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Numerische Lösung der 2D Laplace/Poisson-Gleichung

Numerische Lösung der 2D Laplace/Poisson-Gleichung. Teilnehmer: Alireza Farman Auline Rodler. Gliederung:. Auswertung des zeitinvarianten- Temperaturverlaufs in einem Brennstabelement Auswertung der zeitvarianten- Wärmeleitungsgleichung in einer Baguette Zusammenfassung und Ausblick.

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Numerische Lösung der 2D Laplace/Poisson-Gleichung

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Presentation Transcript

  1. Numerische Lösung der 2D Laplace/Poisson-Gleichung Teilnehmer: Alireza Farman Auline Rodler

  2. Gliederung: • Auswertung des zeitinvarianten- Temperaturverlaufs in einem Brennstabelement • Auswertung der zeitvarianten- Wärmeleitungsgleichung in einer Baguette • Zusammenfassung und Ausblick

  3. Reihenentwicklung von Wärmeverteilung Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung Temperaturverteilung in einem quadratischen radioaktiven Brennstabelement: Temperaturverteilung: Matlab programm : Function Reihen_entwicklung Initialisierung : [x y]= meshgrid (0: 0.01: pi); also,N=100 Für jedes n und m (Zwei ineinandergesetzten Schleifen) Qnm = 1./(n(i)*m(j)); Q_fourier(:,:,ind) = (Q*16/pi^2)*(Qnm.*sin(n(i).*x).*sin(m(j).*y)); (nach den schleifen) Q_fourier = sum(Q_fourier,3);

  4. Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung • Für fehler<0,1  m,n [1:2:7] und für fehler<0,01 m,n[1:2:17] • Es werden nur an den Eckpunkten größere Fehler berechnet!! • Fehlerberechnung: Maximaler rel. Fehler bei einem ausgewählten Punkt:eps(x,y) Fehler<0,1 Fehler<0,01

  5. Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung Temperaturverteilung: Matlab programm : Temperaturverteilung Initialisierung : [x y]= meshgrid (0: 0.01: pi); Für jeden n und m bis 17 (ungerade Zahl) Qnm = 1./(n(i)*m(j)); Tnm = Qnm./(n(i)^2+m(j)^2); T_fourier(:,:,ind) =(Q*16/pi^2)*(Tnm.*sin(n(i).*x).*sin(m(j).*y)); Endlig (nach den schleifen) T_fourier = sum(T_fourier,3); Wärmeleitzahl (‘K’) Die Poisson Gleichung mit k und deren Einbindung in die Temperaturverteilung: Wärmeleitzahl wird im Rahmen dieser Arbeit als konstante behandelt:

  6. Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung Veränderung der Länge von Brennstab: Wie sieht das Ganze aus, wenn man das Gebiet auf eine realistische Geometrie [0,L], mit L, der Länge und Breite des Brennstabes ausdehnt? Veränderung der Variable:

  7. Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung Auswertung der iterativen Methode: Gauß-Seidel-Verfahren (Einzelschritt-Verfahren) Mit Hilfe dieses Verfahrens wird der Näherungsvektor elementweise neu bestimmt und für die Berechnung der – k-ten Komponente der nächsten Näherung bereits die neuen Daten der ersten Komponenten verwendet. Matlab programm : Function Iterativ_method Initialisierung und Rand Bedigungen : U=10*ones(dim_grid); U(:,end)=0;U(end,:)=0;U(1,:)=0;U(:,1)=0; while eps>eps_required (Konvergenzbedingung) Für alle Punkte des Temperaturgitters U(i,j)=1/4*(U(i+1,j)+U(i-1,j)+U(i,j-1)+U(i,j+1)+Q(i,j)*(dim_section/(dim_grid-1)).^2);

  8. Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung Auswertung der iterativen Methode: Gauß-Seidel-Verfahren Zusammenfassung der simulierten Ergebnisse:

  9. Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Abkühlen einer Baguette als 2D zeitabhängiges Wärmeleitungsproblem mit Dirichlet RB Baguettestemperatur= 90 °C Umgebungstemperatur= 20 °C Holzplattentemperatur= 30 °C Ziel  Die Baguette auf 40 °C abzukühlen Baguette Verteilung der Temperatur: u(x,y;t) Randbedingungen (Boundary conditions):

  10. Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Reihenentwicklung von Für ein Intervall [0,pi] x [0,pi] • Matlab programm : Function Temperatur_b_v2 • Initialisierung : • [x y]= meshgrid (0: 0.01: pi); • Schleife zur Berechnung von ’W’ (N ist ungerade und M ist integer Zahl): • Tnm =(n(i)^2+m(j)^2); • anm=m(i)/(n(i)*Tnm); • W(:,:,ind)=anm*sin(n(i)*x).*sin(m(j)*y)*(1-exp(-*b*Tnm*t)); • Schleife zur Berechnung von ’V ’(N und M sind ungerade Zahlen): • ind = ind + 1; • Qnm = 1/(n(i)*m(j)); • Tnm =(n(i)^2+m(j)^2); • V(:,:,ind) = Qnm.*sin(n(i).*x).*sin(m(j).*y)*exp(-*b*Tnm*t); • …. • W_tot =(80/pi^2)*sum(W,3); • V_tot = (1120/pi^2)*sum(V,3); • T_fourier_temporelle(:,:,page_t) = W_tot+V_tot;

  11. Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung • Für fehler<0,1  m,n [1:2:15] • Es werden nur an den Eckpunkten größere Fehler berechnet!! • Fehlerberechnung: Maximaler rel. Fehler bei einem ausgewählten Punkt:eps(x,y) Fehler<0,1 02.06.2014 3

  12. Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Veränderung der länge als variable: Wie sieht das Ganze aus, wenn man das Gebiet auf eine realistische Geometrie [0,L] der Länge und Breite der Baguette ausdehnt? Wo käme ‚a‘ in die Formel rein? Veränderung der Variable:

  13. [°C] Temperatur der baguette nach 26 min für m und n bis 15 70 [°C] Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Nach welcher Zeit erreicht die Baguette in der mitte 40 °C? Für m=n=1 bis 15, erreicht die Stange nach 26 min 20 °C in der mitte. Es dauert ca. 2 Stunden bis das Baguette komplett abkühlt.

  14. Temperatur der Baguette nach 26 min für m und n=15. Temperatur der Baguette nach 56 min für m und n=15. [°C] T=26 min  Temperatur =40 °C Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Darstellung des Temperaturverlaufs für Gitter [20,20] [°C] T=56 min  Temperatur =16 °C

  15. 70 Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Ebenso kann die Verschiebung der Isolinien und Abkühlung der Baguette betrachtet werden! [°C] a= 0.33 E-6 m²/s (feuchter Sandboden ) Temperaturleitfähigkeit: [m²/s] Wärmeleitfähigkeit Notwendige Parameter Dichte Spezifische Wärmekapazität Abhängig  Eigenschaften von Baguette

  16. Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Auswertung der Temperaturverteilung anhand der expliziten Methode: Matlab programm : Function Iterativ_method_b Initialisierung,Randbedingungen und Anfangsbedingungen: [x,y] = meshgrid(linspace(0,dim_section,dim_grid)); U = 70*ones(dim_grid); U(:,end) = 0; U(end,:) = 0; U(:,1) = 0; U(1,:) = 10; Stabilitätskriterium definiert: alpha = (a*dt)/(dh^2); if alpha > 0.25 U_tot = NaN; ('!!! Stabilitätskriterium nicht erfüllt !!!!') Else Schleifen jeweils für die Zeit und i und j und dann wird die Temperatur gerechnet: U(i,j) = alpha*(U(i+1,j)+U(i-1,j)+U(i,j-1)+U(i,j+1)-4*U(i,j))+U(i,j); Bei einer expliziten methode wird zur Berechnung der Näherungswerte , nur Werte berücksichtigt die zeitlich vor dem zu berechnenden liegen.

  17. Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Für ein 10cm viereckiges Baguette, mit a=0.33e-6m²/s, ein Zeit Schritt von 15 sec, erreicht das Baguette nach 5 min in der mitte 40°C! [°C] !!!!Problem!!!! Wenn wir das Gitter verfeinern kommen wir zu falschem Ergebniss. Baguette kühlt sich schneller ab.

  18. Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Mit dem PDE-Tool von Matlab braucht man genauso lang, wie bei dem entwickelten Programm. Zusammenfassung

  19. Zusammenfassung und Fazit • Die Auswertung für unterschiedliche Längen klappt anhand der entwickelten Programme ganz gut. • Übereinstimmung der Ergebnisse aus dem iterativen und dem numerischen Verfahren. • Ergebnisse aus dem Matlab PDE-TOOL übereinstimmen mit den Ergebnissen aus der Simulation. • Auswertung der Wärmeleitungsgleichung durch explizite Methode soll evtl. noch verbessert und korrigiert werden.

  20. Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit

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