Colégio Estadual Figueira - Matemática

Colégio Estadual Figueira - Matemática Professor: Sulimar Gomes segunda-feira, 7 de setembro de 2014 Sequências

Definição de sequência numérica: Observe a situação a seguir: Olimpíadas. Os anos em que ocorreram os últimos seis jogos olímpicos formam uma sequência ou sucessão e, assim, podemos escrevê-los as seguinte forma: (1988, 1992, 1996, 2000, 2004, 2008) Os elementos ou termos desta sequência podem ser representados por uma letra (geralmente a letra a) e um índice que indica a posição do elemento na sequência. Desta maneira: a1 = 1988 é o primeiro termo da sequência, a2 = 1992 é o segundo termo, e assim sucessivamente até a6 = 2008 Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Para indicar um termo qualquer as sequência, o enésimo termo, escrevemos an. Se a sequência possuir um último termo n, então dizemos que a sequência é finita. Senão, dizemos que é infinita e a indicamos colocando reticências no final. • Exemplos: • A sequência das estações de um ano é finita, pois tem um último elemento: • (verão, outono, inverno, primavera). • A sequência dos números primos é infinita, assim escrevemos os seus primeiros elementos e colocamos reticências ao final: • (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...) Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Uma sequência numérica é uma função f cujo domínio está contido em N* e cujo contradomínio é R. Uma sequência finita de n termos é indicada por (a1, a2, a3,..., an). Uma sequência infinita por (a1, a2, a3,..., an, ...) Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Determinação de uma sequência numérica Uma sequência numérica pode ser determinada por uma lei de formação que associa a cada número natural n diferente de zero um termo an = f(n). O termo an é chamado também de termo geral da sequência. • Exemplos: • A lei de formação da sequência de números ímpares é an =2n – 1, com N , ou seja: an = 2n – 1 Para n = 1, temos a1 = 2(1) – 1 = 1 Para n = 2, temos a2 = 2(2) – 1 = 3 Para n = 3, temos a3 = 2(3) – 1 = 5 E assim sucessivamente Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Exemplos: • A lei de formação da sequência de números pares é an =2n – 2, • com N , ou seja: an = 2n – 2 Para n = 1, temos a1 = 2(1) – 2 = 0 Para n = 2, temos a2 = 2(2) – 2 = 2 Para n = 3, temos a3 = 2(3) – 2 = 4 E assim sucessivamente Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Determinação de uma sequência numérica As vezes podemos determinar números de uma sequência sem precisar determinar sua lei de formação, usando somente a lógica e pela verificação de alguns termos da sequência. • 35, 33, 34, 32, 33, 31, 32, ___, ___. • Exemplos: • 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ___, ___, ___, ... Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Exercícios 1. Obter o décimo segundo termo da sequência em que an = 2n – 6 2. Determine o quarto termo da sequência, em que an = 2. 5n – 1 3. Complete a sequência (12, 7, 2, – 3, __, – 13, __) 4. Analise a seqüência numérica seguinte: 35, 33, 34, 32, 33, 31, 32, ___, ___. Explique seu padrão e descubra os dois números seguintes para os espaços em branco. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Exercícios - Lógica Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Somatório de termos Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Exercícios Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

ENEM 2010 Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. • Vamos considerar as seguintes progressões: • (2, 4, 6, 8, 10, 12) • Veja que a partir do segundo termo a diferença entre cada termo e o seu antecessor é constante. • a2 – a1 = 4 – 2 = 2 a5 – a4 = 10 – 8 = 2 • a3 – a2 = 6 – 4 = 2 a6 – a5 = 12 – 10 = 2 • a4 – a3 = 8 – 6 = 2 • (10, 6, 2, – 2, – 6, – 10) • Veja que a partir do segundo termo a diferença entre cada termo e o seu antecessor também é constante. • a2 – a1 = 6 – 10 = – 4 a5 – a4 = – 6 – (– 2) = – 4 • a3 – a2 = 2 – 6 = – 4 a6 – a5 = – 10 – (– 6) = – 4 • a4 – a3 = – 2 – 2 = – 4 Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. Quando observamos que essas diferenças entre cada termo e o seu antecessor, é constante, damos o nome de progressão aritmética (P.A.) À constante damos o nome de razão (r). Observações: Quando r = 0 a P.A. é constante Ex: (3, 3, 3, 3, 3); r = 3 – 3  r = 0 Quando r > 0 a P.A. é crescente Ex: (2, 7, 12, 17, 22) r = 7 – 2 = 5  r = 5 Quando r < 0 a P.A. é decrescente Ex: (10, 8, 6, 4, 2, 0, – 2, – 4) r = 8 – 10 = – 2 R = – 5 Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. De um modo geral temos: Chama-se de progressão aritmética (P.A.), toda sucessão de números que, a partir do segundo, a diferença entre cada termo e o seu antecessor é constante. Isto é: Sucessão: (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...) a2– a1 = a3– a2 = a4– a3 = ...= an– an–1 = r Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A. Em uma P.A. (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...) de razão r, podemos escrever qualquer termo em função do primeiro. Para isso, basta partirmos da definição de P.A. a2 = a1 + r a3 = a2 + r  a3 = (a1 + r) + r  a3 =a1 + 2r a4 = a3 + r  a4 = (a1 + 2r) + r  a4 = a1 + 3r a5 = a4 + r  a5 = (a1 + 3r) + r  a5 = a1 + 4r Logo concluímos que o termo geral que ocupa a enésima posição na P.A é dado por: an = a1 + (n – 1)r, com n Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A. an = a1 + (n – 1)r, com n Onde: an = termo geral da P.A. n = número de termos da P.A. a1 = primeiro termo da P.A. r = razão da P.A. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A. Exemplos: Seja a P.A. (8,15, 22, 29, 36, ...) Determinar o termo geral: an = a1 + (n – 1)r an = 8+ (n – 1)7 an = 8+ 7n – 7 an = 7n + 1 Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A. Exemplos: Quantos termos compõe a P.A. finita (7, 2, ..., – 38) an = a1 + (n – 1)r – 38 = 7+ (n – 1)(– 5) – 38 = 7– 5n + 5 5n = 12 + 38 5n = 50 n = n = 10 Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A. Exemplos: Sabendo que em uma P.A. o primeiro termo é – 3 e o décimo segundo termo é 41, determine sua razão. an = a1 + (n – 1)r 41= – 3+ 11r 44= 11r r = r = 4 Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A. Exemplos: Observe a sequência de figuras cujas quantidades de pontos estão em progressão aritmética. Continuando essa sequência, quantos pontos formarão a 12ª figura? Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. Soma dos n primeiros termos de uma P.A. Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) é considerado um dos maiores matemáticos do século XVIII. Conta-se que quando criança, o professor de sua turma pediu aos alunos que calculassem a soma: 1 + 2 + 3 + .... + 98 + 99 + 100 Como são 50 parcelas iguais a 101, a soma dos termos dessa P.A será igual a 50 .101 = 5050 Carl Friedrich Gauus, filho único de pai sem instrução, foi matemático, astrônomo e físico. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. Soma dos n primeiros termos de uma P.A. Considerando a sequência somada por Gauss: 1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 100 Generalizando para soma de qualquer P.A. Onde: Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. Soma dos n primeiros termos de uma P.A. Exemplo: Utilizando a fórmula da soma de um P.A. determine a soma da sequência (7, 11, 15, 19, 23, 27) Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. Soma dos n primeiros termos de uma P.A. Exemplo: Utilizando a fórmula da soma de um P.A. determine a soma da sequência de 14 termos (-12,...,40) Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. Soma dos n primeiros termos de uma P.A. Em alguns casos pode não ser informado o primeiro, o último ou o número de termos da P.A., para efetuar a soma teremos que primeiro descobrir esse valor utilizando para isso a fórmula do termo geral da P.A. an = a1 + (n – 1)r Exemplo: Calcular a soma dos 80 primeiros termos da P.A. Onde, a1= – 10 e r = 3 Primeiro vamos determinar o 80º termo da P.A. a80 = – 10+ (n – 1). 3 a80 = – 10+ 79 . 3 a80 = – 10+ 237 a80 = 227 Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. RESUMO a2 = a1 + r a3 = a1 + 2r a4 = a1 + 3r ... an = a1 + (n – 1)r Fórmula do termo geral de uma P.A. an = a1 + (n – 1)r Fórmula da soma de uma P.A. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios • Qual o 10º termo das progressões aritméticas abaixo? • 1, 4, 7, 10, ... • 18, 16, 14, ... • 110, 105, 100, ... Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios • Em uma P.A. o primeiro termo é – 5 e o quinto termo é 3. Qual a razão desta P.A.? Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios • Calcule a quantidade de múltiplos de 3 existentes entre 100 e 1000. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios • Um nadador estabeleceu que iria nadar 400m a mais que no treino anterior. Sabe-se que no 2º dia ele nadou 1100 m. Quantos metros ele nadará no 10º dia? Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios • Os dois últimos termos de uma sequência de 13 termos são 35 e 42. Quais são os três primeiros termos dessa sequência? Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios • Num teatro, a primeira fila tem 24 assentos, a segunda 28, a terceira 32, e assim por diante. Quantos assentos têm a 18ª fila? Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios • Encontre o 101º termo da P.A. (– 4, 1, 6,...) Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios • Em uma estrada são instalados telefones S.O.S a cada 2,8 km. Calcule o número de telefones instalados no trecho que vai do quilometro 5 ao 61, sabendo que nessas duas marcas existem telefones instalados e considerando inclusive esses dois telefones. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios • Calcule a soma dos termos da P.A. (2, 4, 6, 8, 10) Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios • Calcule a soma dos termos da P.A. (23, 28, 33, 38, 43) Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios • Qual a soma dos trinta primeiros termos da P.A. • (4, 9, 14, 19, ...)? Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios • Uma academia de ginástica oferece o seguinte plano anual: em janeiro, o aluno paga R$ 140,00 por mês. A partir daí, o valor da mensalidade sofre um decréscimo de R$ 8,00 a cada mês. • a) Quanto o aluno pagará no 8º mês do plano? Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios • Uma academia de ginástica oferece o seguinte plano anual: em janeiro, o aluno paga R$ 140,00 por mês. A partir daí, o valor da mensalidade sofre um decréscimo de R$ 8,00 a cada mês. • b) Qual o valor total anual pago pelo aluno? Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios • Uma herança deve ser dividida em P.A. de razão R$ 6 000,00 entre 6 irmãos, de modo que o filho mais velho receba a maior parte, que é de R$ 45 000,00. • Quanto cada filho receberá? Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios Uma herança deve ser dividida em P.A. de razão R$ 6 000,00 entre 6 irmãos, de modo que o filho mais velho receba a maior parte, que é de R$ 45 000,00. Qual é o valor total da herança a ser dividida? Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios Determinar o 10º termo de uma P.A., sabendo que a soma dos seus 48 primeiros termos é igual a 1008 e que a razão é r = 2. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios Calcule a soma dos 24 primeiros termos de cada P.A. a) Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios Calcule a soma dos 24 primeiros termos de cada P.A. b) Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios Em uma P.A., sabe-se que a soma dos 20 primeiros termos é igual a 200 e que a soma dos 30 primeiros é zero. Determine o valor do primeiro termo desta P.A. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

Progressão Aritmética – P.A. - Exercícios Um cinema tem 448 lugares, distribuídos da seguinte maneira: na primeira fila, têm-se 13 poltronas, na segunda, 15, na terceira, 17, e assim sucessivamente, até completar n filas. Determine o número total de filas desse cinema. Colégio Estadual Figueira Professor: Sulimar

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