1 / 59

7. RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU (Kelahiran&Kematian Murni)

7. RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU (Kelahiran&Kematian Murni). Definisi. Misal. proses stokastik dengan waktu. kontinu dan ruang keadaan diskrit. Jika untuk. maka proses disebut rantai Markov waktu kontinu. 7.1 Proses Kelahiran Murni. Definisi 1 (Shunji Osaki).

adonica
Download Presentation

7. RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU (Kelahiran&Kematian Murni)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 7. RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU(Kelahiran&Kematian Murni) Prostok-7-firda

  2. Definisi Misal proses stokastik dengan waktu kontinu dan ruang keadaan diskrit Jika untuk maka proses disebut rantai Markov waktu kontinu. Prostok-7-firda

  3. 7.1 Proses Kelahiran Murni Definisi 1 (Shunji Osaki) Jika proses menghitung adalah rantai Markov dengan peluang transisi stasioner dan memenuhi: maka proses dinamakan proses kelahiran murni dengan parameter Prostok-7-firda

  4. 4 3 2 1 t Realisasi proses kelahiran murni sebagai proses menghitung. Prostok-7-firda

  5. Tulis peluang transisi stasioner: merupakan peluang transisi dari statei ke state j. Dengan kondisi awal (menyatakan peluang bahwa ada k kejadian yang terjadi pada interval (0,t]. Prostok-7-firda

  6. Untuk k = 0, kenaikan bebas kenaikan stasioner Sifat (2),(3) Prostok-7-firda

  7. Dari bentuk diperoleh : Dengan syarat awal Prostok-7-firda

  8. Untuk Prostok-7-firda

  9. atau Dari sini diperoleh : Atau ditulis, PDB linear (*) Prostok-7-firda

  10. Jika maka persamaan (*) memberikan hasil (1) (2) (3) dimana Prostok-7-firda

  11. Prostok-7-firda

  12. Teorema 1 Untuk proses kelahiran murni dengan parameter Waktu antar kedatangan (waktu antar kelahiran) saling bebas dan berdistribusi eksponensial dengan parameter Prostok-7-firda

  13. Teorema 2 Untuk proses kelahiran murni dengan parameter jika dan hanya jika Prostok-7-firda

  14. 7.2 Contoh Proses Kelahiran Murni Proses Poisson yang mempunyailaju kelahirankonstan, Dalam hal ini, dimana, Prostok-7-firda

  15. Contoh Pada kantor catatan sipil, pengeluaran akte kelahiran mengikuti proses Poisson dengan laju 5,5 akte/jam. Tentukan: a. Peluang tidak ada akte yang dikeluarkan dalam 1 jam. b. Jika dalam periode 3 jam dikeluarkan 35 akte, tentukan peluang pengeluaran akte pada 1 jam terakhir jika telah dikeluarkan 25 akte pada 2 jam pertama. c. Tentukan peluang bahwa selang waktu antara pengeluaran akte ke 4 dan akte ke 5 tidak lebih dari ½ jam. Prostok-7-firda

  16. Misal Jumlah akte yang dikeluarkan dalam waktu t. a. Peluang tidak akte yang dikeluarkan dalam 1 jam. b. Prostok-7-firda

  17. c. Jika waktu antar pengeluaran akte = X(t) Prostok-7-firda

  18. Contoh Sebuah proses kelahiran murni dengan N(0)=0 yang mempunyai parameter Tentukan Jawab: Untuk k=0,1, gunakan persamaan (1),(2) slide 12. Prostok-7-firda

  19. Prostok-7-firda

  20. Untuk k=2, gunakan persamaan (3) slide 12, dimana Prostok-7-firda

  21. Sehingga, Prostok-7-firda

  22. 2. Proses Yule Jika menyatakan jumlah populasi pada saat t, maka adalah proses kelahiran murni dengan laju Prostok-7-firda

  23. Soal latihan • SebuahproseskelahiranmurnidenganN(0)=0 yang mempunyai parameter Tentukan Prostok-7-firda

  24. 2. Sebuah proses Yule dengan imigrasi yang mempunyai parameter kelahiran untuk k=0, 1, 2,… dimana merupakan kelajuan imigrasi dalam populasi dan β sebagai kelajuan kelahiran individu. Asumsikan bahwa N(0)=0, Tentukan Prostok-7-firda

  25. Contoh Proses Kelahiran Murni Kelahiran bayi mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata satu kelahiran 12 menit. Tentukan : • Rata-rata kelahiran per tahun. • Peluang tidak adanya kelahiran dalam satu hari. • Peluang pengeluaran 50 akte kelahiran diakhir periode yang terdiri dari 3 jam dengan diketahui bahwa 40 akte dikeluarkan dalam 2 jam pertama. • Asumsikan pegawai memasukkan data akte kelahiran ke komputer setelah terkumpul 5 akte kelahiran. Berapa peluang pegawai akan memasukkan sekumpulan data baru setiap jam. Prostok-7-firda

  26. Jawab : Misal menyatakan banyaknya kelahiran. menyatakan waktu antar kelahiran. a) rata-rata kelahiran per tahun  kelahiran per hari. Jadi rata-rata kelahiran bayi 43.800 bayi/tahun. Prostok-7-firda

  27. b) Peluang tidak ada kelahiran perhari Jadi dalam satu hari mustahil tidak ada kelahiran. Prostok-7-firda

  28. c) Peluang pengeluaran 50 akte di akhir periode (3jam), dengan diketahui ada 40 akte di 2 jam pertama. Jadi pengeluaran 10 akte pada 1 jam terakhir kira kira 1,8%. Prostok-7-firda

  29. d) Jika data akte di entri setelah terkumpul 5 data akte, berapa peluang pegawai akan mengentri sekumpulan data baru setiap jam?  Minimal 5 data akte  k=0,1,2,3,4,5 Jadi kemungkinan pegawai akan mengentri setiap jam setelah terkumpul paling sedikit 5 data akte adalah 60%. Prostok-7-firda

  30. 7.3 Proses Kematian Murni Definisi 1 (Shunji Osaki) Jika proses stokastik adalah rantai Markov dengan peluang transisi stasioner, ruang keadaan , memenuhi: maka proses dinamakan proses kematian murni dengan parameter Prostok-7-firda

  31. 4 3 2 1 t Realisasi proses kematian murni Prostok-7-firda

  32. Tulis peluang transisi dengan kondisi awal (menyatakan peluang bahwa ada k unit yang tersisa pada interval (0,t]. Seperti proses kelahiran murni, dengan persamaan Kolmogorov diperoleh: Prostok-7-firda

  33. Khusus jika dan Prostok-7-firda

  34. Jika parameter kematian berbeda untuk setiap k, artinya Untuk dimana Prostok-7-firda

  35. 7.4 Contoh Kematian Murni 1. Sebuah toko bunga memiliki persediaan 18 lusin bunga mawar setiap awal pekan, rata-rata toko tersebut menjual 3 lusin mawar per hari, dengan permintaan yang mengikuti distribusi Poisson. Ketika persediaan mencapai 5 lusin, pesanan baru akan ditempatkan di awal pekan selanjutnya. Semua mawar yang tersisa di akhir pekan akan dibuang. Prostok-7-firda

  36. Tentukan: • Peluang mawar yang tersisa paling banyak 5 lusin. • Peluang persediaan habis dalam waktu 3 hari • Rata-rata (lusin) mawar yang tersisa di akhir hari kedua • Peluang tidak ada mawar yang terjual selama hari pertama Prostok-7-firda

  37. Jawab: banyak mawar di awal pekan = 18 lusin laju permintaan = 3 per hari • Peluang n unit yang tersisa selama periode t: Prostok-7-firda

  38. a) Peluang mawar tersisa paling banyak 5 lusin Prostok-7-firda

  39. Prostok-7-firda

  40. b) Peluangpersediaanhabisdalamwaktu 3 hari Jadi, peluang persediaan habis dalam 3 hari adalah 0,00608

  41. c) Rata-rata (lusin) mawar yang tersisadiakhirharikedua Tabel berikut meringkas perhitungan dengan diketahui µt=6 Jadi, rata-rata kurang dari 12 lusin mawar yang tersisa di akhir hari kedua Prostok-7-firda

  42. d) Peluangtidakadamawar yang terjualpadaharipertama Jadi, peluang tidak ada mawar yang terjual pada hari pertama adalah 0,049 (4,9%). Prostok-7-firda

  43. Contoh Proses Kematian Murni 2. SuatuproseskematianmurnidimulaidariX(0)=3, dengan parameter kematian Tentukan Prostok-7-firda

  44. Jawab: • untuk n=0, dimana: Prostok-7-firda

  45. Jadi Prostok-7-firda

  46. untuk n=1, dimana: Prostok-7-firda

  47. Jadi Prostok-7-firda

  48. untuk n=2, dimana: Prostok-7-firda

  49. Jadi • untuk n=3, Prostok-7-firda

  50. PROSES KELAHIRAN DAN KEMATIAN Definisi (Shunji Osaki) Jika proses stokastik adalah rantai Markov dengan peluang transisi stasioner , dan memenuhi: maka proses dinamakan proses kelahiran dan kematian dengan parameter

More Related