Systèmes Asservis Echantillonnés

1. Commande Consigne Sortie C N A Correcteur Actionneur Système + - C A N Capteur Calculateur Systèmes Asservis Echantillonnés

2. Signal continu y(t) y*(t) Signal échantillonné Te : Période d’échantillonnage Te 2Te 3Te 4Te nTe temps temps Résultat de l’échantillonnage : y(0), y(Te), ….y(nTe) y*(t)={y(0), y(Te), ….y(nTe)} p(t) 2Te 3Te 4Te nTe Te

3. u Signal échantillonné u Signal continu avec bloqueur d’ordre 0 Te Te 2Te 3Te 4Te nTe 2Te 3Te 4Te nTe Le bloqueur permet de maintenir la valeur de l’échantillonnage jusqu’à l’arrivée de l’échantillon suivant (u(nTe +t) u(nTe) pour 0<t<Te) b0(t) b0(t)=G(t)-G(t-Te) 1 Te t

4. Consigne Sortie C(z) B0(s) G(s) + - Passage de la FT en s à la fonction de transfert en z sans bloqueur Calculde Résidus a) pi est un pôle simple de G(s) b) pi est un pôle multiple de G(s)

5. Exemple Passage de la FT en s à la fonction de transfert en z avec bloqueur Exemple

6. Influence du bloqueur d’ordre zéro sur la Rép. Indicielle du 1er ordre B0(s) Influence du bloqueur d’ordre zéro sur la Rép. Impulsionnelle du 1er ordre B0(s) T Te Si T=Te

7. Système C(z) B0(s) G(s) + -  C N A C A N PC  + C(z) H(z) - FTBO = C(z)H(z) C(z)H(z) FTBF = 1+C(z)H(z)

8. Correcteurs numériques Correcteur P continu Correcteur P numérique T=kTe Correcteur PI continu Correcteur PI numérique Correcteur PID continu Correcteur PID numérique

9. Stabilité des systèmes échantillonnés Le système asservi est stable SSI sa réponse impulsionnelle tend vers zéro quand k tend vers l’infini. Im r(k) y(k) + C(z) H(z) -    Domaine stabilité   Re     Condition de stabilité : y(k)0 quand k ssi zi < 1 i=1…n

10. Critère de Jury

11. Enoncé du critère Toutes les racines de D(z) sont situées à l’intérieur du cercle unité Ssi les (n+1) conditions sont satisfaites : - D(1)>0 et D(-1)>0 pour n pair - D(1) >0 et D(-1)<0 pour n impair - |a0|<an avec an >0 - |c0|>|cn-1| -|d0|>|dn-2| …. -|q0|>|q2|

12. Cas particuliers Système de 2ème ordre : D(z)=a2z2+a1z+a0 |a0|<a2, a2+a1+a0>0 et a2-a1+a0>0 Système de 3ème ordre : D(z)=a3z3+ a2z2+a1z+a0 |a0|<a3, a3+ a2+a1+a0>0 , -a3 +a2-a1+a0<0 |a02- a32|> |a0a2- a1a3| Exemple : k Quelle est la condition de stabilité sur k du système asservi ?

13. -|1-kz0|<1 -1+(k-2)+k-kz0>0 - 1-(k-2)+k-kz0>0 - 0<z0 <1 - k <2/z0 - k<4/(1+z0)

14. Avec N(1)=1 et D(1)=1, 0<m<n FTBO =C(z)H(z)= Ep=lim(r(k)-y(k))=lim(z-1)(R(z)-Y(z))=lim(1-z-1)(R(z)-Y(z)) k z1 z1 Précision des systèmes asservis échantillonnés r(k) y(k) + C(z) H(z) - Erreur en position (r(k)=1) si m=0 si m>0

15. Erreur en vitesse (r(k)=kTe) Ev=lim(r(k)-y(k))=lim(z-1)(R(z)-Y(z))=lim(1-z-1)(R(z)-Y(z)) k z1 z1 si m=0 si m=1 si m>1