UNLA Organización de Computadoras (2014)

1. ALGEBRA DE BOOLE UNLA Organización de Computadoras (2014)

2. Indice 1.ReseñaHistórica 2.AlgebradeBoole 3.Postulados 4.Teoremas 5.Ejercicios

3. 1.ReseñaHistóricaAlgebradeBoole En1854GeorgeBooleintrodujounanotaciónsimbólicaparael tratamientodevariablescuyovalorpodríaserverdaderoofalso (variablesbinarias)AsíelálgebradeBoolenospermitemanipular relacionesproposicionalesycantidadesbinarias.Aplicadaalas técnicasdigitalesseutilizaparaladescripciónydiseñodecircuitos mas económicos. Las expresiones booleanas serán una representacióndelafunciónquerealizauncircuitodigital.Enestas expresionesbooleanasseutilizaránlastresoperacionesbásicas( AND,ORNOT)paraconstruirexpresionesmatemáticasenlas cualesestosoperadoresmanejanvariablesbooleanas(loquequiere decirvariablesbinarias).

4. 2.3 Definiciones Literal:serefiereaunavariableoasucomplemento(porej. A,X,X) Términoproducto:esungrupodeliteralesquese encuentranrelacionadosentresiporun AND (porej.A·B,C·A, X ·Y·Z) Términosuma:esungrupodeliteralesqueseencuentran relacionadosentresiporunOR (porej.A+ B,C +A,X + Y + Z) Términonormal:terminoproductooterminosumaenelque unliteralnoaparecemasdeunavez

5. 2.3 Definiciones Términocanónico:terminoenelqueseencuentraexactamente unodecadaunodelosliteralesdelafunción.Sieltermino canónicoesunproducto,sedenominarámintérmino.Sies unasumasedenominarámaxtérmino. Formanormaldeunafunción:eslaqueestáconstituidapor términosnormales.Puedeestarenlaformasumadetérminos productosoproductosdetérminossumas. Formacanónicadeunafunción:esaquellaconstituida exclusivamenteportérminoscanónicosqueaparecenunasola vez.

6. 2.4 Forma Canónica Laimportanciadelaformacanónica, eselhechodeser UNICA.Comovimosanteriormenteunafunciónpuedetener infinidadderepresentaciones,perosolounarepresentación enformacanónica. Existendosformascanónicasdeunafunción:Suma de ProductosoProducto de Sumas.(Tambiéndeunamanera masformalSumademintérminosoProductode maxtérminos) Paraobteneralgebraicamentelaformacanónicadeuna funciónpodemosutilizarlosteoremasdeexpansión canónica:

7. 2.4.1 Forma Canónica suma de Productos Esaquellaconstituidaexclusivamenteportérminoscanónicos productos(mintérminos)sumadosqueaparecenunasolavez. Porejemplo: F(X,Y,Z)=X Y Z+X Y Z +XY’Z+X Y Z+XYZ Acadaminterminoseleasociaunnumerobinariodenbits resultantedeconsiderarcomo0lasvariablescomplementadas ycomo1lasvariablesnocomplementadas.Asíporejemplo elminterminoX Y ZcorrespondeacombinaciónX=0,Y=0, Z=1querepresentaelnumerobinario001,cuyovalordecimal es1.Aesteminterminoloidentificaremosentoncescomom1.

8. 2.4.1 Forma Canónica suma de Productos Deestaforma,lafunción: F(X,Y,Z)=X Y Z+X Y Z +X Y Z+X Y Z +XYZ Sepuedeexpresarcomo: F(X,Y,Z)=m(1,4, 5, 6, 7) quequieredecirlasumatoriadelosmintérminos1,4,5,6,7.

9. 2.4.2 Forma Canónica producto de sumas Es aquella constituida exclusivamente por términos canónicossumas(maxtérminos)multiplicadosqueaparecen unasolavez.Porejemplo: F(X,Y,Z)=(X+Y+Z)(X+Y +Z)(X+Y +Z) Análogamentealcasoanterior,podemossimplificarla expresióndelafunción,indicandolosmaxtérminos.Sin embargo,enestecasosehacealcontrariodeantes.Acada maxterminoseleasociaunnumerobinariodenbits resultante de considerar como 1 las variables complementadasycomo0lasvariablesnocomplementadas.

10. 2.4.2 Forma Canónica producto de sumas AsíporejemploelmaxterminoX+Y+Zcorrespondea combinaciónX=1,Y=0,Z=0querepresentaelnumero binario100,cuyovalordecimales4.Aestemaxterminolo identificaremosentoncescomoM4. Deestaforma,lafunción: F(X,Y,Z)=(X+Y+Z)(X+Y +Z)(X+Y +Z) sepuedeexpresarcomo:F(X,Y,Z)=M(0,2,3)quequiere decirelproductodelosmaxterminos0,2,3

11. 2.4.3 Forma Canónica Teorema1:Paraobtenerlaformacanónicadeunafunción sumadeproductossemultiplicaráporunterminodela forma(X+X )dondefalteunliteralparaqueelterminosea canónico. Teorema2:Paraobtenerlaformacanónicadeunafunción productodesumassesumaráunterminodelaformaX·X dondefalteunliteralparaqueelterminoseacanónico.

12. 2.4.4 Forma Normal de Funciones Booleanas Otramaneraimportantedeexpresarexpresionesbooleanases laformanormal.Tienelamismaestructurabásicasumade productosoproductodesumas,peronoserequierequelos términosseanminterminosomaxterminos. Porejemplo:Lasiguienteesunaformanormalparasumade productos:X Y+X Y Z Lasiguienteesunaformanormalparaproductodesumas: (Y+X)(X + Z) Y Nota: En general la forma más utilizada es: la suma de productos

13. Algebra de Conmutación Función de Conmutación Tablas de Verdad Formas Canónicas Minterminos y Maxterminos Mapas de Karnaugh

14. FuncióndeConmutación  Unafuncióndeconmutaciónsepuede expresardetresmaneras: EnformaAlgebraica PorunaTabladeVerdad EnformaCanónica – – –

15. TablasdeVerdad    Laformamásintuitivaderepresentarunafunciónde conmutaciónespormediodeunatabladeverdad. Latabladeverdadexpresaelvalordesalidade unafunciónparacadacombinacióndeentrada. LatabladeVerdadpermitemodelaruntipoespecial desistemaDigitalllamadoSistemaCombinacional.

16. EjemplodeTablasdeVerdad FormaAlgebraica: F(X1,X2,X3)=X1X2+X2X3

17. EjemplodeTablasdeVerdad TabladeVerdad 

18. FormasCanónicas  Sellamaterminocanónicodeunafunciónde conmutaciónatodoterminoenquefiguran todaslasvariablesdelafunción,yasea complementadasosincomplementar.

19. FormasCanónicas X1X2X3 Problema: Dada una Tabla de Verdad,obtenerlaforma algebraica X1X2X3 X1X2X3 X1X2X3

20. FormasCanónicas La formaAlgebraicaqueda: F(X1,X2,X3)=X1 X2X3 +X1X2X3+ X1X2X3+X1X2X3 Paraconvertirseobservalacombinacióndeentradapara lacuallasalidatomaelvalor1. Lavariableaparecesincomplementar:sivale1parala combinaciónenlacuallasalidavale1yaparece complementadasivale0paralacombinaciónenlacualla salidatomaelvalor1.

21. FormasCanónicas:Mintérminos   Sedenominamintérminoaunfactordeuna expresiónbooleanaqueestáformadoporelANDde todaslasvariables. UnafuncióndeconmutacióncorrespondealORde mintérminos.Lafuncióngeneradadeestamanerase denominaORcanónicadeAND. F(X1,X2,X3)=OR(m0,m1,..,mn) F(X1,X2,X3)=(m0,m1,..,mn)

22. FormasCanónicas:Mintérminos  Paraelejemploanterior: F(X1,X2,X3)=OR(1,3,5,6) F(X1,X2,X3)=(1,3,5,6)

23. FormasCanónicas:Maxtérminos  Una forma alternativa de expresar la función esexaminándolas combinaciones en lascuales vale 0 (X1+X2+X3) (X1+X2+X3) (X1+X2+X3) (X1+X2+X3)

24. FormasCanónicas:Maxtérminos Lafunciónquedaahora: F(X1,X2,X3)=(X1+X2+X3)(X1+X2+X3) (X1+X2+X3)(X1+X2+X3) Paraconvertirseobservalacombinaciónde entradaparalacuallasalidatomaelvalor0.La variableaparecesincomplementarsivale0para lacombinaciónenlacuallasalidavale0y  aparece complementada si vale 1 para la combinaciónenlacuallasalidatomaelvalor0.

25. FormasCanónicas:Maxtérminos   Sedenominamaxtérminoaunfactordeuna expresiónbooleanaqueestáformadoporelORde todaslasvariables. UnafuncióndeconmutacióncorrespondealANDde maxtérminos.Lafuncióngeneradadeestamanera sedenominaANDcanónicadeOR. F(X1,X2,X3)=AND(M0,M1,..,Mn) F(X1,X2,X3)=P(M0,M1,..,Mn)

26. FormasCanónicas:Maxtérminos  Paraelejemploanterior: F(X1,X2,X3)=AND(0,2,4,7) F(X1,X2,X3)=P(0,2,4,7)

27. ObtencióndeFormasCanónicas  Dadaunafunciónensuformaalgebraica, obtenerlaformacanónica: F (A,B,C,D)= A C + A B C + A B C D =AC(B+B)(D+D)+ABC(D+D)+ABCD = ACBD + ACBD + ACBD + ACBD + ABCD + ABCD + ABCD = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD 1101 1100 1001 1000 1011 1010 0011 13 12 9 8 10 11 3 F (A,B,C,D)= (3,8,9,10,11,12,13)

28. ConversiónentreFormasCanónicas DadaunafunciónenORcanónicodeAND,obtener laformacanónicaANDcanónicodeOR. F(A,B,C)=(0,1,2,7) F(A,B,C)’=(3,4,5,6)=A’BC+AB’C’+AB’C+ABC’ F(A,B,C)’=(A+B’+C’)(A’+B+C)(A’+B+C’)(A’+B’+C) F(A,B,C)=P(3,4,5,6)  ver desarrollo

29. FuncionesEquivalentes   Dosfuncionesdeconmutaciónsonequivalentes cuandosusexpansionesenformascanónicasson idénticas,esdecirtienenelmismovalordesalida paralasmismascombinacionesdeentradas. Unaformasimilardeexpresarlomismoesquedos funcionesdeconmutaciónsonequivalentescuando tienenla misma Tabla de Verdad.

30. MinimizacióndeFunciones  Minimizarunafuncióndeconmutación F(X1,X2,..,Xn)esencontrarunafunción G(X1,X2,..,Xn)equivalenteaFyquecontengael mínimonúmerodetérminosyliteralesenuna expresiónORdeAND.

31. MinimizacióndeFunciones Ejemplo: F(A,B,C,D)=ACD+ACD+ACD+ACD+ABD =(A+A)CD+(A+A)CD+ABD =CD+CD+ABD =(C+C)D+ABD =(D+D)AB =A B ver desarrollo

32. MapasdeKarnaugh   ElmapadeKarnaughesunarreglomatricialde todaslasposiblescombinacionesquepueden asumirungrupodevariables. LosmapasdeKarnaughsonformasmodificadasde TablasdeVerdadquepermitenminimizarfunciones

33. MapasdeKarnaugh LosmapasdeKarnaughpermitenundiseño  rápido de circuitos combinacionales de mínimocosto,esdecir,conelmínimo númerodecompuertas.

34. ConstruccióndeMapasdeKarnaugh  ParaconstruirunMapadeKarnaughse siguenlossiguientespasos: Paraunafuncióndenvariables,elMKtiene2nceldas. Enlascoordenadasseanotanlascombinaciones  segúncódigodeGrey. 01 0 YZ 0 Y 00 01 11 10 X X 1 1 n=3 n=2

35. ConstruccióndeMapasdeKarnaugh CD 00 01 11 10 AB 00 01 11 10 n=4

36. Construcciónde: MapasdeKarnaugh Cadacombinacióndeunosycerosdeuna celdaseleasignaelequivalentedecimalde larepresentaciónbinaria. CD 00 01 11 10 AB 00 01 11 10

37. Dada la función obtener el MK F (A,B,C,D)=  (0,1,5,6,9,13,15) CD 00 01 11 10 AB 00 01 11 10

38. Dado el MK obtener la función y simplificar

39. Ejercicios Propuestos. Dado el MK obtener la función y simplificar

40. Simplificaciónutilizando MK 1)Realizar agrupaciones de 1's con sus vecinos lo mayor posible pero siempre en cantidades potencias de 2. 2) No dejar ningún 1 sin agrupar. Puede ocurrir que un 1 pertenezca a más de una agrupación. No se pueden tomar agrupaciones dentro de agrupaciones. 3) Por cada agrupación de 1's resulta un producto de variables. Cuanto más 1's se agrupen, más sencilla resultará la expresión de esa agrupación. En MK de 5 variables, las grupacionesque tomen 1’s de las dos porciones deben ser simétricas respecto al eje central. 4) En cada agrupación, cada una de las variables puede aparecer en alguno de los siguientes casos: a) Si siempre vale 1 -----> Se pone afirmada. b) Si siempre vale 0 -----> Se pone negada. c) Si cambia de valor (50% de los casos un valor y el otro 50% otro valor)--> No se pone. 5) La expresión de la función booleana será la suma lógica de todos los productos que hayan salido.

41. Construcciónde: MapasdeKarnaugh Dosceldassonadyacentessidifierenen una variable

42. ConstruccióndeMapasdeKarnaugh Unsubcuboesunconjuntode2mceldas convalor1,lascualestienenlapropiedad quecadaceldaesadyacenteamceldas delconjunto.

43. Construcciónde: MapasdeKarnaugh Subcubo Tamaño4 CD 00 00 01 11 10 AB Subcubo Tamaño4 01 Subcubo Tamaño8 11 10

44. Minimización de unaFunción con MK Unsubcubosepuedeexpresarporun término algebraico que contiene n-m literalesdondeneselnúmerodevariables y2meseltamañodelsubcubo.

45. Dado un MK Minimizar la función

46. Dado un MK Minimizar la función

47. Minimización En caso de que una agrupación de unos abarque las dos mitades, para que sea una agrupación válida se deben repartir los unos al 50% en ambas mitades. Puede ocurrir que dos agrupaciones formen una única agrupación. Para ello deben ser simétricas respecto al eje central del mapa. En este ejemplo ocurre con las señaladas en color rosa.

48. Minimización Enresumen:  – – – – 1celdarepresentaunmintérmino 2celdasadyacentesrepresentanuntérminode3 variables. 4celdasadyacentesrepresentanuntérminode2 variables. 8celdasadyacentesrepresentanuntérminode1 variables.

49. ConstruccióndeMK:ANDdeOR   Unafunciónsepuedeexpresartambiéncomoel producto(AND)delossubcubosnecesariospara cubrirtodosloscerosdelMK. Ejemplo:Minimizar F(A,B,C,D)(0,2,5,8,10,13,14)

50. ConstruccióndeMK:ANDdeOR Paraminimizarseagrupancerosdelmapa:  CD 00 01 11 10 AB 00 01 11 10 F(A,B,C,D)(BD)(BCD)(ACD)