1 / 94

9. BILANGAN BULAT

9. BILANGAN BULAT. 9.1 Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan cacah ( whole number ) positif , negatif , atau nol. Sebagai contoh , 3, – 6, 7, 85, 0, atau –56. Sedangkan bilangan-bilangan termasuk bilangan bulat .

adrian-jensen
Download Presentation

9. BILANGAN BULAT

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 9. BILANGAN BULAT

  2. 9.1 BilanganBulat Bilanganbulatadalahbilangancacah (whole number) positif, negatif, atau nol. Sebagaicontoh, 3, – 6, 7, 85, 0, atau –56. Sedangkanbilangan-bilangan termasukbilanganbulat. Himpunanbilanganbulat, dilambangkandengan Z, didefinisikansebagaiberikut, Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

  3. 9.2 SifatPembagianPadaBilanganBulat Definisi 9.1 Misal a dan b adalahduabuahbilanganbulat dan a  0. Dikatakanbahwa a habismembagi b (a divides b) jikaterdapatbilanganbulat c sedemikianrupa sehingga b = ac Dalambentuknotasi: a|bjika b = ac, cZdan a0 a habismembagi b, berarti b adalahkelipatan a

  4. Jikahasilpembagianbilanganbulatadalahjugabilanganbulat, makaselaluterdapat: Hasilbagidansisapembagian Teorema 9.1 Misal m dan n adalahduabilanganbulatdengansyarat n > 0. Jika m dibagidengan n makaterdapatduabuahbilanganbulatunik q (quotient) dan r (remainder), sedemikiansehingga, m = nq + r dengansyarat0  r < n Teorema 9.1 diatasdisebutteorema Euclidean. Bilangan n disebutpembagi (divisor), m bilangan yang dibagi (divident), q disebuthasilbagi (quotient), dan r disebutsisa (remainder).

  5. Opertator yang digunakanuntukmengekspresikan hasilbagidansisaadalah mod dan div sepertiberikut: m div n = q m mod n = r Contoh 9.1 1997 dibagi 87 memberikanhasilbagi = 22 dengansisa 83 dandapatditulismenjadi 1997 = (87)(22) + 83 atau 1997 div 87 = 22 1997 mod 87 = 83

  6. Contoh 9.2 dibagi 4, dapatditulismenjadi = + 1 atau –47 div 4 = –12 –47 mod 4 = 1 (4)(–12) –47 Tidakboleh negatif Sebesarmungkin, tapitidakmelebihi

  7. 9.3 PembagianBersamaTerbesar (PBB) Greatest Common Divisor (GCD) Pembagibersamaterbesarseringjugadisebutdenganistilah “Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)“ adalahfaktor yang membagihabisduabuahbilanganataulebih.

  8. Contoh 9.3 60 memilikifaktorpembagi : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. 48 memilikifaktorpembagi : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48. Faktorpembagi yang samaantara 60 dan 48 adalah: 1, 2, 3, 4, 6, 12. 12 merupakanfaktorpembagi yang terbesarantara bilangan 60 dan 48. Jadi PBB (60, 48) = 12

  9. Definisi 9.2 Misaladanbadalahduabuahbilanganbulat 0. PBB dariadanbadalahbilanganbulatterbesardsedemikiansehinggad | adand | b, maka PBB (a, b) = d. Sifat-sifat PBB Misala, b, dancadalahbilanganbulat. Jikacadalah PBB dariadanbmakac | (a + b) Jikacadalah PBB dariadanbmakac | (a – b) Jika c | a, makac | ab

  10. Teorema 9.2 Jika m dan n adalahduabilanganbulatdengansyarat n > 0 sedemikiansehingga, m = nq + r dengansyarat 0  r < n, maka PBB (m, n) = PBB (n, r) Contoh 9.4 Jika 80 dibagidengan 12 memberikanhasil 6 dan sisa 8, atau 80 = 12(6) + 8. Menurutteorema 9.2 PBB(80, 12) = PBB (12,8) = 4 Jika 12 dibagi 8 memberikanhasil 1 dansisa 4, atau 12 = (8)(1) + 4 Menurutteorema 9.2 PBB(12, 8) = PBB (8, 4) = 4

  11. 9.4 Algoritma Euclidean Algoritma Euclidean adalahcara lain untukmenentukan PBB duabilangan. AlgoritmaEuclidean untuk menentukan PBB(m, n) adalah sebagaiberikut: Jika m < n, maka pertukarkan nilai m dan n Jika n = 0, makamadalah PBB(m, n); stop. Jika n  0, lanjutkankelangkah3. 3. Bagimdenganndanmisalkanradalahsisanya. 4. Gantinilaimdenganndannilaindenganr Contoh 9.5 Tentukan PBB (124, 48) denganmenggunakanalgoritma Euclidean!

  12. Penyelesaian: m = 124, n = 48 m = qn + r 124 = (48) (2) + 28 n = 0 m = 4 48 = (28) (1) + 20 + 8 28 = (20) (1) Jadi PBB (124,48) = 4 20 = (8) (2) + 4 + 0 (2) 8 = (4) 4 = (0)

  13. Latihan Tentukan PBB(111, 201)

  14. Teorema 9.3 Misal a dan b adalahduabuahbilanganbulatpositif, makaterdapatbilanganbulat m dan n sedemikiansehingga PBB (a, b) = ma + nb Teorema 9.3 menyatakanbahwa PBB duabuahbilanganbulat a dan b dapatdinyatakansebagaikombinasilanjat (linear combination) dengan m dan n sebagaikoeffisien-koeffisiennya. Misal PBB (80, 12) = 4, dan 4 = (–1) . 80 + 7 . 12 n = 7 m = –1

  15. Metodeuntukmenemukankombinasilanjardari duabuahbilangansamadengan PBB-nyaadalah denganmelakukanpekerjaanpembagiansecara mundurpadaalgoritma Euclidean. Contoh 9.6 Nyatakan PBB (312, 70) = 2 sebagaikombinasilanjar dari 312 dan 70 Penyelesian

  16. Terapkanalgoritma Euclidean untukmemperoleh PBB (312, 70) = 2 312 = 4.70 + 32 (i) 70 = 2.32 + 6 (ii) 32 = 5.6 + 2 (iii) 6 = 3. 2 + 0 (iv) Susunpembagian (iii) menjadi 2 = 32 – 5 . 6 (v) Susunpembagian (ii) menjadi 6 = 70 – 2.32 (vi) Sulihkan (vi) ke (v) menjadi 2 = 32 – 5 (70 – 2. 32) ` = 32 – 5.70 + 10.32 = 11. 32 – 5 . 70 (vii)

  17. Susunpembagian (i) menjadi 32 = 312 – 4 . 70 (viii) Sulihkan (viii) ke (vii) menjadi 2 = 11. 32 – 5 . 70 = 11 ( 312 – 4.70) – 5. 70 = 11.312 – 49 . 70 Jadi PBB (312, 70) = 2 = 11 . 312 – 49 . 70

  18. Relatif Prima Definisi 9.3 Duabuahbilanganbulat a dan b dikatakanrelatif prima (relatively prime) jika PBB (a, b) = 1 Berdasarkandefinisidiatas, jika a dan b relatif prima, makadapatditemukanbilanganbulat m dan n sedemikiansehingga ma + nb = 1 Contoh 9.7 Buktikanbahwa 20 dan 3 adalahrelatif prima. Bukti:

  19. 20 = 6.3 + 2 (i) 3 = 1.2 +1 (ii) 2 = 1.1 + 1 (iii) 1 = 1.1 + 0 (iv) Dari (iii) 1 = 2 – 1.1 (v) Dari (ii) 1 = 3 – 1.2 (vi) Sulihkan (vi) ke (v) 1 = 2 – 1 (3 – 1.2 ) = 2 – 1.3 + 1.2 = 2.2 – 1.3 (vii) Susunpersamaan (i) menjadi 2 = 20 – 6.3 (viii) Sulihkan (viii) ke (vii) 1 = 2(20 – 6.3) – 1 . 3 = 2 . 20 – 13 . 3 = 1 (terbukti) dengannilai m = 2 , n = –13

  20. 9.5 Aritmatika Modulo Definisi 9.4 Misal a adalahbilanganbulatdan m adalahbilanganbulat > 0. Operasia mod m (dibaca “a modulo m”) memberikansisajika a dibagidengan m. Dengankata lain a mod m sedemikiansehingga a = mq + r dengan 0  r < m. Hasilaritmatika modulo m terletakdalamhimpunan {0, 1, 2, … , m – 1}

  21. Contoh 9. 8 Tentukanhasiloperasiaritmatika modulo berikut! 29 mod 6 32 mod 4 7 mod 9 –53 mod 11 –39 mod 13 Penyelesaian 29 mod 6 = 4, sebab 29 dibagi 6 memberikanhasil berupabilanganbulat (q) = 6 dansisa (r) = 4 b) 32 mod 4 = 0, sebab 32 dibagi 4 memberikanhasil berupabilanganbulat (q) = 8 dansisa (r) = 0 c) 7 mod 9 = 7, sebab 7 dibagisembilanmemberikan hasilberupabilanganbulat (q) = 0 dansisa (r) = 7

  22. d) –53 mod 11 e) –39 mod 13 Petunjuk. Jikaanegatifdan (|a| mod m)  0, makadapat menggunakanrumusa mod m = m – (|a| mod m) –53 mod 11 = 11 – (|–53| mod 11) = 11 – (53 mod 11) = 11 – 9 = 2 Karena (|a| mod m) = 0, makatidakbisamenggunakanrumusuntuk d). –39 mod 13 = 0, sebab –39 dibagi 13 memberikanhasilberupabilanganbulat (q) = –3 dansisa (r) = 0

  23. Kongruen Jikaduabuahbilanganbulatadanbmempunyaisisa yang samaapabiladibagidenganbilanganpositf m maka a dan b dikatakankongruendandilambangkandengana b (mod m). Lambang “” dibacakongruen. Jikaadanbtidakkongruendalam modulo m, maka ditulisab (mod m). Definisi 9.5 Misaladanbadalahduabilanganbulatdanmadalahbilangan > 0, makadikatakana b (mod m) jikamhabismembagia – b 

  24. Contoh 9. 9 Buktikanbahwa: 29  4 (mod 5) –6  14 (mod 4) Bukti 29 – 4 = 25 5 habismembagi 25. Jadi 29  4 (mod 5) – 6 – 14 = –20 4 habismembagi –20. Jadi–6  14 (mod 4)

  25. Dari definisi 9.5 Jikaa b (mod m), makadapatditulisdalambentuk a = b + km kadalahsembarangbilanganbulat. Dari definisi 9.4 a mod m = rdapatditulisdalambentuk a r (mod m) Contoh 9.10 31 mod 4 = 3 dapatditulismenjadi 31  3 (mod 4) –32 mod 7 = 3 dapatditulismenjadi –32  3 (mod 4)

  26. Teorema 9.4 Misalmadalahbilanganpositif, Jikaa b (mod m) dancadalahsembarangbilanganbulat, maka: (i) (a + c )  (b + c) (mod m) (ii) ca  bc (mod m) (iii) ap bp (mod m) untuksuatubilanganbulattaknegatifp. 2. Jikaa b (mod m) danc  d (mod m), maka: (i) (a + c )  (b + d) (mod m) (ii) ac  bd (mod m)

  27. Contoh 9.11 • Misal 17  2 (mod 3) dan 10  4 (mod 3) , makamenurutteorema 9.4 • 17 + 5  2 + 5 (mod 3)  22  7 (mod 3) • 17 . 5  5 . 2 (mod 3)  85  10 (mod 3) • 17 + 10  2 + 4 (mod 3)  27  6 (mod 3) • 17 . 10  2 . 4 (mod 3)  170  8 (mod 3)

  28. Inversi Modulo Jikaadanmrelatif prima danb > 1, makadapatditentukaninversidaria modulo m. Inversidariamodulo m adalahbilanganbulat sedemikiansehingga  1 (mod m) aa a Definisi 9.5 Misaladanbadalahduabilanganbulatdanmadalahbilangan > 0, makadikatakana b (mod m) jikamhabismembagia – b

  29. Dari definisi 9.3 dinyatakanbahwa: Jikaadanmduabilangan yang relatif prima, maka PBB (a, m) = 1, danterdapatbilanganbulatpdanqsedemikiansehinggapa + qm = 1 Didapatpa + qm 1 (mod m) Karenaqm 0 (mod m), makapa 1 (mod m) p adalahinversidaria modulo m.

  30. Contoh 9. 12 Tentukaninversidari: 4 (mod 9) ,17(mod 7) , dan 18(mod 10) Penyelesaian Karena PBB (4, 9) = 1, makainversi4 (mod 9) ada. Dari alogoritma Euclidean diperolehbahwa 9 = 2 . 4 + 1 Susunpersamaandiatasmenjadi –2 . 4 + 1 . 9 = 1 Dari persamaanterakhir, didapat –2 adalahinversidari 4 modulo 9. Hasiltersebutbisadiperiksamelalui: –2 . 4  1 (mod 9).

  31. Perludiketahuibahwasetiapbilangan yang kongruendengan –2 modulo 9 jugaadalahinversidari 4, misalnya 7, –11, 16, danseterusnya, karena 7  –2 (mod 9) –11  –2 (mod 9) 16  –2 (mod 9)

  32. b) Karena PBB (17, 7) = 1, makainversidari 17 (mod 7) ada. Dari algoritma Euclidean diperolehrangkaianpembagianberikut: 17 = 2 . 7 + 3 (i) 7 = 2 . 3 + 1 (ii) 3 = 3 . 1 + 0 (iii) Susun (ii) menjadi 1 = 7 – 2 . 3 (iv) Susun (i) menjadi 3 = 17 – 2 . 7 (v) Sulihkan (v) ke (iv) 1 = 7 – 2 (17 – 2. 7 ) = 5 . 7 – 2. 17 atau –2 . 17 + 5 . 7 = 1 Inversidari 17 (mod 7)

  33. Metode lain untukmenentukaninversiadalahdengan carasebagaiberikut. Dapatditulisdalambentuk Contoh 9. 13 Tentukaninversidari4 (mod 9) Penyelesaian

  34. Penyelesaian Latihan Tentukan inversi dari 17(mod 7), dan 18(mod 10)

  35. KekongruenanLanjar ( Linear Congruences) Kekongruenanlanjaradalahkongruen yang berbentuk, ax  b (mod m) denganmadalahbilanganpositif, adanbsembarangbilanganbulat, danxadalahpeubah. Nilaixdicaridenganmenggunakanhubungan: ax  b(mod m)

  36. Contoh 9.13 Tentukanpenyelesaiandari 3x  7 (mod 9) Penyelesaian: Jadinilai x yang memenuhi 3x  4 (mod 7)adalah: …, –15, –8, –1, 6, 13, …

  37. Chinese Remainder Theorem Sun Tsu, matematikawanasal China mengajukan pertanyaansebagaiberikut: Sebuahbilanganbulatjikadibagi 3 menyisakan 2, jikadibagi 5 menyisakan 3, jikadibagi 7 menyisakan 5. Berapakahbilanganbulattersebut? Pernyataandiatasdapatditulisdalambentuksistem kongruenlanjar: x  2 ( mod 3) x  3 ( mod 5) x  2 ( mod 7)

  38. Teorema9.5 Misalm1, m2, … , mnadalahbilanganbulatpositif sedemikiansehingga PBB (m1, m2) = 1 untuki j, makasistemkongruenlanjar, x  ak (mod mk) mempunyaisolusi yang unikdalam modulo m =m1 . m2.….mn Mk = m/mk Mkyk 1 (mod mk) x a1 . M1 .y1 + a2 . M2 .y2 + … + ak . Mk .yk (mod M)

  39. Contoh 9.14 Selesaikantigabuahkongruenberikut! x  2 ( mod 3) x  3 ( mod 5) x  2 ( mod 7) Penyelesaian: m1 = 3, m2 = 5, m3 = 7 M = m1 . m2 . m3 = 3 . 5 . 7 = 105 M1 = M/m1 = 105/3 = 35 M2 = M/m2 = 105/5 = 21 M3 = M/m3 = 105/7 = 15 a1 = 2, a2 = 3, a3 = 2

  40. Mkyk 1 (mod mk) 35 y1 1 (mod 3) y1= 2 21 y2 1 (mod 5) y2= 1 15 y3 1 (mod 7) y3= 1 x  2 . 35 . 2 + 3 . 21 . 1 + 2 . 15 . 1 (mod M) x  233 (mod 105)  23 (mod 105) Didapat x = 23

  41. 9.6 Bilangan Prima Definisi 9.6 Bilanganbulatpositif p > 1 disebutbilangan prima jikafaktor-faktorpositifdari p hanya 1 dan p. Dengankata lain bilangan-bilanganpositif yang habismembagi p hanya a dan p. Bilanganpositif yang lebihbesardari 1 danbukanbilangan prima disebutbilangankomposit

  42. Sebagaicontoh, bilangan 37 adalahbilangan prima karenafaktor-faktornyahanyabilangan 1 dan 37. Sedangkanbilangan 39 adalahbilangankomposit, karenaselain 1 dan 39 masihadafaktor-faktor lainnya, yaitu 3 dan 13. Barisanbilangan prima dimulaidari 2, yaitu: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

  43. Teorema 9.6 TeoremaDasarAritmatik (The Fundamental Theorem of Arithmatic) Setiapbilanganpositif yang lebihbesaratausamadengan 2 dapatdinyatakansebagaiperkaliansatu ataulebihbilangan prima. Secaraimplisitpernyataan “setiapbilanganpositif” padateorema 9.6 berartiberlakuuntukbilangan prima dankomposit.

  44. Contoh 9.15 Faktor prima daribilangan-bilangan: 100, 64, 641, 999, dan 1024 adalah: 100 = 2 . 2 . 5 . 5 = 22 . 52 64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 26 641 = 641 999 = 3 . 3 . 3 . 37 = 33 . 37 1024 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 210

  45. Teorema 9.7 Jika n adalahbilangankomposit, maka n mempunyaifaktor prima yang lebihkecilatausamadengan Untukmengujiapakah n bilangan prima atau komposit, dapatkitaujidengancaramembagi n dengansalahsatubilangan prima 2, 3, …, atau bilangan prima  Jika n habisdibagidengansalahsatubilangan prima tersebut ,maka n adalahbilangankomposit. Jikatidakadabilangan prima mulaidari 2 sampaidengan yang habismembagi n, maka n adalahbilangan prima

  46. Contoh 9.16 Tentukanapakahbilangan-bilangan: 241 dan 1049 adalahbilangan prima ataukomposit. Penyelesaian: . Bilangan prima  adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13. Karenatidakadabilangan prima yang  habismembagi 241, makabilangan 241 adalahbilangan prima. . Bilangan prima  adalah 2, 3, 5, 7, 11, dan 13. Karenaadasalahsatubilangan prima yang  , dalamhalini 11, yang habismembagi 187, makabilangan 187 adalahbilangankomposit.

  47. 9.7 Kriptografi Kriptografiadalahilmudanseniuntukmenjagakeamananpesan. Keamananpesandiperolehdenganmenyandikannya menjadipesan yang tidakdimengertiolehorang yang tidakberkepentingan Pesan yang akandisandikandisebutplainteks. Pesan yang telahdisandikandisebutcipherteks. Prosesmenyandikanpesandariplainteksmenjadicipherteksdisebutenkripsi. Prosesmengembalikancipherteksmenjadiplainteks disebutdekripsi.

  48. Kriptanalisisadalahilmudanseniuntukmemecahkancipherteksmenjadiplaintekstanpamengetahuikunci yang diberikan. Orang yang melakukankriptanalisisdisebutkriptanalis. Kriptologiadalahstudimengenaikriptografidankriptanalisis. plainteks cipherteks enkripsi plainteks dekripsi Prosesenkripsidandekripsi

  49. NotasiMatematis Jikacipherteksdilambangkandengan C danplainteksdilambangkandengan P, makafungsienkripsi E memetakan P ke C, E(P) = C (9.1) Padaproseskebalikannya, fungsienkripsi D memetakan C ke P, D(C) = P (9.2) Dari (9.1) dan (9.2) didapat, D(E(P)) = P (9.3)

  50. Contoh 9.1 Plainteks : STRUKTUR DISKRIT Misalsekelompokorangsepakatuntukmenyandikanplainteksmenggunakanalgoritma yang sama. Algoritmanyaadalahmempertukarkanposisitiapduakarakter yang berurutanpadaplainteks, makadidapat, Cipherteks : TSURTKRU IDKSIRT Denganmenggunakanalgoritmatersebut, makacipherteksbisadikembalikanmenjadiplainteks.

More Related