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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR. Prof. João Candido Bracarense Costa, Dr. Sumário. Números Reais e Funções Logaritmo e Exponencial Trigonometria Polinômio Análise Combinatória Aula prática: DCM - Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico . FME / PDE.

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  1. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Prof. João Candido Bracarense Costa, Dr.

  2. Sumário • Números Reais e Funções • Logaritmo e Exponencial • Trigonometria • Polinômio • Análise Combinatória • Aula prática: DCM - Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico FME / PDE

  3. DCM: Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico Data: 06/07/2007 Pela manhã • G7 3 • Foz e 3 Barras 4 • Goioerê 3 • Chico 2 • Toledo 2 • Josemara 1 • Clarice 1 Data: 29/06/2007 Pela manhã • G7 3 • G7 ; Cruzeiro do Oeste e Foz do Iguaçu 3 • Palestra do Mestrado em Educação Matemática • Aula de Trigonometria FME / PDE

  4. Conteúdos:Funções • Relações • Funções • Funções do 1º Grau • Função Quadrática • Função Modular • Função Composta – Função Inversa FME / PDE

  5. Relações • Par Ordenado – conceito primitivo (a, b) = (c, d)  a = c e b = d • Sistema Cartesiano Ortogonal • Teorema: entre o conj. de pontos P do pl cartesiano e o conj. dos pares ordenados (xp, yp) de números reais existe uma correspondência biunívoca. • Produto Cartesiano • Def: Sejam A e B dois conjs. não vazios. Denominamos PC de A por B o conj. A X B cujos elementos são todos pares ordenados (x, y), x elto A e y de B. • A X B = {(x, y)/ x XAe y XB} FME / PDE

  6. Relações • Relação Binária R é relação binária de A em B  R T A X B • xX D y XB/(x, y) X R • yX Im x XA/(x, y) X R • Relação Inversa - (y, x) X R-1 (x, y) X R FME / PDE

  7. Funções f é função de A em B  x XA , ! y XB/ (x, y) X f Domínio (Imagem): D (Im) é o conj. das abscissas (ordenadas) dos pontos tais que as retas verticais (horizontais) conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, i. e., é o conj. formado por todas as abscissas (ordenadas) dos pontos do gráfico f. Def. Duas funções, f de A em B e g de C em D são iguais sss A = C, B = D e f(x) = g(x) para todo x XA FME / PDE

  8. Inequações • Def.: Sejam as funções f(x) e g(x) com domínio D1 e D2 contidos no conj. dos Reais. Inequação na incógnita x é qq uma das sentenças abertas: f(x) > g(x) f(x) < g(x) f(x) P g(x) f(x) O g(x) • Domínio de validade da inequação f(x) < g(x) é o conj. D = D1W D2, onde D1 é domínio da f e D2 da g. Assim, para todo ponto x0XD, estão definidos f(x0) e g(x0). FME / PDE

  9. Inequações • O número real x0 é solução da inequação f(x) > g(x) sss é verdadeira a sentença f(x0) > g(x0) • O conjunto S de todos os números reais x tais que f(x) > g(x) é uma sentença verdadeira, chamamos de conjunto-solução da inequação. • Diz-se que duas Inequações são equivalentes em D nos reais se o conjunto-solução da primeira é igual ao conjunto-solução da segunda. FME / PDE

  10. Inequações • Princípio 1. Sejam as fç f(x) e g(x)definidas em D1 e D2, respectivamente. Se a função h(x)é definida em D1W D2, as inequações f(x) < g(x) e f(x) + h(x)< g(x)+ h(x) são equivalentes em D1W D2. FME / PDE

  11. Inequações • Princípio 2. Sejam as fç f(x) e g(x)definidas em D1 e D2, respectivamente. Se a função h(x)é definida em D = D1W D2 e tem sinal constante, então: (i) Se h(x)>0, as inequações f(x) < g(x) e f(x) . h(x)< g(x). h(x), são equivalentes em D (ii) Se h(x)<0, as inequações f(x) < g(x) e f(x) . h(x)> g(x). h(x), são equivalentes em D FME / PDE

  12. Funções do 1º Grau • Função Constante f : R YR xYc • Função Linear f : R YR xYax, a K0 • Função Afim f : R YR xYax + b, a K0 FME / PDE

  13. Funções do 1º Grau • Função Afim • Gráfico • Coeficientes da função • Zero da função • Funções Crescentes e Decrescentes • Sinal da função FME / PDE

  14. Inequações Simultâneas • f(x) < g(x) < h(x) => f(x) < g(x) g(x) < h(x) Inequações Produto/Quociente • f(x) . g(x) > 0 (f(x) e g(x) > 0) ou (f(x) e g(x) < 0) • f(x) . g(x) < 0 ; f(x) . g(x) P 0; f(x) . g(x) O 0 FME / PDE

  15. Função Quadrática • Função Quadrática f : R Y R x Y ax2 + bx + c, a K0 • Gráfico • Concavidade • Forma Canônica • Zero de função • Máximo e mínimo • Vértice da parábola e Imagem • Eixo de simetria • Sinal FME / PDE

  16. Inequação do 2º Grau • ax2 + bx + c > 0 • ax2 + bx + c < 0 • ax2 + bx + c P 0 • ax2 + bx + c O 0 Função Modular • Definição de módulo • Propriedades • Função • Equações modulares • Inequações modulares FME / PDE

  17. Função Composta – Função Inversa Def.: Seja f uma fç de um conj. A em um conj. B e seja g uma fç de B em um conj. C; chama-se fç composta de g e f à fç h de A em C definida por: h(x) = g(f( x )) para todo x em A. h(x) = (g o f)(x) = g(f( x )) FME / PDE

  18. Função Composta – Função Inversa f: A Y B f é sobrejetora y, y XB ,x, x XA/ f(x)=y f é sobrejetora Im (f) = B f: A Y B f é injetora x1, x1XA , x2, x2XA (x1 Kx2) => f(x1) Kf(x2) f: A Y B f é bijetora y, y XB , ! x XA / f(x)=y Teo:Seja f: A Y B. A relação inversa f -1 é uma fç de B em A sss f é bijetora. FME / PDE

  19. Sumário • Números Reais e Funções • Logaritmo e Exponencial • Trigonometria • Polinômio • Análise Combinatória • Aula prática: DCM - Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico FME / PDE

  20. Conteúdos: Logaritmo e Exponencial • Potências e Raízes • Função Exponencial • Logaritmos • Função Logarítmica • Equações Exponenciais e Logarítmicas • Inequações Exponenciais e Logarítmicas • Logaritmos Decimais FME / PDE

  21. Potências e Raízes DEF.: Dado um número real anatural. Potência de base a e expoente n é o número an tal que: a0 = 1, para aK0 an = an-1.a, n P1 DEF.: Dado um número real a não nulo, e um número n natural, define-se a potência a-n pela relação: a-n = 1/an FME / PDE

  22. Potências e Raízes DEF.: Dados um número real não negativo, a, e um n natural, demonstra-se que existe sempre um real positivo ou nulo b tal que bn = a. b = raiz n-ésima aritmética de a a = radicando e n = índice OBS.: [¬n/(a)]n = a; ¬/36 = 6 não é (- 6); ¬/a2 = !a!; Assim, ¬/x2 = !x! e, ¬/(x-1)2 = = !x-1! = x – 1, se x > 1; 0, se x = 1; 1 – x, se x < 1 Propriedades: página 20 FME / PDE

  23. Função Exponencial DEF.: Dado um número real a, tal que a seja maior que zero e diferente de 1, diz-se função exponencial de base a a função f de R em R (conj dos reais) que associa a cada x real o número ax. Propriedades: pág 23 a pág 29 FME / PDE

  24. Função Exponencial Imagem => Im = reais positivos Gráfico: y=ax (a > 1), fç crescente (0< a <1), fç decrescente FME / PDE

  25. Equações Exponenciais (EE) DEF.: EE são equações com incógnita no expoente. Exemplo 1: 2x = 64 Exemplo 2: 4x – 2x = 2 Exemplo 3: 2x = 3 Método da redução a uma base comum Exs 1 e 2 FME / PDE

  26. Inequações Exponenciais (IE) DEF.: IE são as inequações com incógnita no expoente. Exemplo 1: 2x > 32 Exemplo 2: 4x – 2 = 2x Método da redução a uma base comum Se b e c são números reais então: a > 1 => ab > ac <=> b > c 0 < a < 1 => ab > ac <=> b < c FME / PDE

  27. Logaritmos DEF.: se a e b são números reais e positivos, com a diferente de 1, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente que se deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b (logaritmando ou número). FME / PDE

  28. Logaritmos Conseqüência da definição: Sistemas de Logaritmos: • decimal • Neperiano • Prop: pág 56 Mudança de Base • Propriedades • Conseqüências pág 64 FME / PDE

  29. Função Logarítmica DEF.: Dado um número real a, positivo e diferente de 1, chamamos de função logarítmica de base a a função f de R*+ em R que associa a cada x o número: Propriedades: pág 69 a pág 71. Imagem: Im = R Gráfico: fç crescente e fç decrescente FME / PDE

  30. Equações Exponenciais Exemplo: FME / PDE

  31. Equações Logarítmicas 1º Tipo: pág. 79 2º Tipo: pág. 80 3º Tipo: são as equações que resolvemos fazendo inicialmente uma mudança de incógnita. pág. 81 FME / PDE

  32. Inequações Exponenciais IE que não podem ser reduzidas a uma desigualdade de potências de mesma base. FME / PDE

  33. Inequações Logarítmicas 1º Tipo: pág. 97 2º Tipo: pág. 100 3º Tipo: idem pág. 101 FME / PDE

  34. Logaritmos Decimais • Característica • Regra 1: (x > 1): A caract. do logaritmo decimal de um número x > 1 é igual ao número de algarismos de sua parte inteira, menos 1. • Exemplo: log 2,3 => c = 0; log 23 => c = 1 • Regra 2: (0 < x < 1): a caract é o oposto da qt de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo. • Exemplo: log 0,2 => c = -1; log 0,00053 => c = -4 FME / PDE

  35. Logaritmos Decimais • Mantissa • Obtida nas tábuas de logaritmos. • Propriedade: A mantissa do logaritmo decimal de x não se altera se multiplicarmos x por uma potência de 10 com expoente inteiro. • Assim, os logaritmos decimais dos números 2; 20; 200; 2000; 0,2; 0,002 tem todos a mesma mantissa 0,3010; mas as caract. são, resp, 0; 1; 2; 3; -1; -3. FME / PDE

  36. Sumário • Números Reais e Funções • Logaritmo e Exponencial • Trigonometria • Polinômio • Análise Combinatória • Aula prática: DCM - Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico FME / PDE

  37. Conteúdos: Trigonometria • Arcos e Ângulos • Funções Circulares • Relações Fundamentais • Redução ao 1º Quadrante • Transformações • Equações • Inequações FME / PDE

  38. Arcos e Ângulos • Arcos de Circunferência DEF.: Dados 2 pts distintos A e B sobre uma circunf, esta fica dividida em duas partes. Cada uma dessas partes, que incluem A e B, é denominada arco de circunferência AB • Medidas de Arcos => identificação de uma unidade, cujo raio é idêntico aos arcos a serem comparados. FME / PDE

  39. Arcos e Ângulos • Unidades: Grau e Radiano. • Grau ( º) é um arco unitário igual a 1/360 da circunf. que contém o arco a ser medido. • Radiano (rad) é um arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunf. que contém o arco a ser medido. FME / PDE

  40. Arcos e Ângulos Relação entre as duas medidas Medidas de Ângulos: l = compr. arco AB, r raio da circunf. FME / PDE

  41. Funções Circulares • Ciclo trigonométrico => r = 1, e o comprimento da circunf. é 2 • Noções Gerais: • Eixos dos cossenos u e dos senos v • Sentido (> 0) ; (< 0) e 4 quadrantes • DEF.: Uma fç de A em B é periódica se existir um número p > 0 tal que f(x+p) = f(x) • Identificação das funções circulares no ciclo trigonométrico: sen, cos, tg, cot, sec, cosec. FME / PDE

  42. Relações Fundamentais FME / PDE

  43. Relações Fundamentais FME / PDE

  44. Relações Fundamentais Identidades: FME / PDE

  45. DCM: Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico Data: 29/06/2007 Pela manhã • G7 3 • G7 3 • G7 ; Cruzeiro do Oeste e Foz do Iguaçu 3 • Palestra do Mestrado em Educação Matemática FME / PDE

  46. Redução ao 1º Quadrante • Redução do 2º ao 1º Quadrante • Redução do 3º ao 1º Quadrante • Redução do 4º ao 1º Quadrante • Identidades – pág. 58 FME / PDE

  47. Transformações • pág. 67 FME / PDE

  48. Equações • pág. 93 FME / PDE

  49. Inequações • pág. 127 FME / PDE

  50. Sumário • Números Reais e Funções • Logaritmo e Exponencial • Trigonometria • Polinômio • Análise Combinatória • Aula prática: DCM - Conteúdos Estruturantes x Encaminhamento Metodológico FME / PDE

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