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¿MATEMATICA PARA EL FUTURO?¡MATEMATICA PARA HOY! Frank Carlos Morales Barinas, Diciembre 2007
“El maestro debe entender que el centro educativo no es tanto el lugar donde él va a enseñar, sino que es el lugar donde él va a aprender a enseñar. La práctica y la reflexión sobre ella es el elemento primordial para construir el proceso de la propia formación-transformación”. Antonio Pérez Esclarín
¿Cómo harían ustedes para que esta ecuación se cumpla? XI + I = X
Objetivo del eje del pensamiento lógico-matemático en Fe y Alegría. Desarrollar en nuestros docentes y alumnos –constituidos en comunidad- el conocer reflexivo asociado a la construcción del conocimiento matemático.
Principios orientadores dela acción didáctica en el aula: • Enseñar matemática para generar la diversidad • Comprender los conceptos para establecer su relación con los procedimientos • Favorecer la construcción de una actitud positiva hacia la matemática • Plantearse una matemática “en la vida”
“No hay rama de la matemática, por abstracta que sea, que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real” Martín Andonegui Zabala
Enseñar matemática para generar la diversidad No basta con aceptar la diversidad. Generar la diversidad por la vía de la enseñanza de la matemática. Presentar y manejar diversos sistemas de representación de los conceptos matemáticos (por ejemplo, de las fracciones...), distintos procedimientos operativos (por ejemplo, diversas formas de efectuar las operaciones aritméticas, de calcular el máximo común divisor, de sumar fracciones, de calcular la media de un conjunto de datos, de resolver ecuaciones...), diversas vías para resolver un mismo problema, diversas formas de demostrar proposiciones matemáticas... Y también, diversas formas de construir los conocimientos matemáticos en el aula, es decir, diversidad en las estrategias de enseñanza que pueden utilizar los docentes en el aula.
Diversidad en los sistemas de representación de conceptos Tomamos un todo o unidad, lo dividimos en n partes iguales, y de ellas consideramos m partes. Se representa de la siguiente manera m/n Fracciones Todo continuo
1·4 + 2·1 1 1 6 ¿Y los gráficos anteriores? = + = 2·4 2 4 8 ¿Alguna vez aprendimos –o enseñamos- a sumar fracciones en el sistema de representación parte-todo continuo? Generalmente, luego de definir las fracciones solo utilizamos el tipo de representación m/n, olvidándose el concepto de todo continuo dado en la definición.
“Manejar un solo sistema de representación de las fracciones no es sólo un error didáctico; es, sobre todo, una carencia de conocimiento matemático” Martín Andonegui Zabala
El concepto de fracción puede ser representado en diversos sistemas: 2 Como número de la forma m/n 5 0,4 Como número decimal Como un gráfico parte-todo continuo Como un gráfico parte-todo discreto Como un punto en la recta numérica 0 1/5 4/5 1 3/5 2/5 Como un porcentaje 40%
Diversidad en los procedimientos operacionales Se descomponen ambos números en sus factores primos; luego se toman los factores comunes con su menor exponente. Máximo Común Divisor No se da la justificación Confusión con el mínimo común múltiplo. A pesar de que todo esto se haga, no debe olvidarse que existen otras formas de proceder igualmente válidas.
Hallar el m. c. d. (36, 24): El máximo común divisor es el mayor de los divisores comunes de ambos números. Hallamos los divisores de ambos números D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} D(54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54} Determinemos los divisores que son comunes 1, 2, 3, 6, 9, 18 Seleccionamos el mayor de estos divisores comunes m. c. d. (36, 54) = 18
El ejercicio anterior puede resolverse de la siguiente manera: Consideramos solamente los divisores del número menor, o sea 36 D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} Ordenamos los divisores de mayor a menor 36, 18, 12, 9, 6, 4, 3, 2, 1 Utilizando el concepto del máximo común divisor, dividimos a 54 por cada divisor anterior, comenzando por el mayor ¿36 divide a 54? No ¿18 divide a 54? Si Por lo tanto, el m. c. d. (36, 54) = 18
Otra forma de obtener el máximo común divisor es usando el algoritmo de Euclides, el cual es útil para números enteros relativamente grandes.
Diversidad en las formas de resolución de problemas La maestra da, a cada uno de los seis niños de la primera fila del salón, un paquete que contiene tres libros de lectura. Los libros son diferentes, pero en cada paquete hay uno de 50 páginas, otro de 35 y otro de 30. ¿Cuántas páginas van a leer entre los seis niños de la primera fila?
La maestra da, a cada uno de los seis niños de la primera fila del salón, un paquete que contiene tres libros de lectura. Los libros son diferentes, pero en cada paquete hay uno de 50 páginas, otro de 35 y otro de 30. ¿Cuántas páginas van a leer entre los seis niños de la primera fila? Cada niño leerá 115 páginas, ya que cada paquete contiene 50 + 35 + 30 = 115. Luego, multiplicamos por 6, ya que son 6 niños en total. Entonces, el resultado es 6*115 = 690 Por lo tanto, entre los seis niños de la primera fila leerán 690 páginas. Otra forma de resolverlo es calculando cuantas páginas leerán los 6 niños por cada libro. 50*6 = 300; 35*6= 210 y 30*6 = 180. Luego se suman estos totales parciales, obteniéndose 300 + 210 + 180 = 690. Recuerda que: 6*(50 + 35 + 30) = 6*50 + 6*35 + 6*30
Otro problema de fracciones: Tenemos un todo continuo Toma 3 cuartas partes de la totalidad inicial Con respecto a la nueva totalidad toma dos tercios La mitad de la totalidad anterior es En conclusión, la porción final equivale a un cuarto de la totalidad inicial Ahora bien, si tenemos un todo discreto, es decir un conjunto con un número de elementos. Dicho número puede ser cualquiera; pero como se habla de mitades, cuartas y terceras; es preferible elegir un múltiplo común de 2, 3 y 4; como por ejemplo 24. Las tres cuartas partes de 24 es 18; Los dos tercios de 18 son 12; La mitad de 12 es 6 y 6 es la cuarta parte de 24.
¿y cómo se hace En el sistema de las Fracciones de la Forma m/n? En este caso las fracciones actúan como operadores, como indicativos de lo que hay que hacer. Tome 3/4 de la cantidad inicial, es decir, 3/4*1 = 3/4 Al resultado de la operación hay que multiplicarlo por 2/3, es decir, 3/4*2/3 = 6/12 = 1/2 Finalmente, al último resultado debe multiplicarse por 1/2, con lo que se llega (1/2*1/2 = 1/4) a la relación final, 1/4 de la cantidad inicial.
Comprender los conceptos para establecer su relación con los procedimientos Los conceptos deben ser dotados de significado. Significado que debe ser construido por los mismos alumnos, interactuando con el docente y entre ellos mismos. Por ejemplo, saber cuál es el sentido de las operaciones aritméticas; entender qué significa “máximo común divisor”; igualmente, qué significa sumar fracciones, o multiplicarlas; o también, qué es una ecuación y qué representa su solución. La clarificación del significado de los conceptos es una premisa indispensable para dotar de sentido a los procedimientos derivados. Y también, la única forma de romper el estereotipo de aprendizaje mecánico, rutinario y memorístico que domina en el aprendizaje habitual de la matemática.
“Lo malo que soy yo para la matemática” “A mí nunca me ha entrado eso” “ MI experiencia es que nunca la entendí” “Puedo aprender a hacer las cosas, pero que no me pregunten por qué funcionan así”
Favorecer la construcción de una actitud positiva hacia la matemática Tanto en los docentes como en los alumnos. Los juegos son una solución, pero no puede serlo siempre. La mejor manera de fomentar una actitud positiva sólida y permanente es crear seguridad y confianza en uno mismo en cuanto a la capacidad de entender y construir el conocimiento matemático. Esto se logra con un aprendizaje exitoso, el cual se puede obtener progresivamente, tal vez sea lento, pero no imposible. LA MATEMÁTICA
Plantearse una matemática “en la vida” Y no para el futuro, o exclusivamente “para” la vida. Tomar en cuenta los contextos próximos a nuestros alumnos, tanto para buscar en ellos las situaciones a modelizar matemáticamente en el aula, como para encontrar aquellas que sirvan de aplicación a los conocimientos adquiridos. Significa aceptar en el aula las formas propias de los alumnos para establecer relaciones y para resolver problemas en su vida. También significa traer al aula y legitimar aquellos conocimientos, particularmente los procedimentales, que son utilizados habitualmente por la gente aun cuando desconozcan su fundamento matemático o no sepan cómo explicarlo. Tomar en cuenta el lenguaje de nuestros alumnos, para lo cual es muy importante fomentar el diálogo entre los propios alumnos, hacer que trabajen en pequeños grupos, o dejar que expresen sus ideas matemáticas con sus propias palabras.
“Que esta chispa, llegue a incendio” P. Vélaz
