Základní pojmy

1. Tento digitální učební materiál (DUM) vznikl na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0794 snázvem „Výuka na gymnáziu podporovaná ICT“. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Zpracováno 23. 11. 2012, autor: Mgr. Jindřiška Janečková Sada IV/2-3-1 Matematika pro I. ročník gymnázia Základní poznatky z matematiky IV/2-3-1-05 Definice, věty, důkazy

2. Základní pojmy • nezavádí se definicí • vysvětlení pomocí představ a příkladů • např. bod, přímka, přirozené číslo • pomocí nich definujeme ostatní pojmy

3. Axiomy • elementární tvrzení o vlastnostech základních pojmů • základní věty – tvrzení považovaná za natolik intuitivně zřejmá a jasná, že je není potřeba blíže zdůvodňovat • jejich pravdivost uznáváme bez další argumentace, bez důkazu • př. Každým bodem lze vést k dané přímce jedinou rovnoběžku.

4. Definice pojmu • vymezení podstatných vlastností pojmu, které jej jednoznačně charakterizují • používají se základní pojmy a pojmy dříve zavedené • př. Kružnice k(S;r) je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu S (střed kružnice) stejnou vzdálenost r (poloměr kružnice).

5. Matematická věta • tvrzení, matematický výrok, o jehož pravdivosti se lze přesvědčit • výrok, jehož pravdivost musí být dokázána • př. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je úhel přímý. • př. Vnější úhel trojúhelníku je roven součtu vnitřních úhlů při zbývajících vrcholech.

6. Důkaz • úvaha zdůvodňující platnost matematické věty • posloupnost logických úvah, které ukazují, že platnost tvrzení vyplývá z platnosti axiomů a dokázaných tvrzení

7. Nejčastější typy vět • Elementární výrok Y Př. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je úhel přímý. • Implikace X => Y Př. Pro každé přirozené číslo n platí: Je – li n2 sudé, pak je n sudé. • Ekvivalence X <=> Y Př. Součin reálných čísel a a b je roven nule, právě když a = 0 nebo b = 0.

8. Hlavní typy důkazů • přímý (důkaz elementárního tvrzení, důkaz implikace) • nepřímý (důkaz implikace) • sporem (důkaz elementárního tvrzení, důkaz implikace) Ekvivalence X <=> Y: Dokazujeme implikace X => Y a Y => X.

9. Přímý důkaz elementárního výroku Y • Vyjdeme od výroku X, o kterém víme, že platí. (Problém: Jak najít pravdivý výrok X, z něhož by bylo možné tvrzení odvodit?) • Z výroku X odvodíme Y; ukážeme, že platí X =>Y. • Tím je výrok Y dokázán.

10. Zvolíme libovolný trojúhelník ABC. Výrok, ze kterého vyjdeme: Bodem mimo danou přímku lze vést jedinou přímku, která je s ní rovnoběžná. Tedy, k přímce AB existuje jediná rovnoběžka procházející bodem C – přímka PQ. Podle věty o rovnoběžkách proťatých příčkou: α´= α, β´= β. Úhel PCQ je přímý, dostáváme tedy α´+ β´ + γ = α + β + γ = 180°. Libovolný trojúhelník ABC: P Q C α´ γ β´ β α A B Dokažte, že v trojúhelníku je součet všech jeho vnitřních úhlů roven 180°.

11. Přímý důkaz implikace X => Y • Důkaz pomocí řetězce implikací. • Z platnosti X odvodíme X1; X => X1 • X1=> X2 • X2=> X3 • … • Xn => Y • Tím je platnost věty X => Y dokázána.

12. Nepřímý důkaz implikace X => Y • Dokážeme obměněnou implikaci˥Y => ˥X. • ˥Y => ˥X je s implikací X => Y ekvivalentní. • Přímý důkaz implikace ˥Y => ˥X.

13. Pro všechna přirozená čísla n platí:Je – li n2 sudé, pak n je sudé. • Obměna: Je – li n liché, pak n2 není sudé. • liché n = (2k + 1), k ϵ N0 • n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 2k + 1 = 2[k(2k + 1)] + 1 • k(2k + 1) = h • 2[k(2k + 1)] + 1 = 2h + 1 • n2= 2h + 1 • 2h + 1 není číslo sudé, je liché • Platí obměněná věta =>platí i věta původní.

14. Důkaz sporem výroku X • Předpokládáme, že platí negacevýroku X (˥X). • Z ˥X vyvozujeme logické důsledky až dojdeme ke sporu (k tvrzení Z, o kterém víme, že je nepravdivé). ˥X => Z1,Z1 => Z2,Z2 => Z3…Zn => Z • Neplatí ˥X, platí X.

15. Dokažte, že číslo je iracionální. • Negace: Číslo je racionální. => • Existuje p, q ϵ Z+ tak, že => • p2 = 2q2(p > q >1) • Základní věta aritmetiky: Každé číslo větší než 1 lze zapsat jako součin mocnin prvočísel. => • Lze napsat: p = 2a.r, q = 2b.s, a, b ϵ N0, r, s jsou lichá • p2 = 22a.r2, q2 = 22b.s2 • Dosadíme do p2 = 2q2: 22a.r2 = 2.22b.s2 => • 22a.r2 = 22b+1.s2,r2 a s2jsou lichá =>22a = 22b+1 =>2a = 2b + 1 (sudé číslo se rovná lichému) NEPRAVDA • Platí: Číslo je iracionální.

16. Použitá literatura • BUŠEK, Ivan a Emil CALDA. Matematika pro gymnázia: základní poznatky. 3., upr. vyd. Praha: Prometheus, 2001, 178 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-146-8. • ŠEDIVÝ, Jaroslav, Jaroslav BLAŽEK, Júlia LUKÁTŠOVÁ, Soňa RICHTÁRIKOVÁ a Jindřich VOCELKA. Matematika pro gymnázia: sešit 2. 3. vydání. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1978. Učebnice pro střední školy. • SMIDA, Jozef, Júlia LUKÁTŠOVÁ, Jaroslav ŠEDIVÝ a Jindřich VOCELKA. Matematika pro I. ročník gymnázií. 1. vydání. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1984. Učebnice pro střední školy.