Separación de raíces

1. Separación de raíces Solución numérica de Ecuaciones de una variable (pag.59)

2. TEMA 1 • SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE • SEPARACIÓN DE RAÍCES. • ¿ Qué valores p -llamados raíces-satisfacen la ecuación f(x) = 0? (raíces:p0, p1 , ...., pn ) • Debemos considerar dos etapas: • Separación de raíces. Establecer los intervalos más pequeños posibles [, ] que contengan una raíz. • Mejorar los valores de las raíces aproximadas, hasta que presenten el grado de exactitud deseado.

3. Propiedad de Darboux . Si f C[a, b ] y K es un número comprendido entre f(a)yf(b) , entonces c [a, b ] tal que f(c) = K. NOTA: Por C[a, b ] nos referimos a las funciones continuas en el intervalo [a, b]. Corolario V.1: Si f C[a, b ] asume valores de signo opuesto (+ y -) en los extremos de un intervalo [, ] entonces ese intervalo contendrá al menos una raíz de f(x)=0.

4. PROCESO DE SEPARACIÓN DE RAÍCES: Sea la ecuación f(x) = 0 , con f(x) definida en [a, b ] tal que f(a) > 0y f(b) < 0 (o viceversa) Tomamos en [a, b ] un número adecuado de puntos: 1, 2 ,... , n Comprobamos los signos de fen cada punto: f(1 ), f(2 ),... , f(n ) Hay una raíz en cada intervalo [k , k+1 ] t. q. los signos f(k ), f(k+1 ) sean opuestos.

5. Ejemplo: Separación de las raíces de la ecuación x3 - 6 x + 2 = 0 . Obtenemos una tabla similar a: x -  -3 -1 0 +1 +3 +  f(x) (-) (-) (+) (+) (-) (+) (+)

6. OBSERVACIÓN: En caso de que la derivada, f '(x), sea continua y pueda obtenerse fácilmente los valores que cumplen f '(x) = 0, el asunto se simplifica, pues basta con tomar los signos de f(x) para los ceros de su derivada y para los extremos de [a, b]. Ejemplo: Separación de raíces de x4 - 4 x - 1 = 0. f(x) = x4 - 4 x - 1 , f '(x) = 4 (x3 - 1)f '(x) = 0 para x = 1. Tabla: x -  +1 +  f(x) (+) (-) (+) Por tanto la ecuación tiene dos raíces.

7. Tres teoremas Teorema del Valor Medio. Si f C[a, b] y es diferenciable en (a, b), entonces existe un número c, a<c<b, tal que: Teorema del Valor Extremo. Si f C[a, b] , entonces existen dos números c1 , c2 [a, b] t. q. f(c1) f(x)  f(c2) para todo x [a, b]. Si además, f es diferenciable en (a, b), entonces c1 y c2 estarán en los extremos o allí donde f ‘(x)=0.

8. Teorema V.2: Sea la ecuación f(x) = 0, y sea p una raíz exacta y una raíz aproximada, ambas situadas en el mismo intervalo [,]… Y sea m1 un valor minimal de f ’(x) en [,], es decir, m1f ’(x) (siendo m1 > 0 ), para x , entonces se tiene: Demostración: Por el T. del valor medio se tiene: Donde c es una valor intermedio entre y p, es decir c[α, β]. Tenemos que f(p) = 0, y, (si tomamos para m1 el valor minimal de f’(x) para α≤x≤β), entonces: Por tanto:

9. Ejemplo: Para la ecuación x4 – x – 1 = 0, hemos obtenido la raíz aproximada = 1.22. = 2.2153 – 1.22 – 1 = -0.0047 (-) Como para el valor = 1.23, se tiene: = 2.2889 – 1.23 – 1 = 0.0589(+) la raíz exacta p cae en el intervalo (1.22, 1.23). La derivada f’(x) = 4 x3 – 1, crece monótonamente, por tanto el valor minimal es: m = 4  1.223 – 1 = 6.2632 y el error absoluto es:

10. 2 SOLUCIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES. • Es un método algo burdo, pero sirve para hallar raíces aproximadas de: • f(x) = 0 {1} • Se trata de sustituir la ecuación f(x) = 0 por otra equivalente: • (x) = (x){2} Las raíces de {1} (o de {2}, que son las mismas) son las abscisas de las intersecciones de las gráficas y = (x) , y = (x)

11. Ejemplo: Hallar una raíz aproximada de la ecuación: Solución: Esta ecuación la escribimos: Ahora tomamos las dos funciones: y = log10 x , y = 1/x Las raíces son las abscisas de los puntos de intersección (en este caso sólo uno) de las dos funciones. En este caso p = 2.6

12. OBSERVACIÓN: Este método es muy útil para el caso de que una de las dos funciones tenga forma lineal, o sea: y = ax + b. Lo que incluye al caso de las ecuaciones del tipo: xn + a x + b = 0 Ejemplo: Resolver aproximadamente la ecuación: x3 – 1.75 x + 0.75 = 0 Las raíces son p1 = -1.5, p2 = 0.5, p3 = 1 .

13. 1.3 EL ALGORITMO DE BISECCIÓN (Método de Bolzano). Se trata de hallar los valores de xque cumplen f(x) = 0. (Raíces) Sea fdefinida en [a , b], t.q. f(a)y f(b) tengan signos opuestos, entonces por el corolario V.1 (llamado teorema de Bolzano), sabemos que: existe un p [a , b] t.q. f(p)=0. El método consiste en ir tomando sucesivas aproximaciones p1 , p2 , ....., pn hacia el valor p. Tomando siempre el punto intermedio del intervalo.

14. Inicialmente tomamos: a1 = a, b1 = b y a continuación tomamos el punto medio de (a1, b1): * Este p = p1, sería la primera aproximación a la raíz. * Si f(p1 )=0 entonces p1es la raíz → FIN. * Si f(p1 )0 entonces f(p1 ) tendrá el mismo signo que f(a1 ) ó el mismo signo que f(b1 ). -- Si Sign[f(p1 )] = Sign[f(a1 )] entonces p [p1 , b1], Entonces tomamos: a2 = p1, b2 = b1 -- Si Sign[f(p1 )] = Sign[f(b1 )] entonces p [a1 , p1], Entonces tomamos: a2 = a1, b2 = p1 Etc. hasta encontrar un f(p) = 0, o bien el intervalo [an , bn ] es inferior a una tolerancia TOL prefijada.

15. ALGORITMO: Para hallar una solución de f(x) = 0 , dada la función f en el intervalo [a, b] donde f(a) y f(b) tienen signos opuestos. Entradas: extremos a y b; tolerancia TOL; cantidad máxima de iteraciones N Salida: solución aproximada p, o mensaje de fracaso. Paso 1: Tomar i = 1; Paso 2: Mientras que i  N seguir los pasos 3-6; Paso 3: Tomar p = a + ½ (b-a) ; % Calcular pi . Paso 4:Si f(p) = 0 ó½ (b-a) < TOL entonces Salida  p , PARAR. Paso 5: Tomar i = i + 1; Paso 6: Si f(a) . f(p) > 0 entonces tomar a = p, de lo contrario, tomar b = p; Paso 7: Salida (‘El método fracasó después de N intentos’); PARAR.