de los alumnos o es objeto de negociaciones vía el contrato didáctico? ¿Qué es lo importante a rescatar de todo lo expuesto? ¿Qué es posible rescatar para compartirlo y tratarlo en el curso? ¿Cómo se validan las respuestas? ¿Qué es legítimo institucionalizar? Cuando esa secuencia de fases se hace rutina, puede darse el caso de que el docente las organice ante situaciones objetivas que no requieren de ese tratamiento, porque no es necesario exponer a los alumnos a un desarrollo de tal magnitud cuando de una manera más económica para todos los actores, el alumno puede disponer de los conocimientos que se le quieren enseñar. Esta decisión está directamente ligada a la historia efectivamente desarrollada en la clase sobre el objeto matemático en cuestión y al conocimiento que el docente tiene de las producciones de los alumnos sobre tal objeto. 58 También son saberes docentes el reconocer cuándo es necesario un espacio de trabajo grupal o colectivo, cuando conviene destinar un tiempo a favorecer interacciones entre los alumnos que no necesariamente tienen relación con el tema desarrollado, etc. 59Para dar idea de la diversidad de significados que cubre la palabra “problema”, Schoenfeld (1992) toma del diccionario Webster dos acepciones: “en matemática, cualquier cosa que deba hacerse” y también “una pregunta que es difícil o causa perplejidad”. 49

50. Creemos que el desarrollo teórico expuesto contribuye a comprender que la gestión de una clase puede estar orientada por modelos teóricos, pero como tales, no indican a cada momento lo que se necesita o se debe hacer, sino que dan herramientas para interpretar los hechos y decidir en función de dicha interpretación y de la comprensión que se tenga de la lección efectiva. ¿Cuál es la guía que tiene el profesor para no perder el rumbo y crear y sostener un medio a didáctico para los alumnos? Es necesario considerar tal guía cuando el profesor prepara su clase y también cuando está enseñando. Consideramos dos aspectos fundamentales que orientan las sucesivas decisiones: - el conocimiento del proyecto de enseñanza, es decir del sentido que tiene cada una de las actividades propuestas en la secuencia con respecto al objeto de estudio, - el conocimiento de las producciones individuales y/o grupales de los alumnos en cada una de las actividades, fundamentalmente la identificación de hechos que son destacables en relación al objeto matemático, independientemente del número de alumnos que respondan de ese modo60. No se trata de guardar en la memoria un libreto de indicaciones que los alumnos deben seguir, sino de entender el funcionamiento de las sucesivas actividades y de interpretar la información que proviene de la clase a partir de las dudas de los alumnos, las dificultades encontradas (en el vocabulario, en la simbolización, en la construcción, etc.), las producciones individuales o consensuadas en un grupo, etc. Para el profesor los alumnos pueden diferenciarse teniendo en cuenta los modos en que controlan el medio y entonces según las posibilidades de la clase, el docente podrá determinar el momento en que -por ejemplo- una construcción experta puede ser objeto de enseñanza. En el caso de la secuencia de comunicación de figuras, por ejemplo, el profesor necesita conocer las dialécticas implicadas en el proceso –comunicación-acción, acción- validación- para relanzar al alumno en la aventura que corresponde al nivel del medio en el que se encuentra. Los hechos destacables que se producen en una clase en relación al objeto de estudio, ¿son respuestas asombrosamente elaboradas y pertinentes o también pueden ser sorprendentemente equivocadas? ¿Se hacen públicas o se ocultan, respectivamente? Depende de las condiciones; aunque en general se trata de hacer públicos esos productos notables obtenidos en una clase, la decisión es la elección del momento para difundirlos, de manera que contribuyan al aprendizaje de todos los alumnos. Y también es responsabilidad del profesor decidir si hay una manera económica de difundirlo, por ejemplo relatando lo sucedido, o se considera necesario que cada alumno experimente sobre tal cuestión. Por ejemplo en el juego de comunicación hemos visto descripciones de un triángulo del cual los emisores daban la medida de dos lados y los emisores no pidieron mayores precisiones. El equipo fracasó en la reproducción de la figura, solamente el azar podría haber conducido a la superposición del modelo con una reproducción. En este caso, toda la clase se enfrentó en reiteradas oportunidades –con descripciones que determinaban la figura o no- a la construcción de triángulos utilizando la regla. Cuando los alumnos adquirieron cierto dominio en el trazado –dadas las medidas de los tres lados de un triángulo, determinan dos vértices a y b y descubren que la búsqueda del tercero se puede hacer rotando uno de los otros dos lados con centro en a o en b- entonces se organiza la enseñanza del uso del compás como instrumento que ahorra tanteos para encontrar el tercer vértice. En este caso no hubo economía en la gestión de la clase ni en el trabajo de los alumnos, a veces es necesario invertir en esos procesos para dar sentido a los conocimientos en juego. ¿A veces? Tal vez con mayor frecuencia de la que un poco ingenuamente pensamos porque la existencia en la cultura de saberes básicos ha naturalizado su estudio en la escuela. 60 El número de respuestas de una característica determinada puede ser muy importante en muchas circunstancias, depende de las condiciones en las cuales se obtienen dichas respuestas. 50