Introdução

2. Introdução • A palavra trigonometria (do grego TRIGONO = triângulo, METRIA = medida) teve origem na resolução de problemas práticos, relacionados principalmente à navegação e à astronomia. • A trigonometria relaciona mas medidas dos lados dos triângulos com a medida de seus ângulos e é de grande utilidade para o cálculo de distancias inacessíveis ao homem, como a altura de montanhas, torres, distancia entre rios.

3. Introdução • Acredita-se que como ciência, a trigonometria nasceu pelas mãos de diversos homens, com destaque ao astrônomo grego Hiparco de Nicélia (190 aC – 125 aC). • Este astrônomo utilizou a matemática aplicada para prever eclipses e movimentos dos astros, permitindo a elaboração de calendários mais precisos e propiciando mais segurança à navegação. • Hiparco ficou conhecido como pai da trigonometria por ter sistematizado algumas relações no triangulo retângulo.

4. Introdução • A trigonometria não se limita ao estudo de triângulos, encontramos aplicações, por exemplo: • na engenharia: na cinemática, trabalho, no movimento harmônico • na acústica: o som segue uma função seno.

6. Introdução • A trigonometria não se limita ao estudo de triângulos, encontramos aplicações, por exemplo: • na química: Na química utilizamos a trigonometria para definir a geometria das moléculas e assim definir algumas propriedades suas. • na astronomia: Para o calculo do distancia entre o astros. • na medicina: A variação da pressão nas paredes dos vasos sanguíneos de um certo indivíduo em função do instante de coleta dessa medida.

7. Razões trigonométricas no triângulo retângulo Conceitos iniciais:

8. Razões trigonométricas no triângulo retângulo Atividade 1: • Em uma folha, desenhe, utilizando régua, e transferidor um triangulo retângulo, em que um dos ângulos meça 50 ̊. • Agora, calcule as seguintes razões: Por que deu igual o de todo mundo?

9. Razões trigonométricas no triângulo retângulo • Todos encontraram o mesmo resultado por que a razão está relacionada ao valor do ângulo e não da medida do lado propriamente dito. Vale lembrar: Todos os triângulos desenhados na sala são semelhantes, pois possuem todos os ângulos internos iguais. Ou seja, os lados de todos os triângulos são proporcionais, logo a razão resultará num mesmo valor. • Essas divisões, recebem, cada uma, um nome específico. • São eles: SENO, COSSENO, TANGENTE.

10. Voltemos à atividade 1... H CO CA

11. Razões trigonométricas no triângulo retângulo Atividade 1: • Em uma folha, desenhe, utilizando régua, e transferidor um triangulo retângulo, em que um dos ângulos meça 50 ̊. • Agora, calcule as seguintes razões:

12. Razões trigonométricas no triângulo retângulo Atividade 1: • Ou seja: Podemos concluir que: Seno de 50 ̊ = 0,766 sen(50 ̊) = 0,766 H CO Coseno de 50 ̊ = 0,642 cos(50 ̊) = 0,642 Tangente de 50 ̊ = 1,119 tg(50 ̊) = 1,119 CA

13. Razões trigonométricas no triângulo retângulo • Os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulo menores que 90 ̊, já são conhecidos e estão tabelados. • Observe ao lado:

14. Razões trigonométricas no triângulo retângulo Atividade 2: • O ângulo de elevação do topo da encosta tomado a partir do pé de uma árvore é de 60 ̊. Sabendo que a arvore está a 50m de distância da base da encosta, qual é a medida que deve ter um cabo de aço para ligar a base da arvore ao topo da encosta? Da tabela: cos(60 ̊) = 0,5 Qual relação vamos utilizar? COSSENO

15. Razões trigonométricas no triângulo retângulo Atividade 3: • A determinação feita por radares da altura de uma nuvem em relação ao solo é importante para previsões meteorológicas e na orientação de aviões para que evitem turbulências. Nessas condições, determine a altura das nuvens detectadas pelos radares conforme o desenho a seguir. Da tabela: tg (4 ̊) = 0,07 Qual relação vamos utilizar? TANGENTE

16. Razões trigonométricas no triângulo retângulo Atividade 4: • Uma escada de um carro de bombeiros pode estender-se até um comprimento máximo de 30m, quando é levantada a um ângulo máximo de 70 ̊. Sabe-se que a base da escada está colocada sobre um caminhão, a uma altura de 2m do solo. Que altura em relação ao solo, essa escada poderá alcançar? Da tabela: sen(70 ̊) = 0,939 Qual relação vamos utilizar? SENO

17. Razões trigonométricas no triângulo retângulo • Como saber qual relação usar??? • Depende dos dados do seu problema... • Se as variáveis a serem relacionadas são: Cateto Oposto e Hipotenusa -> Seno Cateto Adjacente e Hipotenusa -> Cosseno Cateto Oposto e Cateto Adjacente -> Tangente • SOHCAH TOA

18. Razões trigonométricas no triângulo retângulo • Na resolução de alguns problemas é mais conveniente usar os valores da seguinte tabela:

19. Razões trigonométricas no triângulo retângulo • Exercícios: • Página 71: E 33, 34, 43

20. Objetivo: Determinar a altura de objetos do modo indireto, utilizando as funções trigonométricas

21. Razões trigonométricas no triângulo retângulo • O teodolito é um instrumento ótico utilizado na Topografia e na Agrimensura para realizar medidas de ângulos verticais e horizontais, usando cálculos de triangulação. • Basicamente é um telescópio com movimentos graduados na vertical e na horizontal, e montado sobre um tripé, podendo possuir ou não uma bússola incorporada.

22. Razões trigonométricas no triângulo retângulo • Construindo um teodolito: • Materiais necessários: • Copo plástico com tampa de encaixe. • Cópia de transferidor circular • Quadrado de papelão • Pedaço de arame fino ( 15 cm) • Conudinho do Mc Donal`s

23. Razões trigonométricas no triângulo retângulo • Construindo um teodolito: • Como construir • Cubra o quadrado do papelão, colando a cópia do transferidor, no centro do quadrado; posicione o ângulo zero na direção do ponto médio de um lado. • 2. Cole a tampa do copo no interior da figura do transferidor, centralizada.

24. Razões trigonométricas no triângulo retângulo • Construindo um teodolito: • Como construir • 3. Passe o arame pela boca do copo numa posição diametral, deixando que suas pontas, atinjam as extremidades do transferidor. • 4. Cole o pedaço de canudinho no fundo do copo, também em posição diametral, na mesma direção do arame. • 5. Encaixe o copo na tampa.

25. Razões trigonométricas no triângulo retângulo • Utilizando o um teodolito:

26. Razões trigonométricas no triângulo retângulo • Vamos então fazer um experimento? • Podemos ir até o ginásio de esportes da escola para medir a altura da tabela da cesta da basquete. • Procedimento: • Primeiro deve-se marcar no chão a linha perpendicular que contém a tabela. • Deste ponto em diante, usar a trena para marcar as distâncias de 5m, 10m, 20m, 30m para serem referência de marcação.

27. Razões trigonométricas no triângulo retângulo • Os dados obtidos serão registrados em uma tabela:

29. Razões trigonométricas no triângulo retângulo • Há duas relações importantes válidas entre as razões trigonométricas estudadas. Observe a primeira:

30. Razões trigonométricas no triângulo retângulo • Segunda relação: c b a • Pelo Teorema de Pitágoras: • Substituindo, obtemos:

31. Razões trigonométricas no triângulo retângulo • As duas relações aprendidas servem como uma ferramenta a mais para determinarmos o valor das funções trigonométricas dos ângulos. • EXERCÍCIOS: Página 61 – E14, 15