Сегодня: суббота, 20 сентября 2014 г.

1. Сегодня: суббота, 20 сентября 2014 г. Ларионов В.В. Фазовые портреты

2. Как изменяется характер движения при изменении функции F(r,v) Если сила постоянная, то решение обратной задачи кинематики производят простейшим образом. Из 2-го закона Ньютона ускорение a =F/m, но a=dV/dt. Подставляя получаем, dV=(F/m)dt, m = const. Интегрируем

3. В векторном виде Интегрирование уравнения по позволяет найти изменение радиуса-вектора.

4. Направление движения F=-kx m Если сила пропорциональна смещению (например, сила упругости), то получаем колебательное движение. Рассмотрим частный случай одномерного движения, которое происходит под действием квазиупругой силы F= -kx, где х – изменение длины пружины (r=x). x

5. Так обозначено ускорение Уравнение движения имеет следующий вид:

6. Это однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Его решение известно из курса средней школы и имеет вид (это уравнение колебательного движения): А- амплитуда колебаний, ω0 - циклическая частота, φ-начальная фаза.

7. ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ Итак смещение точки при колебательном движении имеет вид: Найдем ее скорость И импульс

8. Преобразуем уравнения в виде Возведем в квадрат и сложим

9. P(x) x A Полученное уравнение – эллипс или окружность носит название - фазовый портрет колебательного движения частицы

10. Площадь эллипса равна равна произведению его полуосей и можно доказать, что это энергия Е колебательного движения за один период, деленная на частоту - линейная частота колебаний

11. Фазовый портрет гармонических колебаний

12. Фазовый портрет при наличии затухания

13. F1 F2 2 1 Третий закон Ньютона

14. F1 F2 2 1 Закон сохранения импульса 3-ий закон говорит о том, откуда берется сила во 2-ом законе Из 3-его закона Ньютона, как следствие, можно получить закон сохранения импульса. Пусть имеем замкнутую систему тел 1 и 2.

15. Запишем третий закон Ньютона. С учетом 2-го закона, имеем: Тогда: Или

16. Т.е. после интегрирования, получаем: В замкнутой системе двух тел их импульс есть величина постоянная. Этот результат может быть распространен на любое число N тел

17. Закон сохранения импульса выполняется для замкнутой системы тел. Система считается замкнутой, если внешнее воздействие отсутствует или мало по сравнению с внутренними силами.

18. 2 1 Работа и энергия Работой А называют интеграл от точки 1 по криволинейной траектории до точки 2 (под интегралом – векторы) F

19. F = = m dr dr = mvdv dr

20. Этот интеграл равен mV22/2 – mV12/2 =ΔEk Из формулы видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т.е. кинетическая энергия есть функция состояния ее движения.

21. Кинетическая энергия в релятивистском случае Если масса зависит от скорости, то ее величину нельзя вынести за знак интеграла.

22. Преобразуем данную формулу (т.е. возведем в квадрат и раскроем скобки, введем импульс) (1) c2m2-p2 = m02c2 ,т.к. p= mv

23. Продифференцируем формулу (1) 2c2mdm – 2pdp =0. Сократим на 2. c2mdm = pdp, или c2dm = pdp/m Вычисляем работу, помня, что Fdr = mvdv=p(dvm)/m=(pdp)/m. Следовательно, А12=

24. Получили элементарный интеграл, который равен С2(m2 – m1). Если частица стартовала с массой покоя m0 , то индекс 1 заменяем на 0, а m2 становится текущей, т.е получаем С2(m – m0). Величина С2m0называется энергией покоя. Кинетическая энергия равна Ek = С2m- С2m0. Ek+ m0С2= С2m =E – полная энергия!!! m0 – масса покоя частицы

25. Потенциальная энергия. Консервативные силы Рис. Рис.

28. Сегодня: суббота, 20 сентября 2014 г. Лекция № 4

29. Момент силы

30. M β r F α z Схема векторов

31. Момент импульса Понятие момента импульса вводится аналогично понятию момента силы. Моментом импульса L частицы массы m называется векторное произведение радиуса-вектора rна вектор импульса частицы p L = [r,p] = - [p,r]. Вектор направлен по оси вращения по правилу векторного произведения и правилу правого буравчика. Его скаляр равен L=rpsin α

32. L β r P α Схема векторов для определения момента импульса Рассмотрим ось, произвольно ориентирован-ную в пространстве, вокруг которой вращается частица с импульсом Р. z Lz

33. Момент силы и момент импульса связаны между собой следующим образом dL/dt = M

35. L = dm r Ось вращения Для твердого тела момент импульса вычисляется следующим образом - момент инерции твердого тела – аналог массы для вращательного движения

36. Моменты инерции некоторых тел Материальной точки - Диска - Шара -

37. Три фундаментальных закона механики (закон сохранения импульса, энергии и момента импульса имеют общефизическое значение и применяются во всех других областях физики, включая атомную и ядерную)

38. Специальная теория относительности

39. V0t K’ K y y’ V0 x Из простого сложения отрезков находим X= X′ + V0t, и взяв производную по времени получаем Частица м x’ K′ K vx = vx′ + v0 0’ 0 x,x’ Классический закон сложения скоростей по Галилею:

40. Скорость света по формуле Галилея равна сR = сV0, т.е. может быть различной в разных системах отсчета

42. Закон сложения скоростей в теории относительности (при больших скоростях) имеет вид При малых скоростях (V<<c) этот закон принимает вид классического закона Галилея

43. Связь координат имеет вид Сокращение длины по теории Эйнштейна Замедление времени

44. Тема: ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И БОЛЬЦМАНА

47. Распределение молекул поскоростям. Распределение Максвелла

48. Функция распределения Максвелла F(v) по абсолютным значениям скоростей Позволяет определить долю молекул = F(v) Δv, имеющих скорости в интервале от v до v + Δv

49. Рис. Величина площадки под кривой – это доля молекул, обладающих скоростями от v до v + Δv

50. – для одной молекулы. Средняя арифметическая скорость