Graph Limits and Testing Hereditary Graph Properties

1. Graph Limits and Testing Hereditary Graph Properties Lovász, Szegedy 2006

2. Propriedades Testáveis de Grafos Propriedade P hereditária: G satisfaz Ptodo subgrafo induzido de G satisfaz P Propriedade P testável: Existe outra propriedade P’ tal que, ,  k: • GsatisfazPCom prob. 1-  , Gk induzido k vértices satisfaz P’ • G  -far(P)Com prob. 1-  , Gk induzido k vértices não satisfaz P’ Teorema 1 [Alon, Shapira, 2005]: Propriedade Hereditária  Testável

3. Parâmetros Testáveis de Grafos Invariantef(G) de grafos normalizado entre 0 e 1 f(G)testável: ,  k: grafo G  k vértices: Com prob. 1- , Gk induzido com k vértices satisfaz |f(G)-f(Gk)|   Distância entre grafos: Distância para uma propriedade: Teorema 2 [Alon, Shapira, 2005]: Distância para Phereditária é testável Prova alternativa

4. Densidades de Subgrafos t(F,G):Probabilidade de um random mapV(F)V(G) preservar adjacências tinj(F,G):injective tind(F,G):e não-adjacências

5. Sequências Convergentes de Grafos Sequência (Gn)de grafos simples |V(Gn)| (Gn) convergente:(t(F,Gn)) converge, para todo grafo F simples cauchy? métrica? Distância: generalização de d para pesos e conjunto diferente de vértices [Borgs, Chayes, et al, 2006]: (Gn)convergente cauchy em  Todo (Gn) possui uma subsequência convergente Prova: 1. Elon Lages: Toda sequência limitada de reais possui subsequência convergente 2.  Para todo (Gn), todo conjunto finito de grafos F possui subsequência na qual (t(F,Gn)) converge 3. Segue do Teorema da Compacidade

6. Funções com 2 variáveis Intuição:grafo em [0,1], onde W(x,y) é a dens entre vizinhança infinitesimal de x e y Norma retangular: Densidade de Subgrafos:

7. Relação, “Graphons” e Step-Functions [Lovász, Szegedy 2004]:(Gn)convergente se e só se existe “objeto limite” tal que Obs: Todo é limite de uma (Gn) convergente W-random graph G(n,W)sobre [n]: sorteia x1,…xn: ij aresta com prob. W(xi,xj) StepFunction:

8. f(G) Testável  f(Gn) Convergente [Borgs, Chayes, et al, 2006]: Parâmetro f(G)testável (Gn)convergente: f(Gn)converge Prova () ftestável ,  k: grafo G  k vértices: |f (G)-f (G[Vk])|   com prob. 1-, para Vk aleat. com k vértices |f (G)-E(f (G[Vk]))|   , para Vk aleat. com k vértices (Gn) convergente  Fkcom k vértices: 

9. Um Lema Auxiliar Lema 4: Prova: Suponha Zindicadora de um retânguloS x T • Vale para Zstep-function (combinação linear de funções indicadoras de retângulos) • Vale para Zintegrável (por definição, aproxima para step-functions em L1([0,1]2) )

10. Graphons com a propriedade P hereditária Funções , tais que n, x1,…,xn[0,1]: Se G sobre [n] satisfaz: U(xi,xj)=0 ij  E(G) U(xi,xj)=1  ij  E(G) Então GsatisfazP Obs1:Alterando0<U(x,y)<1 gera U’ que satisfaz o mesmo Obs2: Lema 5: é fechado em com respeito a norma Prova:

11. Distância de um Graphon para P Distância para : Lema 6:Phereditária é função contínua na norma |||| Prova:

12. Distância de um Graphon para P Distância para : Lema 6:Phereditária é função contínua na norma |||| Prova: Se não for convergente, tome uma subsequência convergente

13. Grafos e Graphons com a Propriedade P Lema 7: Prova: Lema 8: Prova:

14. Prova do Teorema 2 Tome (Gn) convergente: Prova-se que Se não for convergente, tome uma subsequência convergente

15. FIM