Equation différentielle de 2 ème ordre

1. Equation différentielle de 2ème ordre Elaboré par M. NUTH Sothan

2. ED1 I. Notion général Déf.: F(x, y, y’,y ’’) = 0 (1) où x est une variable, y est une fonction de variable x , y’ sa dérivée 1ère et y’’ sa dérivée second. s’appelle équation différentielle de 2ème ordre. On peut résoudre par rapport y’’ : y’’=f(x, y, y’) (1’)

3. ED1 I. Notion général… Th.de Cauchy: Si f(x, y, y’), f’ y(x, y, y’), f’ y’(x, y, y’) sont définies et continues dans G, alors il existe uniquement la solution de l’équation y’’=f(x, y, y’) à l’intérieur d’un point (x0 , y0 , y0’ )  G , vérifiant la CI y=y0 , y’=y’0pour x=x0 . (2)

4. ED1 II. Solution… Déf.1: La solution générale de (1) est une fonction y=(x, c1 , c2), xG et c1 , c2 sont des constants, qui vérifie (1) et pour toute CI y=y0 , y’=y’0pour x=x0 , (x0 , y0) G, il existe uniquement c1 = c10, c2=c20 tel que la fonction y=(x, c1 , c2) implique (x0 , c10, c20)=y0 .

5. ED1 II. Solution… Déf.2: La solution partielle de (1) est une fonction y= (x0 , c10, c20) obtenue de y=(x, c1 , c2) de (1) pour c1 = c10, c2=c20vérifiant la CI y=y0 , y’=y’0pour x=x0 . Ex.: y’’= 2 On a: y’=2x + c1 Et: y=x2 + c1 x + c2. est une SG , où c1et c2 sont des constants.

6. ED1 III. Cas d’abaissement Considérons : y’’=f (x, y, y’) On peut ramener à une ED du 1er ordre. 1. ED de la forme y’’=f(x) ou y’’=f(x,y’) En posant z(x)=y’, on obtient l’ED du 1er ordre. Ex.1: y’’=x. Ex.2:

7. ED1 III. Cas d’abaissement… 2. ED de la forme y’’=f(y, y’) En posant z(x)=y’ et on obtient l’ED du 1er ordre. Ex.3:

8. ED1 IV. EDL de 2ème ordre Considérons : y’’+ P(x)y’ + q(x)y = f(x) (1) Si f(x)=0, on a : y’’+ P(x)y’ + q(x)y = 0 (2) qui s’appelle homogène, sinon s’appelle non-homogène. Th.1: Si y1(x) et y2(x) sont les solution de (2), alors y= c1 y1(x) + c2 y2(x) est aussi la solution de (2) pour touts c1 et c2 .

9. ED1 IV. EDL de 2ème ordre… Th.2: Si y1(x) et y2(x) sont LD sur (a, b), alors : Th.3: Si y1(x) et y2(x) sont LI sur (a, b), alors W(x) 0. Th.4: Si les solution y1(x) et y2(x) sont LI sur (a, b), alors y= c1 y1(x) + c2 y2(x) est la solution générale de (2) pour touts c1 et c2 .

10. ED1 IV. EDL de 2ème ordre… Ex.: y’’  y =0. On a y1(x) = ex et y2(x) = e-x et Problème: Si l’une des solutions est connue, est-ce qu’on peut trouver la SG de (2). Soit y1(x) est une solution de (2). En posant y= y1(x)z la SG de (2). Après la résolution, on trouve:

11. ED1 IV. EDL de 2ème ordre… Th.5: SG(1)=SPNH(1) + SGH(2). Problème: Trouvons la SPNH(1) en utilisant la SGH(2). Soit y= c1 y1(x) + c2 y2(x) la SGH(2). Posons y= c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x) la SPNH(1). En remplaçant dans (1), on trouve c1(x) et c2(x) de

12. ED1 IV. EDL de 2ème ordre… Ex.: y’’ – y = x. On a Y(x)=C1ex + C2e-x SGH Posons SPNH Pour trouver C1(x) et C2(x) il faut résoudre le système On obtient:

13. ED1 IV. EDL de 2ème ordre… On trouve SPNH Et la SGNH sous forme

14. ED1 V. EDLH de 2ème ordre à coefficient constant Considérons: (1) où p et q sont constants réels. Considérons l’ÉC: (2) Th1.: Si k est un racine réel de l’équation (2), alors y=ekxest une solution de (1) Th2.: Si k=  i est un racine complexe de l’équation (2), alors y1=ex cosx et y2=ex sinx sont des solutions de (1).

15. ED1 V. EDLH de 2ème ordre à coefficient constant… Th3.: Si les racines de (2) sont k1  k2R, alors la solution de (1) est Th4.: Si les racines de (2) sont k1 = k2 = kR, alors la solution de (1) est Th5.: Si les racines de (2) sont k=  i , alors la solution de (1) est

16. ED1 VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant Considérons: Trouvons la SPNH: 1/ f(x)=Pn(x) Où La SPNH sous forme Où Qn(x) est le polynôme de degré n et r est le nombre de racines de l’EC qui sont égal à 0. Ex.:

17. ED1 VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant… 2/ f(x)=exPn(x) Où Pn(x) est le polynôme de degré n La SPNH sous forme Où Qn(x) est le polynôme de degré n et r est le nombre de racines de l’EC qui sont égal à . Ex.:

18. ED1 VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant… 3/ f(x)= a cosx +b sinx La SPNH sous forme Où rest le nombre de racines de l’EC qui sont égal à i. Ex.:

19. ED1 VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant… En général, si Alors Où PT(x) et QT(x) sont les polynômes de degré T =Max(m,n) et r est le nombre de racines de l’EC qui sont égal à   i. R.: On peut trouver la SPNH par le méthode de variation de constant.

20. ED1 VI. EDLNH de 2ème ordre à coefficient constant… Th.: Si est la SPNH de et si est la SPNH de Alors est la SPNH de Ex.1: Ex.2: Ex.3: Ex.4:

21. ED1 VII. Equation d’Euler Considérons Où a, b, A1 , . . . , Ansont des constants. Posons

22. ED1 VII. Equation d’Euler On obtient EDL à coefficient constant. Ex.: Posons On obtient

23. ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire Il faut trouver les solutions qui sont vérifiées le système de l’ED. Considérons

24. ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… Où y1 , y2 ,…, ynsont des fonction et x est une variable. Après l’intégrale (1), on définie y1 , y2 ,…, ynqui vérifient les CI : Faire la dérivée la 1ère équation de (1) par x , on obtient:

25. ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… En remplaçant , on obtient: Faisant de même façon, on obtient:

26. ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… On trouve le système:

27. ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… De n – 1 première on peut définir y2 , y3 ,…, ynen fonction de x, y1 , et :

28. ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… En remplaçant dans la dernière équation de (3), on obtient une équation de nèmeordre: Après résoudre (5), on trouve: Faisant les dérivées, on obtient:

29. ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… En remplaçant dans (4), on obtient:

30. ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… Ex.: Dériver la 1ère équation par x: En remplaçant y’ et z’ , on obtient:

31. ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… Or, de la 1ère équation On obtient: EDL de 2ème ordre à coefficient constant.

32. ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… Ex.: De (a), on a

33. ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… Ex.1: Ex.2: Ex.3: Ex.4:

34. ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… On peut résoudre le système de ED d’ordre supérieur. Considérons: Posons:

35. ED1 VIII. Système de l’ED ordinaire… Alors: Ex.: Dériver la 1ère deux fois par x : , or On a: est une EDL de 4ème ordre.

36. ED1 IX. Système de l’ED à coefficient constant Considérons: Où aijest constant, x(t) est une fonction de variable t .

37. ED1 IX. Système de l’ED à coefficient constant… On va trouver la solution particulière sous forme: Il faut trouver et k pour que vérifient (1). En replaçant (2) dans (1), on obtient:

38. ED1 IX. Système de l’ED à coefficient constant… On obtient: Le déterminant de (3) est:

39. ED1 IX. Système de l’ED à coefficient constant… Si 0, (3) a une solution triviale: donc Alors, il faut trouver k pour que =0. On obtient l’équation caractéristique de (1) qui a les racines de types suivantes:

40. ED1 IX. Système de l’ED à coefficient constant… • Racines réelles différentes: k1 , k2 ,…, kn. Pour k=ki, on trouve et De même manière pour k=knet on obtient: Où c1 , c2 ,…,cn sont des constants.

41. ED1 IX. Système de l’ED à coefficient constant… Ex.: L’équation caractéristique: Ou Et les racines réels: k1 = 1 , k2 = 4. Les solutions:

42. ED1 IX. Système de l’ED à coefficient constant… Pour k1 = 1, on définie du système ou En fin La solution:

43. ED1 IX. Système de l’ED à coefficient constant… Pour k1 = 4, on définie du système ou et En fin