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5. CHAPTER. 語意變數與模糊 若 — 則規則. 定義 5.1. 如果一個變數能以自然語言的文字來代替它的值，它被稱為語意變數 (linguistic variable) ，其中這個文字在論域中能被模糊集合歸納定義。. 範例 5.1.

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Presentation Transcript

  1. 5 CHAPTER 語意變數與模糊若—則規則

  2. 定義 5.1 • 如果一個變數能以自然語言的文字來代替它的值，它被稱為語意變數 (linguistic variable)，其中這個文字在論域中能被模糊集合歸納定義。

  3. 範例 5.1 車速是變數x在區間[0,Vmax]上取值，其中Vmax是車速的最大值。我們現在要定義如圖5.1所示在[0,Vmax]上三個模糊集合「慢」、「中」，與「快」。如果我們視x為語意變數，則它以「慢」、「中」，與「快」來代表它的值。也就是我們稱「 x是慢」、「 x是中」與「 x是快」。當然， x也可以在區間[0,Vmax]上取它的值，例如，x=時速50哩、35哩等等。

  4. 定義 5.2 • 一個語意變數 (linguistic variable) 被(X,T,U,M)特性化，其中： • X是語意變數的名稱；在範例5.1中X是車速。 • T是X能代表的語意值的集合；在範例5.1中，T=｛慢，中，快｝。 • U是實際物理範圍，而其語意變數代表它的量（明確）值；在範例5.1中，U=[0, Vmax]。 • M是一個語意的規則關連在T上的每一個語意值且具有U上的模糊集合；在範例5.1中，M關連「慢」、「中」與「快」，且具有如圖5.1所示的歸屬函數。

  5. 5.1　車速為語意變數能在模糊集合中取「快」、「中」5.1　車速為語意變數能在模糊集合中取「快」、「中」 與「慢」當成它的值。 5.1 從數字變數到語意變數

  6. 5.2　從數值變數到語意變數 5.1 從數字變數到語意變數

  7. 5.2 語意藩籬 • 一般而言，一個語意變數的值是一個合成項x=x1x2…xn是一連串的最小項x1, x2,…, xn。這些最小項 (atomic term) 可歸納為三組： • 主要項，而其是模糊集合的標籤；在範例5.1中，它們是「慢」、「中」與「快」。 • 補數「非」與連接詞「與」以及「或」。 • 藩籬，例如「非常」、「輕微」、「恰好」等等。

  8. 定義 5.3 • 令A是在U上的模糊集合，則非常A被定義為在U上的模糊集合，其歸屬函數為 (5.1) 以及恰好A是在U上的模糊集合，其歸屬函數為 (5.2)

  9. 範例 5.2 • 令U={1, 2, …, 5}以及模糊集合小被定義為 (5.3) 則根據 (5.1) 與 (5.2) 式，我們得到 (5.4) (5.5) (5.6)

  10. 5.3 模糊若—則規則 • 在第1章中我們提到在模糊系統與控制中，人類知識是以模糊若—則規則來表示。一個模糊若—則規則 (fuzzy IF-THEN rule) 是附有條件的陳述，且表示為 若<模糊命題>，則<模糊命題> (5.7)

  11. 5.3 模糊若—則規則 • 5.3.1　模糊命題 • 模糊命題有二種類型：極小模糊陳述與混合模糊陳述。一個極小模糊命題 (atomic fuzzy proposition) 是一個單個陳述 x是A (5.8) 其中x是語意變數，以及A是x的語意值（也就是A是一個模糊集合定義在x的物理範圍上）。

  12. 5.3 模糊若—則規則 x是S (5.9) x是M (5.10) x是F (5.11) x是S或x不是M (5.12) x不是S與x不是F (5.13) （x不是S與x不是F）或x是M (5.14)

  13. 5.3 模糊若—則規則 • 混合模糊命題必須如模糊關係般能夠被瞭解。如何決定這些模糊關係的歸屬函數呢？ • 對連接詞「與」使用模糊交集：特別是令x與y分別是在物理範圍U與V上的語意變數，以及A與B分別是U與V上的模糊集合，則混合模糊命題是 x是A與y是B(5.15) 被解釋為在U×V上的模糊關係A∩B，而其歸屬函數為 (5.16) 其中t:[0,1]×[0,1]→[0,1]是任意t-基準。

  14. 5.3 模糊若—則規則 • 對連接詞「或」使用模糊聯集：特別是混合模糊命題 x是A或y是B(5.17) 被解釋為在U×V上的模糊關係A∪B，而其歸屬 函數為 (5.18) 其中s:[0,1]×[0,1]→[0,1]是任意s-基準。 • 對連接詞「非」使用模糊補集：也就是以 取代非A，而其是根據第3章的補數運算子定義。

  15. 範例 5.3 模糊命題 (FP) (5.14) 式，也就是 (5.19) 是在乘積空間[0, Vmax]3上的模糊關係，而其歸屬函數 (5.20) 其中s, t與c分別是s-基準、t-基準與模糊補數運算子，模糊集合s=小、M=中與F=快定義於圖5.1，並且x1=x2=x3=x。

  16. 5.3 模糊若—則規則 • 5.3.2　模糊若—則規則的解釋 • 從表5.1我們看到如果p與q二者皆為真或假時，則p→q為真；如果p為真與q為假時，則p→q為假；並且如果p為假與q為真時，則p→q為真。因此，p→q等效於 (5.21) 與 (5.22) 就某方面來說，它們共同相同的真值表（表5.1）為p→q，其中 、 與 分別代表（古典的）邏輯運算「非」、「或」以及「與」。

  17. 5.1針對p→q的真值表 5.3 模糊若—則規則

  18. 5.3 模糊若—則規則 • Dienes-Rescher蘊涵：如果我們以基本模糊補集 (3.1) 以及基本模糊聯集 (3.2) 分別取代 (5.21) 式的邏輯運算子 以及 ，則我們得到稱為Dienes-Rescher蘊涵。特別地，模糊若—則規則若<FP1>則<FP2>被解釋為在U×V上的模糊關係QD，而其歸屬函數為 (5.23)

  19. 5.3 模糊若—則規則 • Lukasiewecz蘊涵：如果我們使用 (3.10) 式的Yager s-基準，對 取w=1以及對 (5.21) 式的 取基本模糊補集 (3.1)，我們得到Lukasiewicz蘊涵。特別地，模糊若—則規則若<FP1>則<FP2>被解釋為在上U×V的一個模糊關係QL，而其歸屬函數為 (5.24)

  20. 5.3 模糊若—則規則 • Zadeh蘊涵：這邊的模糊若—則規則若<FP1>則<FP2>被解釋為在U×V上的模糊關係QZ，而其歸屬函數為 (5.25) 明顯地，分別對 、 與 藉由使用基本模糊補集 (3.1)、基本模糊聯集 (3.2) 以及基本模糊交集 (3.3)，從 (5.22) 可以得到 (5.25)。

  21. 5.3 模糊若—則規則 • Gödel蘊涵：Gödel蘊涵在古典邏輯是聞名的蘊涵公式。藉由歸納它到模糊命題，我們得到下列：模糊若—則規則若<FP1>則<FP2>被解釋為在U×V的一個模糊關係QG，而其歸屬函數為 (5.26)

  22. 引理 5.1 • 對所有 ，下列為真 (5.27)

  23. 5.3 模糊若—則規則 (5.28) (5.29) (5.30)

  24. 5.3 模糊若—則規則 • Mamdani蘊涵：(5.28) 的模糊若—則規則被解釋為在U×V上的一個模糊關係QMM或QMP，而其歸屬函數為 (5.31) 或 (5.32)

  25. 範例 5.4 令x1是車速、x2是加速度以及y是用於油門的力量。考慮下列的模糊若—則規則： 若x1是慢的與x2是小的，則y是大的 (5.33) 其中「慢的」是定義於圖5.1的模糊集合，也就是 (5.34) 「小的」是在加速度範圍內的模糊集合，而其歸屬函數為 (5.35)

  26. 範例 5.4 以及「大的」是施加於油門力量範圍內的模糊集合，而其歸屬函數為 (5.36) 令x1,x2與y的範圍分別是U1=[0,100], U2 =[0,30]以及V=[0,3]。如果我們使用 (5.16) 式中的t-基準的代數乘積，則模糊命題為 FP1=x1是慢的與x2是小的 (5.37)

  27. 範例 5.4 是一個在U1×U2上的模糊關係，而其歸屬函數為 (5.38) 圖5.3圖解說明如何計算 。

  28. 5.3圖解說明範例5.4如何去計算 範例 5.4

  29. 範例 5.4 如果我們使用 (5.23) 式的Dienes-Rescher蘊涵，則 (5.33) 式的模糊若—則規則被解釋為在U1×U2×V上的模糊關係QD(x1,x2,y)，而其歸屬函數為 (5.39) 從 (5.38) 式我們得到 (5.40)

  30. 範例 5.4 為了要幫助我們結合 (5.40) 式的 且具有 (5.36) 式使用max運算子的μ大的(y)，我們以圖5.4來圖解說明與的範圍分界與它們的結合。從圖5.4，我們得到 (5.41) 對於Lukasiewicz, Zadeh與Mamdani蘊涵，我們能使用相同的程序來決定歸屬函數。

  31. 5.4範例5.4中 與 的範圍分界與其合成 範例 5.4

  32. 範例 5.4（續） 假設我們使用 (5.42) 來近似 (5.34) 式中的μ慢的(x1)， (5.43) 來近似 (5.35) 式中μ小的(x2)，以及 (5.44)

  33. 範例 5.4（續） 來近似 (5.36) 式中的μ大的(y)。現在如果我們使用 (5.32) 式中的Mamdani乘積蘊涵與 (5.16) 式中對t-基準的代數乘積，則歸屬函數μQMP(x1,x2,y)可被簡單計算為 (5.45)

  34. 範例 5.5 令U={1,2,3,4}以及V={1,2,3}。假若我們知道 與 成反比。要公式化這個知識，我們可以使用下列的模糊若—則規則： 若x是大的，則y是小的 (5.46) 其中模糊集合「大的」與「小的」定義為 (5.47) (5.48)

  35. 範例 5.5 如果我們使用 (5.23) 式中的Dienes-Rescher蘊涵，則 (5.46) 式的模糊若—則規則被解釋為下列在U×V上的模糊關係QD： (5.49) 如果我們使用 (5.24) 式的Lukasiewicz蘊涵，則規則 (5.46) 變為： (5.50)

  36. 範例 5.5 對於 (5.25) 式的Zadeh蘊涵以及 (5.26) 式的Gödel蘊涵，我們得到 (5.51) 以及 (5.52)

  37. 範例 5.5 最後，如果我們使用 (5.31) 與 (5.32) 式的Mamdani蘊涵，則 (5.46) 的模糊若—則規則變成 (5.53) 以及 (5.54)

  38. 5.4 總結與更多的閱讀 • 語意變數的概念與藩籬的特性化。 • 模糊命題與模糊若—則規則的概念。 • 模糊若—則規則的不同解釋，包含Dienes-Rescher, Lukasiewicz, Zadeh, Gödel以及Mamdani蘊涵。 • 這些蘊涵的特性與計算。

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