Introdução

1. Referências Bibliográficas Abordagem Metodológica Participantes da Pesquisa Unidades de Ensino Introdução Objetivos MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE FÍSICA E MATEMÁTICA Ensino e aprendizagem de Equações de Diferenças por meio da metodologia de Resolução de Problemas Aluna: Marivane de Souza Martin Orientadora: Profª. Drª. Vanilde Bisognin

2. Referências Bibliográficas Abordagem Metodológica Participantes da Pesquisa Unidades de Ensino Introdução Objetivos Introdução Neste trabalho, apresenta-se o estudo das equações de diferenças por meio da Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas de Onuchic e Allevato ( 2009), alicerçada no referencial teórico da teoria de David Tall e Slhomo Vinner (1981) que trata de imagem de conceito e definição de conceito. Introdução

3. Referências Bibliográficas Abordagem Metodológica Participantes da Pesquisa Unidades de Ensino Objetivos Introdução Objetivos Objetivo Geral Analisar as possibilidades que a metodologia de resolução de problemas oferece para o processo de ensino-aprendizagem e a construção dos conceitos de equações de diferenças em aulas de Cálculo Diferencial e Integral para alunos de um curso de licenciatura em Matemática.

4. Referências Bibliográficas Abordagem Metodológica Participantes da Pesquisa Unidades de Ensino Introdução Objetivos >>Diagnosticar as concepções prévias dos alunos acerca dos conceitos de variáveis discretas e contínuas relacionadas com equações diferenciais ordinárias e equações de diferenças; >> Verificar, por meio de situações-problema, a aprendizagem adquirida pelos alunos, quando da utilização da metodologia de resolução de problemas; >> Analisar, a partir dos resultados obtidos, de que forma a metodologia de resolução de problemas contribuiu para o processo de ensino-aprendizagem e a construção dos conceitos relacionados com as equações de diferenças. Objetivos Específicos

5. Referências Bibliográficas Abordagem Metodológica Participantes da Pesquisa Abordagem Metodológica Unidades de Ensino Introdução Objetivos Abordagem Metodológica A metodologia de pesquisa adotada nesse trabalho foi de abordagem qualitativa; Os instrumentos utilizados para a coleta de dados foram: a observação participante; registros ordenados no Diário de campo da pesquisadora; análise das produções dos sujeitos da pesquisa; análise dos registros dos pesquisados em seus diários de campo.

6. Referências Bibliográficas Abordagem Metodológica Abordagem Metodológica Participantes da Pesquisa Unidades de Ensino Introdução Objetivos Abordagem Metodológica A metodologia de ensino utilizada em sala de aula foi a Resolução de Problemas. Seguiu-se as etapas da metodologia de Resolução de Problemas descritos por Onuchic e Allevato (2009) que são: 1º) preparação do problema - problema gerador; 2º) leitura individual; 3º) leitura em conjunto – formar grupos; 4º) resolução do problema; 5º) observação e iniciativa ; 6º) exploração,na lousa; 7º) assembléia plena; 8º) promoção de consenso; 9º) Formalização.

7. Referências Bibliográficas Participantes da Pesquisa Abordagem Metodológica Participantes da Pesquisa Unidades de Ensino Introdução Objetivos Participantes da Pesquisa Vinte e oito acadêmicos, da terceira série do curso noturno de Licenciatura em Matemática, na disciplina de Equações Diferenciais distribuída em seis grupos, dos quais quatro grupos compostos por cinco alunos e dois grupos com quatro.

8. Referências Bibliográficas Abordagem Metodológica Participantes da Pesquisa Unidades de Ensino Unidades de Ensino Introdução Objetivos Unidades de Ensino I Unidades de Ensino Unidades de Ensino II Unidades de Ensino III Equações de Diferenças lineares de primeira ordem homogêneas UNIDADE DE ENSINO I Equações de Diferenças lineares de primeira ordem não homogêneas. UNIDADE DE ENSINO II Equações de Diferenças lineares de segunda ordem homogêneas UNIDADE DE ENSINO III

9. UNIDADE DE ENSINO I • Equações de Diferenças lineares de primeira ordem homogêneas. • Objetivos • Propor situações-problema que permitam a criação de imagens conceituais relacionadas com as equações de diferenças lineares homogêneas; • Construir o conceito de equações de diferenças lineares de primeira ordem homogêneas; • Encontrar a solução da equação de diferença lineares de primeira ordem homogêneas; • Interpretar geometricamente as soluções.

10. Situações-problema Situação- Problema 1 Considere que um capital de R$ 500,00 seja depositado em um banco, no inicio de um determinado mês. Supondo que a taxa de juros é de 2% ao mês, calcule qual será o capital no final de 2 meses ? e de 6 meses? E no final de 1 ano? Solução Situação-Problema 2 Suponha que o capital aplicado seja de R$ 350,00, considerando as mesmas condições do problemas anterior. a) Encontre os cinco primeiros termos da sequência solução. b) Compare a sequência solução encontrada com a anterior. Solução

11. Atividades complementares • Considere que uma pessoa peça um empréstimo de R$ 3.200,00 a um determinado banco que cobra de 6% de juros ao mês. De quanto será a dívida no final de 6 meses? Enquanto tempo a divida atingirá o dobro? Faça uma tabela e Represente graficamente as situações. • 2. Considere uma aplicação financeira de R$ 1500,00 à taxa de juros de 11% ao ano. Determine o montante no final de 8 anos? Solução Solução

12. Equação de Diferenças Linear de Primeira Ordem com Coeficientes Constantes. A forma geral da equação de primeira ordem pode ser escrita da seguinte maneira: yn = y n-1, com y0 dadoou ainda pode ser representada por yn+1 + ayn= 0. Considerando yn =  y n-1 (1) y0 dado O processo recursivo fornece: Para n = 0, y1 = y0 Se n = 1, y2 = y1 = 2 y0 Se n = 2 segue que y3 = y2 =3 y0 Seguindo com este processo então, obtém-se como solução

13. EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS Uma equação de diferença, ou fórmulas de recorrência, é uma relação entre os termos de uma sucessão e indica-se, em geral, com a seguinte notação { yn } = { y0, y1, y2, ...} Pode-se também considerar o termo {yn+1} como a sucessão obtida eliminando y0 na sucessão inicial: { yn+1 } = { y1, y2, y3, y4...} E assim, a equação de diferenças é uma relação entre os termos de duas sucessões. yn=  yn-1 =n y0 e portanto , yn =n y0 é solução de (1), satisfazendo a condição inicial y0 dada.

14. UNIDADE DE ENSINO II Equações de Diferenças lineares de primeira ordem não homogêneas. Objetivos • Propor situações-problema que permitam a criação de imagens conceituais relacionadas com as equações de diferenças lineares de primeira ordem não homogêneas; • Construir o conceito de equações de diferenças lineares de primeira ordem não homogêneas; • Encontrar a solução da equação de diferenças lineares de primeira ordem não homogêneas; • Interpretar geometricamente as soluções.

15. Situações-problema Situação- Problema 1 Suponha que uma pessoa toma uma dose de medicamento de 80 mg. Depois das primeiras 24 horas, 25% do medicamento é eliminado. Se a pessoa ingerir este medicamento de 24 em 24h, qual é a quantidade da droga no organismo após 5 dias? Após 8 dias? Observando o gráfico, é possível fazer alguma previsão sobre a quantidade de medicamento no organismo após um tempo muito grande? Em caso positivo, que quantidade é essa? Solução

16. Situação- Problema 2 Suponha que a dose inicial é de 60mg, mas que as doses subseqüentes sejam de 80mg. a) Encontre os seis primeiros termos da sequência solução. b) Compare a sequência solução encontrada com a anterior. Situação- Problema 3 Suponha que uma pessoa toma uma dose inicial de 500mg, e que as doses subseqüentes sejam de 80mg a cada dia. a) Encontre os seis primeiros termos da sequência solução. b) Discuta o comportamento da solução. Solução Solução

17. Situação- Problema 4 Da situação 1, tomando como dose inicial Q0 = 80 mg . a) Descreva a sequencia solução para qualquer tempo n. b) Para que valor L a sequencia converge? c) Considere a diferença L - Qn, construa a tabela de valores para essa diferença d) Represente graficamente os dados da tabela. e) Compare o gráfico encontrado para Qn( da situação 1) e este último. f) Encontrar uma expressão para L - Qn. Solução

18. Atividades complementares • A dosagem de uma certa droga é de 10mg ao dia e a dose inicial é também de 10mg. Se o corpo elimina 60% da droga a cada 24 horas, encontre o nível de proteção da medicação. • 2 ) Suponha que a dosagem para o paciente do problema anterior seja reduzida pela metade e ele decide tomar 10mg da droga a cada dois dias em vez de 5mg a cada dia. Com esse comportamento o paciente atinge o mesmo nível de proteção ( manutenção) do medicamento? Explique porque. Solução Solução

19. UNIDADE DE ENSINO III Equações de Diferenças lineares de segunda ordem homogêneas Objetivos • Propor situações-problema que permitam a criação de imagens conceituais relacionadas com as equações de diferenças lineares de segunda ordem homogêneas; • Construir o conceito de equações de diferenças lineares de segunda ordem homogêneas; • Encontrar a solução da equação de diferença lineares de segunda ordem homogêneas; • Interpretar geometricamente as soluções.

20. Situações-problema Situação- Problema 1 Suponha que um casal de coelhos recém-nascidos é colocado num pátio fechado, e que eles não produzem descendentes até completarem dois meses de idade. Uma vez atingida esta idade, cada casal de coelhos produz exatamente um outro casal de coelhos por mês. Qual será a população de coelhos no pátio após doze meses, supondo que nenhum dos coelhos tenha morrido? Qual é a taxa de crescimento de coelhos por mês?

21. Reprodução dos coelhos Solução Modelo Inibidor de Fibonaci

22. Referências Bibliográficas Referências Bibliográficas Abordagem Metodológica Participantes da Pesquisa Unidades de Ensino ALLEVATO, N. S. G. Associando o computador à resolução de problemas Fechados: análise de uma experiência. 2005. 370 p. Tese (Doutorado em Educação Matemática) - Instituto de Geociência e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista Júlia de Mesquita Filho, Rio Claro, 2005. BRANCA, Nicholas A. Resolução de Problemas como meta, processo e habilidade básica. In: KRULIK, S. E REYS, R. E. (Org). A Resolução de Problemas na Matemática Escolar. São Paulo: Atual, 1997. ONUCHIC, L. Ensino Aprendizagem de matemática através da Resolução de Problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org). Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectiva. São Paulo: Ed. UNESP, 1999. p. 199-218. ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. A Sala de Aula, a Pesquisa em Educação Matemática e a Produção Científica do GTERP. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 9., 2007, Belo Horizonte. Anais... Belo Horizonte: SBEM, 2007. p. 1-6. Introdução Objetivos

23. Referências Bibliográficas Referências Bibliográficas Abordagem Metodológica Participantes da Pesquisa Unidades de Ensino Introdução Objetivos TALL, D.; VINNER, S. Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, n.12, p. 151-169, 1981. VINNER, S. The role of definitions in the teaching and learning of mathematics, In: Tall D. O. (Ed). Advanced Mathematical Thinking. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1991. p.65-81.