CANTIDADES OBSERVACIONALES ‘Astrophysics I: Stars’(1984), ‘Astronomy Today’ (2001)

1. CANTIDADES OBSERVACIONALES • ‘Astrophysics I: Stars’(1984), ‘Astronomy Today’ (2001) SISTEMAS DE MEDIDA DE BRILLO (Sesión 1) ● Posición de una estrella en el cielo: sistema de coordenadas ecuatoriales (SCE). Dado un objeto en una posición n, trazamos la circunferencia que pasa por los polos, es perpendicular al ecuador y contiene a n. DECLINACION (δ) ► Distancia angular del objeto, a partir del ecuador. Los polos N y S tienen una declinación de  90º, respectivamente ASCENSION RECTA () ► Se cuenta de 0º a 360º (más habitualmente, entre 0 h y 24 h), desde el punto  Aries (equinocio de primavera) hacia el este. El ecuador celeste es el plano que contiene al círculo ecuatorial terrestre. Los polos celestes son extensiones de los polos terrestres: norte (N) y sur (S). Eje fijo N Precesión luni-solar (P = 25800 años) 

2. ● Distancia a una estrella próxima: método delparalaje trigonométrico. El paralaje p (en segundos de arco) es la mitad del ángulo subtendido en la estrella por el diametro de la órbita terrestre (es decir, 2 UA). La unidad de distancia es el parsec o pc. Una estrella cuyo paralaje es de 1, está situada a una distancia de 1 pc (aprox. 3,3 años-luz o 3  1018 cm). sen (/2) = 1 (UA) / r (UA) n2 n1 /2 (rad)  1 / r (UA) cos  = n1●n2 p () = 1 / r (pc) distancias grandes (r grandes) ► paralajes pequeños (p pequeños) Más de un millónestrellas en el entorno solar tienen paralajes medidos con precisión (p  0,005 , d  200 pc)

4. ● Además de la posición y la distancia, podemos medir el brillo de una estrella. El ritmo total de producción de energia (ej., erg seg-1), se denomina luminosidad absoluta L y no es observable de forma directa. La cantidad que podemos medir es la luminosidad aparente l. Este nuevo observable se define como el ritmo al cual se recibe la energia en una unidad de área en la Tierra (ej., erg seg-1 cm-2). Despreciando las pérdidas de energia: • Midiendo l y r se puede estimar la luminosidad absoluta L • Midiendo l y conociendo L se puede estimar la distancia r: r  200 pc ! l = L / 4r2 Brillo en magnitudes: m = - 2,5 log l + k y M = - 2,5 log L + K m = M + 5 log r + C , C = - 5 La magnitud aparente de cualquier estrella se determina especificando la magnitud de una estrella de calibración: m = - 2,5 log (l/lcal) + mcal

5. La atmósfera tiene un factor de transmisión A(n), y el telescopio (lentes, filtro, etc.) está caracterizado por otro factor de transmisión T(n). Por ejemplo, imaginemos una medida con un telescopio óptico terrestre, usando un filtro rojo como el de la figura adjunta. Si en condiciones ideales, el flujo de energia a la frecuencia n es l(n) erg cm-2 seg-1 Hz-1, con el telescopio (en condiciones instrumentales y atmosféricas reales), medimos: lR = R A(n) T(n) l(n) dn . Así, podemos definir una magnitud para el filtro o banda R, mR = - 2,5 log lR + cte . nR Es más conveniente trabajar con una magnitud monocromática m(nR) = R = - 2,5 log R A(n) T(n) l(n) dn / R A(n) T(n) + kR = - 2,5 log l(nR) + kR Actualmente se usan varios sistemas de filtros. Por ejemplo, se suele usar el sistema UBVRI: desde el ultravioleta cercano (U) hasta el infrarrojo cercano (I). También se trabaja con índices decolor U – B, B – V, etc.

6. Para una estrella normal muy caliente (28000 K), B – V = - 0,31, mientras que para una estrella algo mas fria (9900 K), B – V = 0, y para una aún más fria (2800 K), B – V = 1,63. La estrella más caliente (B – V = - 0,31) emite más luz azul con relación a la amarilla. Debemos tener en mente la relación kT  hn, de forma que los objetos más calientes son más azules. Cuando somos capaces de obtener información estelar a todas las longitudes de onda, podemos estimar la magnitud aparente total o la magnitud absoluta total. Estas magnitudes totales se denominan magnitudes bolométricas. Dada la magnitud en una banda concreta, por ejemplo, en la banda V, se puede expresar la magnitud aparente bolométrica como m = V + CB, siendo CB la corrección bolométrica, que será siempre negativa. TRABAJO PERSONAL (Repaso y problemas en ‘Astrophysics I: Stars’) 1.- Probar que el índice de color de una estrella es independiente su distancia a la Tierra. 2.- Mostrar que para una estrella que radia como un cuerpo negro, l(n) = (2ph/c2)(R2/r2) {n3/[exp(hn / kT) – 1]}, donde R es el radio estelar y r es su diatancia a la Tierra. Suponiendo que lB = 4450 A ylV = 5500 A, estudia la evolución del índice de color B – V con la temperatura (3000-20000 K). Calibrar la relación con los valores solares: T = 5800 K y B – V = 0.65.

7. ABSORCION INTERESTELAR Y ENROJECIMIENTO (Sesión 2) Nuestro esquema de la sesión anterior se complica cuando consideramos la absorción de luz por el material interestelar. El material interestelar puede ser de dos tipos: gas o polvo. GAS► Absorción de radiación a frecuencias bien definidas (discretas) ►Líneas de absorción interestelar en espectros estelares POLVO► Dispersión de luz sobre un amplio rango de frecuencias, afectando mas a la luz azul que a la roja (como el polvo en la atmósfera terrestre) ►Enrojecimiento de los espectros estelares El enrojecimiento interestelar se puede describir mediante un modelo sencillo. Usando un coef. de extinción a(n,r), se obtiene un espesor óptico del material en la dirección de la estrella:t(n) = [0,r] a(n,r’) dr’. Así, en presencia de polvo, debemos reescribir el flujo de energia como lpolvo(n) = l(n) exp [- t(n)] . La magnitud aparente en la banda R será Rpolvo = - 2,5 log l(nR) + kR + 1,0857 tR .

8. La extinción interestelar aumenta la magnitud aparente de la estrella en una cantidad del orden del espesor óptico total asociado al polvo situado entre el observador y la estrella. ● ¿Cómo se modifica el índice de color B – V? D(B – V) = (B – V)polvo – (B – V) = 1,0857 (tB – tV) . Como tB > tV, se produce un aumento del índice de color, es decir, un enrojecimiento. Podemos obtener una expresión similar para el índice de color U – B, y finalmente, D(U – B) / D(B – V) = (aU – aB) / (aB – aV) 0.72 . También DV / D(B – V) = aV/ (aB – aV) 3 .

9. TRABAJO PERSONAL (Repaso y problemas en ‘Astrophysics I: Stars’) 1.- Justificar la expresión del flujo de energia monocromático en presencia de polvo. 2.- Suponiendo que el polvo se encuentra en el disco de la Vía Láctea (considerar una lámina de altura 2h y extensión infinita) y que está distribuido homogeneamente, estimar el enrojecimiento en la banda B, para un objeto extragaláctico distante situado a una latitud b con relación al plano central de la Galaxia. TAMAÑO Y TEMPERATURA (Sesión 3) ● Podemos determinar la temperatura superficial de una estrella, midiendo su luminosidad aparente a varias frecuencias y comparando el espectro l(n) con las curvas correspondientes a cuerpos negros a diferentes temperaturas T. Es decir, ajustando el espectro observado a una ley de cuerpo negro. Un método más sencillo consiste en medir la luminosidad aparente a dos fecuencias distintas (en dos bandas ópticas). Por ejemplo, el índice de color B – V depende claramente de la temperatura (repasar Sesión 2).

10. ● Mientras que la temperatura estelar se expresa habitualmente en K, la luminosidad absoluta se suele expresar en luminosidades solares (L๏= 3,86 1033 erg seg-1) y el radio (tamaño) en radios solares (R๏= 6,96 1010 cm). Cuando la emisión estelar se aproxima por una ley de cuerpo negro, existe una relación entre luminosidad absoluta, radio y temperatura. Es la relación LRT. Partiendo de la potencia monocromática irradiada hacia el exterior por unidad de superficie F(n) = (2ph/c2){n3/[exp(hn / kT) – 1]}, podemos encontrar la potencia total emergente por unidad de superficie (integrando sobre todas las frecuencias): F = s T4, s = 2p5 k4 / 15c2 h3. Si la estrella es considerada como una esfera de radio R, teniendo en cuenta la superficie estelar, se concluye la relación LRT L = 4 ps R2 T4 Para las estrellas con radio conocido, se puede usar la ley LRT para determinar la temperatura (usando la luminosidad absoluta y no el espectro Podemos determinar el tamaño de una estrella conociendo L y T

11. ● Hemos visto la medida INDIRECTA de tamaños mediante la relación luminosidad-radio-temperatura. Sin embargo, también se pueden medir tamaños de forma DIRECTA. La mayoria de las estrellas son distribuciones de luz que no pueden resolverse espacialmente. Pero la distribucion de luz de algunas estrellas suficientemente grandes, brillantes y próximas, puede resolverse espacialmente y conducir a la medida del tamaño estelar. La idea es determinar el tamaño angular y la distancia, lo que conduce directamente al tamaño físico. En este grupo privilegiado se encuentra Betelgeuse (un miembro importante de la constelación de Orión). Betelgeuse está situada a una distancia de 130 pc y tiene un diámetro angular de 0,045’’. Como consecuencia de estas medidas, la estrella tiene un radio de 630 R๏. MIRA tiene una temperatura de 3000 K (T๏ / 2) y una luminosidad absoluta de 400 L๏. Estos valores conducen a un radio igual a 80 R๏ (ley LRT). La estrella es una gigante (10-100 R๏). Como los objetos a 3000 K son rojos, Mira es en realidad una gigante roja. Por el contrario, SIRIUS B tiene una temperatura igual a 4 T๏ y una luminosidad de 0,04 L๏. Mediante la ley LRT, se obtiene un radio de 0,01 R๏(del orden del radio de la Tierra). Sirius B es una enana (R  R๏) blanca.

12. TRABAJO PERSONAL (Repaso y problemas en ‘Astrophysics I: Stars’) 1.- Considerar una familia de estrellas que tienen un radio similar. ¿Qué relación debemos encontrar entre el logaritmo de la luminosidad absoluta de las estrellas y el logaritmo de la temperatura?. 2.- Vega y Sirius A son estrellas blancas con radios de 4 R๏ y 2 R๏ , respectivamente, mientras que la estrella de Barnard y Próxima Centauri son estrellas rojas con radios de 0,07 R๏ y 0,03 R๏, respectivamente. ¿Qué puedes decir sobre las luminosidades absolutas de estas estrellas?. ESPECTRO (Sesión 4) El espectro de una estrella muestra un comportamiento de tipo cuerpo negro, acompañado de líneas de absorción causadas por los elementos en la superficie/atmósfera estelar. En algunas estrellas, también se observan líneas de emisión. En principio, las líneas espectrales que pueden formarse y sus intensidades, dependen de la composición química y de la temperatura.

13. HIDROGENO MOLECULA CO

14. ● Las estrellas se pueden clasificar según su espectro: clasificación espectral. Como las abundancias de los elementos presentes en las superficies/atmósferas de todas estrellas difieren poco (abundancias cósmicas), aparece una fuerte correlación entre tipo espectral y temperatura/color.

15. ● Cada tipo espectral se subdivide en subtipos de 0 a 9, en orden decreciente de temperatura. Por ejemplo, el Sol es una G2 (T = 5800 K). Es decir, un poco más fria que las G1 y un poco más caliente que las G3. Esta clasificación es válida para la mayoria de las estrellas, caracterizadas por una composición química superficial que es muy similar. Todo indica que las nubes protoestelares tienen ingredientes similares, y con el paso del tiempo, las reacciones termonucleares alteran la composición interna de las estrellas, mientras que la externa permanece. Sin embargo, hay otros tipos espectrales menos comunes (W, R, S y N), con abundancias anómalas para las temperaturas que hemos discutido. Se trata de estrellas con corrientes que van desde la superficie a zonas profundas o que han perdido su envoltura. Debido a estos fenómenos, la composición superficial inicial ha sido modificada. ANALISIS DE UNA LINEA ESPECTRAL En la región espectral correspondiente a una línea caracterizada por una longitud de onda l, primero se determina la intensidad del continuo c(l), y luego, se calcula la razón línea/continuo r(l) = l(l) / c(l). Entonces se puede encontrar la anchura equivalente de la línea: W(l) =  [1-r(l)]dl Con una línea intensa se pueden estudiar los detalles de su perfil.

16. PERFIL La agitación térmica de las partículas conduce a un ensanchamiento “natural” de la línea espectral, y a que esta sea observada con una forma de campana. Cuando más caliente es el gas, más ancha es la distribución de velocidades y mayor es la anchura de la línea. Midiendo la anchura de la línea, podemos estimar la temperatura del gas que la produce. Medida de la longitud de onda “natural” (central) l → comparación con la longitud de onda en un lab. terrestre l0 → estimación de la velocidad radial de la estrella: v/c = l/l0 - 1 (efecto Doppler para v<< c) “Anomalias”: ensanchamiento adicional causado por rotación estelar (a mayor rotación, mayor extra-ensanchamiento) y ensanchamiento adicional debido a un campo magnético (ef. Zeeman). Conociendo la temperatura por otra via (no líneas), se pueden analizar estas “anomalias”. Además, desplazamiento de l0 debida al campo gravitatorio.

17. TRABAJO PERSONAL [Repaso, incluyendo ‘Curso Básico de Astrofísica. I. Estrellas’ (1985), y problemas] 2.- Sabiendo que el campo gravitatorio estelar provoca un desplazamiento al rojo: l/l0 - 1 = GM/Rc2, siendo M la masa de la estrella y R su radio, demostrar que el desplazamiento gravitatorio puede expresarse como una velocidad radial efectiva v = 0,6362 (M/M๏) (R/R๏)-1 km s-1. La estrella Sirius B tiene un radio de 0,0074 R๏ y una masa de 1,035 M๏, mientras que la estrella 40 Eri B tiene radio y masa de 0,0124 R๏ y 0,466 M๏, respectivamente. ¿Será importante el desplazamiento espectral gravitatorio en dichas estrellas?. 1.- Teniendo en cuenta el esquema adjunto sobre el sistema Alpha Centauri y el sistema Solar, determinar a que longitudes de onda centrales se observarán las líneas a y b de Balmer. Suponer que el campo gravitatorio no es importante. DIAGRAMAS DE HERZTSPRUNG-RUSSELL: POBLACIONES ESTELARES Y EVOLUCION ESTELAR (Sesión 5) ● Una de las herramientas observacionales más decisivas son los llamados diagramas H-R, que fueron introducidos por Herztsprung y Russell en los años 1911-1913.

18. ● La idea básica de un diagrama H-R es la clasificación de estrellas en el plano temperatura (eje X) -luminosidad absoluta (eje Y). A veces, en lugar de usar la temperatura se usa el tipo espectral o el índice de color (que es equivalente a usar T), o en lugar de usar la luminosidad absoluta L, se utiliza la magnitud absoluta (si las estrellas formán parte de un cúmulo estelar, es decir, están a una misma distancia, se puede usar también la magnitud aparente). SECUENCIA PRINCIPAL Incluye a la mayoria de las estrellas. Estrellas realizando la conversión H → He.

19. ENANAS BLANCAS Y GIGANTES ROJAS ● Un grupo importante de estrellas se situa en la parte superior derecha de los diagramas (son estrellas muy luminosas, frias y de gran tamaño). Se denominan gigantes rojas. En estas estrellas se ha consumido el combustible original (H), y como consecuencia se ha producido la contracción y el calentamiento del núcleo, que conducen al aumento en luminosidad, la expansión y el enfriamiento de la envoltura. ●● Otro grupo importante se situa en la parte inferior izquierda de los diagramas H-R. Son las enanas blancas. Estas estrellas compactas se encuentran en una fase final de la evolución estelar. El colapso gravitatorio es evitado por la presión que ejerce un gas completamente degenerado de electrones. Datos de la misión Hipparcos para más de 20000 estrellas situadas a distancias menores de 1000 pc y con magnitud aparente menor que 12. Se trata de una distribución sesgada en luminosidad (datos para estrellas brillantes). Muestras completas indican que: SP = 90%, EB = 9%, GR = 1% .

20. ● La evolución estelar hace que una estrella situada en cierta época en una región de los diagramas H-R, se situe en una región diferente en una época posterior. Las zonas mas pobladas (SP) corresponden a características estructurales muy usuales y muy prolongadas en el tiempo. ●● Diagramas H-R de distintos tipos de cúmulos estelares muestran diferencias muy significativas. Las estrellas se situan siempre en las regiones que hemos visto (SP, EB, GR, etc.), pero la densidad relativa de dichas regiones varia de cúmulo a cúmulo. Como las estrellas de un mismo cúmulo tienen probablemente el mismo origen, y por lo tanto, edad similar, estas diferencias entre cúmulos (de distintas edades) nos idican la trayectoria de las estrellas en los diagramas H-R. ●●● Dentro de la Galaxia se observan dos poblaciones estelares. Las estrellas de la población I (como el Sol) tienen sobreabundancia de metales respecto a las estrellas de la población II. La clasificación de las estrellas en poblaciones I y II, no procede de diferencias en la composición química, sino de sus características cinemáticas y su situación geográfica. Las de población I giran colectivamente en torno al centro galáctico (disco), y sus velocidades peculiares (debidas a fenómenos locales) son pequeñas frente a la de rotación. Están solas, en sistemas dobles o en grupos reducidos y no ligados gravitatoriamente (cúmulos abiertos). Por el contrario, las estrellas de la población II, no poseen velocidades coherentes de rotación, sino movimientos peculiares. Se hallan en grandes cúmulos, que están ligados por la fuerza de la gravedad (cúmulos globulares). Están distribuidas homogeneamente dentro de una esfera (halo), cuyo plano ecuatorial es el disco galáctico.

21. TRABAJO PERSONAL [Repaso, incluyendo ‘Curso Básico de Astrofísica. I. Estrellas’ (1985), y problemas] 1.- Considerar dos estrellas en un diagrama H-R del tipo logL frentea logT. Suponer que ambas tienen la misma temperatura y que su logL difiere en 1,5 unidades. ¿Cúal es la relación entre sus radios?. 2.- Si en la fase “secuencia principal” (combustión de hidrógeno) las estrellas son esferas con una densidad constante y universal, demostrar que la luminosidad puede obtenerse en función de la masa y la temperatura. Si las estrellas más frias y débiles (3000 K, 0,0001 L๏) tienen una masa de aproximadamente 0,1 M๏, estimar la masa de las gigantes azules (20000 K, 10000 L๏). ¿Te parece sensato el resultado?. Alternativamente, suponer que en la fase SP, la luminosidad aumenta como la cuarta potencia de la masa ( L  M4 ). Deducir la masa de las gigantes azules en función de la masa aproximada de las enanas rojas. SISTEMAS BINARIOS (Sesión 6) ● Más de la mitad de las estrellas son miembros de sistemas binarios. Un sistema binario está formado por dos estrellas unidas por la gravedad y describiendo órbitas en torno al centro de masas. Observaciones de la dinámica de las órbitas conduce a información sobre la masa de las componentes, y la mayoria de los datos sobre masas estelares provienen de esta técnica. Cuando la orientación de las órbitas es especialmente favorable, podemos deducir otras propiedades de las componentes del sistema (p.e., los radios estelares).

22. CLASIFICACION DE SISTEMAS BINARIOS Binario visual: miembros ampliamente separados y suficientemente brillantes como para permitir observaciones y monitorizaciones separadas. Binario eclipsante: el plano orbital del sistema está situado casi de canto. Cuando una estrella pasa delante de la otra, la más lejana queda eclipsada. ORBITAS ABSOLUTAS y RELATIVAS ORBITAS APARENTES (ángulo de inclinación i) Curva de luz I=I(t) Binario espectroscópico: estrellas muy próximas y con plano orbital no muy inclinado.

23. ● Información física sobre las componentes 1.- Observando las órbitas (visual), los mínimos en la curva de luz (eclipsante) o los desplazamientos de las líneas espectrales (espectroscópico) se puede determinar el periodo orbital T (horas-siglos). 2.- Midiendo la distancia a una binaria visual, se pueden determinar el semieje mayor de la órbita relativa a. Entonces, la tercera ley de Kepler: G(M1 + M2)/a3 = (2p /T)2, permite obtener la masa total del sistema M = M1 + M2. Por otro lado, podemos trazar las órbitas individuales y estimar los semiejes mayores a1 y a2. La relación M1a1 = M2 a2 conducirá a un valor para la razón de masas M1/M2. Finalmente, mediante ambas la suma y la razón de masas, se pueden medir las masas individuales M1 y M2. R  M y L  M4

24. TRABAJO PERSONAL [Repaso y problemas] 1.- Imaginar dos estrellas idénticas de masa Mʘ ,en orbita una alrededor de la otra, a una distancia relativa de 100 UA. Imaginar que colocamos el sistema a diferentes distancias de la Tierra, con diferentes orientaciones del plano orbital. ¿Bajo que circunstancias veremos al sistema como una binaria visual o una binaria eclipsante?. 2.- Obtener la curva de brillo teórica [Dm = m – m(brillo máximo)] para un sistema binario eclipsante constituido por dos estrellas de igual radio y luminosidades L1 y L2 (L1 > L2). El sistema tiene periodo T y esta a una distancia r (r = rCM r1  r2). 3.- Considerar dos masas puntuales (M1 y M2) en órbitas circulares (con radios a1 y a2) alrededor de su centro de masas (CM). Sea i el ángulo de inclinación del plano orbital con respecto a la línea que une al CM y al observador. El espectro de la binaria irresoluble tendrá corrimientos periódicos de tipo Doppler, debidos a la velocidad orbital del objeto 1. Obtener la amplitud de la variación Doppler v1 = zmaxc, si el periodo orbital vale T. Usando la tercera ley de Kepler, demostrar que la llamada “función de masa del objeto 1” vale f1 = (M2sen i)3/(M1+M2)2 = Tv13/(2pG). PULSACION Y ROTACION (Sesión 7) ● En una estrella pulsante (cefeida), el periodo de pulsación está directamente relacionado con los parámetros físicos intrínsecos (p.e., la densidad), y dicho periodo puede medirse con alta precisión.

25. ●● Consideramos la ecuación de conservación del momento (ec. de Euler): r(dv/dt) = rg - p. Multiplicando por un elemento de volumen dV, que incluye una masa dm, se obtiene el balance más familiar: dm a = dm g + dFp (dFp = - dp dS = - p dV). Dividiendo por dm, y teniendo en cuenta la intensidad del campo gravitatorio en un radio intermedio R que contiene una masa M, g = - (GM/R2)u (u es un vector radial unitario), se deduce que d2R/dt2 = - GM/R2– [(dp/dr)/r]R = 0 (equilibrio hidrostático). De forma aproximada, el equilibrio hidrostático sugiere que <p>  (GM/R)<r>, <r> = 3M/4pR3. Si se produce una perturbación radial (R  R + dR) y consideramos una ecuación de estado de tipo polítropo p  rg, el elemento de fluido adquiere una aceleración no nula y d2(dR)/dt2 - (3g – 4) (GM/R3) dR. Es decir, llegamos a la ec. diferencial para un movimiento armónico con w2  (3g – 4) (GM/R3). El periodo de la oscilación vale P = 2p/w  G 1 / 2 <r> 1 / 2 . ●●● Para las cefeidas, se observó una relación entre periodo y luminosidad, lo que implica una correlación directa entre luminosidad y densidad media en este tipo de estrellas. Si L  <r> - a  P  L 1/2a. Las observaciones indican que a  0,5, es decir, P  L. Debido a relación aproximadamente lineal entre P y L, las estrellas variables cefeidas pueden usarse como indicadores de distancia: P  L  r.

26. ●●●● Las estrellas cefeidas son supergigantes y tienen luminosidades intrinsecas muy altas, de modo que pueden ser observadas a grandes distancias (en galaxias próximas). Al ser supergigantes, tienen bajas densidades y periodos de pulsación largos. El perido típico es de 10 días, y su tipo espectral está entre el F y el G. ●●●●● Un tipo importante de variables pulsantes incluye a las estrellas RR Lyrae. Tienen espectros similares a los de las cefeidas clásicas, pero son mucho menos luminosas. Por consiguiente, son objetos más pequeños y más densos, y tienen periodos menores (0,5 - 1 días). Para estas estrellas, a  0,25 y P  L 2. Se encuentran en gran abundancia en cúmulos globulares, y por lo tanto, se trata de estrellas de población II (relativamente pobres en metales). ●●●●●● Las variables de periodo largo (entre 100 días y varios años; prototipo: Mira), tienen diferente tipo espectral. Son supergigantes rojas, es decir, las estrellas más grandes que se conocen. ●●●●●●● Las estrellas d Scuti forman parte de las cefeidas enanas. Al ser estrellas enanas tienen periodos mucho menores que las cefeidas normales y las estrellas RR Lyrae. Presentan dos o más modos de pulsación, probablemente incluyendo modos de oscilación no radiales. Las curvas de luz son complejas.

27. ROTACION ESTELAR Es practicamente un fenómeno universal. El Sol tiene un periodo de unos 25 días, una velocidad de rotación (ecuatorial) de 2 km s-1 y un momento angular de 1048 gr cm2 s-1. Sin embargo, muchas estrellas tienen velocidades de rotación (ecuatoriales) de 100 - 200 km s-1. Algunas estrellas muy viejas (estrellas de neutrones) alcanzan velocidades de rotación inmensas. Existe un límite para la velocidad de rotación de una estrella. Por encima de ese límite, la estrella se rompería en pedazos. La velocidad de rotación crítica se obtiene igualando la fuerza gravitatoria y la fuerza centrífuga en la superficie estelar (radio R). Entonces, Vc2/R = GM/R2 Vc = (GM/R) 1/ 2 . Para el Sol, Vc = 400 km s-1, es decir, 200 veces su velocidad de rotación actual. TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y problemas] 1.- Usar las diferencias en los periodos para comparar la densidad media en una estrella cefeida normal y la densidad media de una estrella RR Lyrae.

28. TRABAJO PERSONAL [continuación] 2.- Suponer que una estrella es un sistema aislado, y que evoluciona conservando el momento angular y la masa. Sabiendo que la velocidad angular actual del Sol es de W 3 10-6 s-1, ¿a qué velocidad girará si consigue alcanzar la etapa de “estrella de neutrones” (R  10 km)?. Compara el resultado con los periodos medidos para radio púlsares: 1 ms – varios segundos. Si en el colapso se conserva el flujo magnético, ¿cúanto valdrá la relación entre campos magnéticos B(EN)/Bʘ?. 3.- Una enana blanca (M = 1 Mʘ, R = 0.007 Rʘ) emite un chorro de radiación y gira con periodo P. El “chorro” sale radialmente de un punto en el ecuador de la estrella. Nosotros solo vemos la emisión, cuando este se alínea con la dirección estrella-Tierra. En nuestra posición se observa una señal pulsada con periodo P. Obtener el mínimo periodo para la señal.

29. ESTADISTICA ESTELAR (Sesión 8) ● Distribución de masas y luminosidades estelares La función de masaF(M), se define tal que dN(M) = F(M) dM es el número de estrellas por unidad de volumen con masa entre M y M + dM. También se define la función de luminosidadF(L), como el número de estrellas por unidad de volumen y unidad de luminosidad. Así, dN(L) = F(L) dL es el número de estrellas por unidad de volumen con luminosidad entre L y L + dL. Para diferenciarlas, se las suele llamar FM(M) y FL(L). Estas distribuciones pueden evolucionar (cambiar con el tiempo). Por ejemplo, como consecuencia de la evolución estelar, la función de masa de estrellas en un cúmulo globular diferirá de la función de masa inicial. ●● Relación entre FM(M) y FL(L) Ambas distribuciones pueden relacionarse mediante la ley empírica masa-luminosidad: L = K Ma (p.e., a = 4 para estrellas de la SP). La ley empírica nos dice que dL = Ka Ma-1 dM. Con estas correspondencias directas L ↔ M y dL ↔ dM, podemos escribir: FM(M) dM = FL(L) dL  FM(M) = aK Ma-1FL(KMa) y FL(L) = (1/K1/aa) L1/a - 1FM[(L/K)1/a]

30. ●●● Evolución de la función de masa inicial como consecuencia del nacimiento y la evolución estelar • Ahora consideramos dN(M,t) = FM(M,t) dM. El número de estrellas en el rango [M, M+dM] cambiará como consecuencia de varios factores: • razón de nacimiento estelar = B(M,t) dM dt • evolución estelar perdida de masa • A menudo (b) se considera despreciable o como una corrección a B, lo que permite trabajar con una B efectiva. La función de masa y B están relacionadas mediante dFM/dt = B(M,t), con FM(t=0) = F0(M). Integrando: FM(M,t) = F0(M) + B(M,t) dt . Si t es el tiempo actual, las observaciones pueden conducirnos a FM(M,t), mientras que la teoria puede informarnos sobre F0(M) y B(M,t) . De este modo, la ecuación anterior representa un test sobre la teoria de formación y evolución estelar.

31. EFECTOS DE SELECCION La principales complicaciones en estadísticas observacionales son los efectos de selección. Por ejemplo, las estrellas de baja luminosidad intrinseca L, deben estar relativamente próximas para poder ser observadas. La idea central está en la relación l = L / 4p r2. Si trabajamos con un equipo instrumental cuyo límite de sensibilidad es l0 (es decir, solo son detectables objetos con l l0), entonces, a una distancia r, solo podemos detectar estrellas con L  L0 = 4 p r2l0. A esa distancia r, una estadistica de luminosidades L, solo será posible para L  L0. Aunque nosotros observemos la ausencia de estrellas con luminosidad menor que el umbral L0, se trata de un resultado sesgado que no representa la situación real y que no debe ser tenido en cuenta F(MV) y Y(MV) Usualmente se obtiene la distribución en magnitud absoluta visual (MV), mediante un contaje de estrellas corregido por efectos de selección. Por ejemplo, F(MV) representa la distribución de estrellas de la SP en el entorno solar. La integral de F(MV) sobre MV, nos da el número actual de estrellas de la SP por pc3. Cúmulos globulares contienen distribuciones estelares similares a la actual en las proximidades del Sol. ¿Y(MV) ?

32. Los cúmulos abiertos contienen estrellas jóvenes, recién formadas, y su función de “luminosidad” Y(MV) se asemeja a la función de “luminosidad” inicial. Las dos distribuciones F(MV) y Y(MV) son esencialmente idénticas para MV 4. Sin embargo, la distribución en cúmulos globulares y en la vecindad solar tiene un cambio abrupto en la pendiente para MV < 4.  ● El tiempo de vida de estrellas menos masivas que 1,2 Mʘ (más débiles que MV~ 4) excede la edad de la Galaxia. Estos tipos estelares no han podido evolucionar estructuralmente. Parece razonable que F(MV) ~Y(MV) para MV > 4. ●● Las diferencias para MV < 4 se pueden atribuir a efectos de formación estelar, evolución estelar y otros efectos. TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y problemas] 1.- Si el índice de la relación masa-luminosidad es a = 4, y si las estrellas tienen una probabilidad uniforme de formarse en el rango de masas M1 M  M2, ¿cúal es la forma de la función de luminosidad inicial Y(L) entre las dos límites de masa?. 2.- Un modelo sencillo para la función de “luminosidad” inicial es Y(MV) = 0,03 (Mʘ / M) 1,35 (dlog10M / dMV), en unidades de estrellas / pc3. Suponiendo una relación masa-luminosidad L = Lʘ(M / Mʘ)3,5, ¿cúanto vale la densidad de estrellas con magnitudes absolutas visuales en el rango – 6  MV  4 ?.

33. ESTRUCTURA ESTELAR ESTATICA ‘Astrophysics I: Stars’(1984) INTRODUCCION A LA ESTRUCTURA ESTELAR: LA ECUACION DE EQUILIBRIO HIDROSTATICO (Sesión 9) Para una estrella esfericamente simétrica, el movimiento de un elemento de fluido situado a una distancia r del centro, está gobernado por la ec. de movimiento hidrodinámica r (d2r / dt2) = - Grm(r) / r2 + P / r Equilibrio hidrostático: d2r / dt2 = 0 dP / dr = - Grm(r) / r2 ¿Equilibrio hidrostático?: Suponiendo que el término P / r es pequeño, entonces la escala de tiempo asociada con la ec. de mov. es el tiempo de caida libre: t ~tff ~ (GM / R3) -1/2. Si al contrario, el gradiente de presión domina a la fuerza gravitatoria, entonces: a ~ r / t2 ~ P / rr  (r / t)2 ~ P / r  v ~ vs. Para que exista eq. hidrostático se deben verificar las condiciones: t >> tff y v << vs.

34. Ecuación de equilibrio hidrostático La fuerza gravitatoria sobre la capa será G[4p r2 r(r) dr] m(r) / r2. Mientras que la fuerza de la presión soportando su caida, será 4 p r2 dP, donde dP es la diferencia de presión entre r y r + dr. La condición de eq. hidrostático: dP / dr = - Grm(r) / r2. Es evidente que se P decrece cuando r crece. Así, la presión es máxima en el centro de la estrella y mínima en su superficie. En otras palabras, Pc = P(0) > P(R) = 0. dm dr r m (r) Límite inferior sobre la presión central Pc Se puede mostrar que Pc > GM2 / 8p R4, donde M y R son la masa y el radio de la estrella m(r) = [0,r] 4p (r’) 2 r(r’) dr’ La ec. de eq. hidrostático puede reescribirse de otra forma. Para ello, tomamos la expresión original y la dividimos por dm / dr = 4p r2r. Entonces: dP / dm = - Gm / 4pr4(m). Ahora m es la variable independiente y r = r(m).

35. TEOREMA DEL VIRIAL ● La nueva ec. de eq. hidrostático, conduce a d(4pr3P)/dm – 4pr23P (dr/dm) = - Gm/r. Integrando este resultado sobre toda la estrella, es decir, entre m = 0 y M = m(R), se obtiene [4pr3P] 0M - [0,M] (3P/r)dm = - [0,M] (Gm/r)dm . Aquí, P, r y r son funciones de la variable independiente m; y el primer término es nulo, ya que r(0) = 0 y P(M) = 0. Finalmente: [0,M] (3P/r)dm - [0,M] (Gm/r)dm= 0. ●● Si consideramos un gas ideal clásico (no relativista), 3P/r es dos veces la energia térmica por unidad de masa. Por lo tanto, la primera integral representa el doble de la energia térmica total de la estrella U. La segunda integral es la energia de enlace gravitatorio (cohesión) de la estrella W. Es decir, 2U + W = 0. Como la energia total es E = U + W, también tenemos que E + U = 0. ●●● El TV tiene consecuencias importantes en etapas primitivas de formación de la estrella y en varias etapas de la evolución.  CONTRACCION QUE CONDUCE A NUEVO EQH: pasamos de una situación inicial 2Ui + Wi = 0 (Ei + Ui = 0) a una final 2Uf + Wf = 0 (Ef + Uf = 0). Como aumenta la cohesión gravitatoria, Ui – Uf = - (Wi – Wf)/2 < 0  Uf > Ui (la estrella se calienta). Además, Ei –Ef = - (Ui – Uf) > 0  Ef < Ei (radia energia al exterior). Cuando la presión en una estrella no puede soportar su masa, entonces la estrella se contrae, radia y se calienta, hasta alcanzar un nuevo EQH.

36. Capas exteriores (atmósfera estelar) En las capas externas de la estrella, la ec. EQH tiene una forma algo diferente, reflejando el hecho de que la atmósfera estelar es mucho mas delgada que el radio de la estrella. Podemos despreciar la curvatura y considerar una atmósfera como una estructura de planos paralelos. También podemos considerar una aceleración gravitatoria constanteg = GM/R2. La ec. EQH será dP/dh = - rg . La altura h se mide con respecto a cierta capa exterior arbitraria. En una atmósfera isoterma (T = cte), con ecuación de estado P = rkT/mmH, la ec. EQH puede integrarse facilmente: P = P0 exp(- mmHgh/kT) y r = r0 exp(- mmHgh/kT) , donde P0 y r0 son la presión y la densidad a h = 0, respectivamente. Al factor H = kT/mmHg se le conoce como escala de la atmósfera, y es la altura a la cual las cantidades físicas (presión y densidad) disminuyen en un factor e. La ec. EQH se puede escribir en forma vectorial, y puede aplicarse a estrellas rotando o a estrellas en sistemas binarios, es decir, sistemas sin simetria esférica. Se trata de la ecuación de Euler: grad P = r g , g = - grad f .

37. TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y problemas] 1.- Considerar el movimiento de una nube de partículas autogravitante. Demostrar que si el sistema está en estado estacionario, en el sentido de que el momento de inercia es constante, se verifica el Teorema del Virial: 2U + W = 0. 2.- Estimar la escala H de la atmósfera terrestre (T ~ 300 K) y de la atmósfera solar (T ~ 6000 K). MODELOS ESTELARES SENCILLOS (Sesión 10) La ec. EQH no puede integrarse y proporcionar información sobre el comportamiento espacial de la presión, la densidad y la temperatura en una estrella. Son necesarias hipótesis complementarias o nuevas ecuaciones (transporte radiativo, generación de energia, etc.). Así, podemos construir modelos estelares sencillos, mediante las hipótesis: • Modelo A: La densidad varia linealmente con la distancia radial. Es decir, r = rc(1 – r/R). Aunque el modelo es muy simple, conduce a buenos resultados (cualitativamente).  Modelo B: Ecuación de estado de tipo polítropo. Se verifica una relación entre densidad y presión del tipo P = K rg.

38. La ec. EQH se escribe como dP/dr = - [Gm(r)/r2] rc(1 – r/R), donde m(r) = 4pr3rc/3 – pr4 rc/R. Integrando la ec. EQH, obtenemos un comportamiento para la presión: P(r) = (5p/36) G rc2 R2 (1- 24r2/5R2 + 28r3/5R3 – 9r4/5R4) . Si la materia obedece la ecuación de gas ideal, T(r) = m mH P(r)/ k r(r) . MODELO ESTELAR LINEAL Usando la ec. EQH y la relación complementaria masa-densidad, se deduce una ecuación diferencial de segundo orden: (1/r2) d[(r2 K/r)g rg-1(dr/dr)]/dr = - 4pGr . Para resolver la ecuación diferencial, debemos imponer las condiciones de contorno r(0) = rc y r(R) = 0. Para simplificar las matemáticas: POLITROPOS  introducimos la funciónq, tal que r = l qn, g – 1 = 1/n. Entonces, (a2/r2) d[r2(dq/dr)]/dr = - qn , donde a = [(n+1)K l1/n -1 / 4pG]1 / 2 . Si l tiene dimensiones de densidad, a tiene dimensiones de longitud yq es adimensional.  introducimos la variable adimensional x, definida como r = a x. Con esta nueva variable y la ecuación anterior para la función adimensional q, se deduce la llamada ec. de Lane-Emden: (1/x2) d[x2(dq/dx)]/dx = - qn .  introducimos nuevas condiciones de contorno: (a) tomamosl = rc, y así, q = 1 parax = 0; (b) como dP/dr  dq/dx y la ec. EQH predice que dP/dr tiende a 0 en r = 0, dq/dx= 0 para x = 0.

39. La ecuación de Lane-Emden con las condiciones de contorno centrales (a) y (b), puede ser integrada para un valor arbitrario del índice n = 1/(g-1) . Sin embargo, solamente se obtienen soluciones analíticas para ciertos valores de n. Concretamente, para n = 0, 1, 5. Las soluciones son n = 0 (r = cte) q0 = 1 – x2 / 6 n = 1 (P  r 2) q1 = sen x / x n = 5 (P  r6 / 5) q5 = (1 + x2 / 3) – 1 / 2 . ESFERA GASEOSA ISOTERMA ● La ecuación de estado de una esfera gaseosa isoterma (T = cte) es del tipo P  r, lo cual es equivalente a un polítropo “no analítico” con g = 1 o n = . ●● Usando la ec. EQH (1/r2)d[(r2/r)(dP/dr)]/dr = - 4pGr y despejando la presión de la ec. de estado de un gás ideal, se obtiene una ecuación para la densidad (1/r2)d[(r2/r)(kT/mmH)(dr/dr)]/dr = - 4pGr . ●●● La integración numérica de una ec. diferencial “análoga” (obtenida tras un cambio de función y de variable) revela que la densidad no se anula nunca (se extiende hasta el infinito), y por lo tanto, una estrella finita no puede ser una esfera gaseosa isoterma.

40. TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y problemas] 1.- Para el modelo estelar lineal, representar graficamente la variación de la presión (P), la temperatura (T) y la masa (m) desde r = 0 hasta r = R. Encontrar la energia de enlace gravitatorio, en términos de G, M y R. 2.- Comprobar que q0 = 1 – x2 / 6, q1 = sen x / x y q5 = (1 + x2 / 3) – 1 / 2, para n = 0, 1 y 5, respectivemente, son soluciones de la ecuación de Lane-Emden verificando las condiciones de contorno. Encontrar el radio de la estrella para n = 0 y n = 1. ¿Qué ocurre para n = 5 (polítropo con g = 6/5)?. Para los tres polítropos, encontrar la masa de la estrella. RADIACION Y TRANSPORTE DE ENERGIA: MODELOS ESTELARES ‘Astrophysics I: Stars’(1984), ‘Stellar Interiors: Physical Principles, Structure and Evolution’ (1994) DESCRIPCION DEL CAMPO DE RADIACION (Sesión 11)

41. W La intensidad de un campo de radiación monocromática (fotones con frecuencia entre n y n+dn), se llama intensidad monocromática In. Dada una superficie radiante dA (con vector normal unitario n) y una dirección W, In(W) es la potencia por unidad de superficie perpendicular a W, por unidad de ángulo sólido en la dirección W y por unidad de frecuencia (erg seg-1 cm-2 ster-1 Hz-1). Podemos escribir In(W) = dEn / [dt dS dW dn] . Debemos tener en mente la relación: dS = dA (n . W). n (n , n + dn) dA dS Para obtener la densidad de energía de radiación, primero consideramos que dEn es la energía del haz que atraviesa dS en dt. Como los fotones viajan a la velocidad de la luz (c), los fotones barren un volumen dV = dS (c dt). Entonces, dEn / [dV dn] = (1/c) In(W) dW. Finalmente, integrando sobre ángulos sólidos, se deduce que un = (1/c) 4pIn(W) dW . c dt dS

42. Como un fotón con energía E tiene un momento p = E/c, la radiación monocromática transporta momento, y ejerce fuerza y presión. Si la intensidad es In(W), en la dirección W, se transporta un momento por unidad de tiempo, unidad de superficie, unidad de ángulo sólido y unidad de frecuencia dpn / [dt dS dW dn] = In(W)/c. Imaginemos que la superficie elemental dA está caracterizada por un vector normal unitario n W. Es trivial comprobar que existe una relación: dS = dA (n . W), que conduce a dpn / [dt dA dW dn] = [In(W)/c] (n . W). Si queremos obtener la presión ejercida sobre el área dA, debemos considerar la componente del flujo del momento según la dirección n (perpendicular a dA). Es decir, dPn / [dW dn] = [In(W)/c] (n . W)2. W n dA dS La presión de radiación perpendicular a dA, asociada con fotones de energía hn, se deduce integrando sobre todos los ángulos sólidos. Así, Pn =  (In/c) cos2q dW = (2p/c) [-1,+1] Inm2 dm = (4p/c) Kn , donde n . W = cosq = m y Kn = (1/2) [-1,+1] Inm2 dm . Suponemos implicitamente que In = In (q), y las unidades de Pn son dinas cm-2 Hz-1. Para un campo de radiación isótropo, In(W) no depende de W = (q,f), y Pn = (4p/c) Kn = (4p/c) (In/3) = (4p/3c) In . Además, la densidad de radiación monocromática será un = (4p/c) In , lo que conduce a Pn = un /3.

43. La energía transportada en la dirección W a través de dS vale dEn = In(W) dt dS dW dn. Como dS = dA (n . W), tenemos que dEn = In(W) dt dA (n . W) dW dn . Por lo tanto, el flujo de radiación a través de dA será Fn (erg seg-1 cm-2 Hz-1) = 4pIn(W) (n . W) dW . Si introducimos coordenadas polares esféricas tales que q se mide con relación a n, In(W) = In (q,f) y dW = senq dq df. La integral para el flujo se puede re-escribir como Fn = [0,p] dq [0,2p] dfIn(q,f) senq cosq . Usualmente, el flujo total se separa en dos partes: Fn+ en las direcciones del hemisferio norte y Fn- en las direcciones del hemisferio sur. W n dA dS Fn+ = [0,p/2] dq [0,2p] dfIn(q,f) senq cosq Fn- = - [p/2,p] dq [0,2p] dfIn(q,f) senq cosq Fn = Fn+ - Fn- Paraun campo de radiación isótropo, como la intensidad es independiente de la dirección, se verifica que Fn+ = Fn- = pIn. Como era de esperar, el flujo neto será cero: Fn = 0. n WN1 WN2 WS2 WS1

44. En atmósferas estelares, podemos suponer que el campo de radiación tiene simetría axial alrededor del radio estelar, tal que In es independiente de f, y por lo tanto, In(W) = In (q) . En este caso, Fn = 2p [-1,+1]In(m) m dm , Fn+ = 2p [0,+1]In(m) m dm , Fn- = - 2p [-1,0]In(m) m dm . q W f SUP. ESTELAR DIR. RADIAL TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y problemas] 1.- Probar que la intensidad en un haz de radiación se conserva; es decir, no se atenúa con la distancia (en ausencia de absorción). 2.- Cuando un campo de radiación es anisótropo en q, podemos expresarlo como una combinación de términos multipolares: monopolo + dipolo + cuadrupolo + … Si consideramos un campo anisótropo In(q) = I0 + ID cosq, deducir la intensidad promedio (promedio en direcciones), la densidad de energia, la presión y el flujo en función de las amplitudes monopolar (I0) y dipolar (ID). Comenta la relación presión-densidad de energia.

45. OPACIDAD Y EMISIVIDAD: ECUACION DE TRANSPORTE RADIATIVO (Sesión 12) ● Los fotones que atraviesan la materia pueden ser dispersados o ser absorbidos por átomos, iones o moléculas. También pueden ser emitidos por partículas cargadas en movimiento o por átomos (moléculas) excitados (as). Estos procesos, tomados colectivamente, conducen a modificaciones del campo de radiación In pasando a través de la materia. Cuando esto ocurre, se dice que la materia y la radiación están acopladas. ●● Vamos a considerar los efectos de dispersión, absorción y emisión sobre un haz de fotones descrito por In(W) y atravesando la materia. La absorción elimina fotones del haz y calienta el gas. La dispersión de un fotón que se mueve inicialmente en la dirección Whacia una nueva dirección W’, resta energia de In(W), pero la añade a otro haz In’(W’). Justo al revés, algunos fotones del resto de haces In’(W’) pueden ser dispersados hacia In(W). La emisión conduce a la adición de fotones a In(W). Los detalles de la absorción y la dispersión (a un nivel macroscópico) se incluyen en la opacidad del material, mientras que los detalles sobre la emisión están incluidos en la emisividad del material. ds OPACIDAD In Se llama opacidad del material (o coeficiente de extinción total) a la probabilidad por unidad de longitud de que un fotón sea dispersado o absorbido. Se suele llamar kn (cm-1), y es el inverso del recorrido libre medio de un fotón: ln = 1/kn. También se define una opacidad específica kn (cm2 gr-1), de forma que kn = kn r .

46. La intensidad que pierde un haz por absorción y dispersión (colisiones), cuando atraviesa una distancia ds en cierto gas, viene dada por el producto de In y la probabilidad de que un fotón sea dispersado o absorbido. Es decir, dIn(W) = - In(W) kn ds = - In(W) dtn. La cantidad adimensional dtn = kn ds = ds / ln , es el espesor óptico del material para la frecuencia de radiación n. Vemos que también representa la razón entre la distancia atravesada y el recorrido libre medio de la radiación. Cuando tn = [0,s]kn ds = [0,s]ds / ln≈ 1 , los fotones del haz profundizan lo suficiente como para sufrir dispersión o absorción. Cuando tn >> 1, el gas es opticamente espeso, ya que la radiación sufrirá muchos procesos de absorción o dispersión cuando atraviesa la distancia s. Cuando tn << 1, el recorrido libre medio verifica ln >> s, y no se producirán absorciones ni colisiones. Se dice que la región del gas es opticamente delgada. Cuando solo se produce absorción y dispersión, se puede integrar la ecuación diferencial para la intensidad: In(s) = In(0) exp[- tn(s)] , tn(s) = [0,s] kn(s’) ds’ . EMISIVIDAD  La materia puede ser fuente de radiación. Por ejemplo, un átomo puede estar excitado por la absorción previa de un fotón. Podemos suponer una emisividad jn’(q,f), representando la energia liberada por unidad de volumen, por unidad de tiempo, por unidad de ángulo sólido y por unidad de frecuencia, en la dirección (q,f) . Tiene unidades de erg cm-3 seg-1 ster-1 Hz-1. Si un haz de intensidad inicial In atraviesa un material con espesor ds, entonces la ganancia en intensidad debida a emisión viene dada por dIn(W) = jn’(W) ds.

47. Ecuación de Transporte Radiativo (ETR) El cambio en In cuando el haz atraviesa un material de espesor ds es dIn(W) / ds = - kn In(W) + jn(W) , donde jn contiene la emisividad (jn’) y la contribución debida a dispersión de fotones desde (n’,W’) hacia (n,W). Esta es la ecuación de transporte radiativo. Si la dirección radial está caracterizada por un vector unitario n, entonces ds = dr/cosq y dIn / ds = cosq (dIn/ dr). Usando m= cosq y reemplazando dr por el espesor óptico radial (según n): dtn = kn dr, se obtiene la nueva expresión m (dIn / dtn) = - In + Sn , siendo Sn = jn / kn la función fuente. n q W dr ds ● Multiplicando por dW = senq dq df e integrando (simetría axial), tenemos (1/2p) (dFn/dtn) = - 2Jn + [-1,+1] Sn dm [Jn = (1/4p) 4pIn(W) dW]. Si la función fuente es isótropa (la emisividad no tiene direcciones privilegiadas), entonces se deduce una ecuación relevante en modelos sencillos de atmósferas estelares: (1/4p) (dFn/dtn) = - Jn + Sn . ●● Multiplicando la ETR por m e integrando en direcciones (ángulos sólidos), nos queda 2(dKn / dtn) = - Fn / 2p + [-1,+1] Snm dm . Si la fuente es isótropa, dKn / dtn = - Fn / 4p.

48. T TRABAJO PERSONAL [Repaso en ‘Astrophysics I: Stars’ y problemas] 1.- La colisión con electrones es la causa principal de opacidad en el corazón solar, con una sección eficaz de interacción sn~ 0,6  10-24 cm2. Suponer una densidad r = 100 gr/cm3 en el corazón solar, y estimar la distancia atravesada por un fotón entre colisiones sucesivas. 2.- Deducir la relación entre el flujo de radiación monocromática y la presión monocromática: Fn = - c (dPn / dtn). En interiores estelares, es interesante trabajar con el flujo total y la presión total de radiación (integrados sobre frecuencias). Demostrar que definiendo una opacidad media a través de la relación (1/<k>) [0,] (dPn / dr) dn = [0,] (1/kn) (dPn / dr) dn , se deduce la expresión para la ETR en interiores estelares: F = - (c/<k>) (dPR/dr) . RADIACION DE CUERPO NEGRO Y EQUILIBRIO RADIATIVO (Sesión 13) La radiación en una cavidad cerrada con paredes a temperatura T, se denomina radiación de cuerpo negro. La intensidad de la radiación es independiente de la dirección y viene dada por la función de Planck: In = Bn(T) = (2hn3 / c2){1 / [exp(hn/kT) – 1]}.

49. Además de la intensidad monocromática, otras cantidades de interés son Jn = Bn(T) , Kn = (1 / 3) Bn(T) , Pn = (4p / 3c) Bn(T) , un = (4p / c) Bn(T) , Fn+= Fn- = p Bn(T) , Fn = 0 . Integrando la función de Planck sobre todas las frecuencias, encontramos B(T) = [0,] Bn(T) dn = (2k4p4 / 15h3c2) T4 = (s / p) T4 = (c / 4p) u , donde s es la constante de Stefan-Boltzmann y u es la densidad de energía. Si usamos una relación u = a T4, entonces aparece la nueva constante a = 4s / c. INTERIOR ESTELAR ● Temperaturas muy altas, con alta densidad de radiación. Sin embargo, el flujo neto hacia el exterior es pequeño en comparación al nivel de radiación. Así, está justificado suponer que el campo de radiación es cuasi-isótropo y con un espectro próximo al espectro de cuerpo negro. Podemos considerar una presión monocromática Pn = (4p / 3c) Bn(T), que podemos “trasladar” a la relación flujo monocromático-gradiente de presión monocromática que vimos en el problema 2 de la sesión anterior [Fn = - c (dPn / dtn)]. Integrando sobre frecuencias, F = - (4p / 3) (dT /dr) [0,] (1 / kn) (dBn / dT) dn .

50. ●● Podemos definir una opacidad promedio independiente de la frecuencia, 1 / <k> = [0,] (1 / kn) (dBn / dT) dn / [0,] (dBn / dT) dn , y usar la relación dB / dT = 4sT3 / p , para obtener F = - (4ac / 3<k>) T3 (dT / dr). Es evidente que existe una relación directa entre el flujo de radiación y el gradiente de la densidad de energía: F = - D (du / dr), siendo D = c / 3<k> el coeficiente de difusión. ●●● Finalmente, definimos L(r) como la energia (radiación) por unidad de tiempo cruzando la superficie esférica de radio r. Claramente, L = L(R) es la luminosidad total de la estrella. Por definición, L(r) = 4pr2 F, tal que L(r) = - (16pac / 3<k>) r2 T3 (dT / dr) . Esta es la ecuación de transporte radiativo (TR) adecuada en interiores estelares. ¿Cuáles son los efectos dinámicos de la radiación? Igual que la presión del gas produce una fuerza y una aceleración, la presión de la radiación, en principio, también producirá efectos dinámicos. Mediante la ETR, encontramos que – dPR / dr = <k>L / 4pr2c (-dP / dr = Grm(r) / r2 !!!). Teniendo en cuenta la fuerza de la radiación por unidad de volumen, se deduce una aceleración aR = <k>L(r) / 4pr2c, donde <k>/ r = <k>es la opacidad promedio específica. Usualmente, esta aceleración es pequeña, pero en una región estelar extremadamente opaca ( <k> grande) o con luminosidad muy grande, aR puede ser importante. De hecho, la existencia de aR conduce a un limite superior sobre la luminosidad de una estrella en equilibrio hidrostático.