FOURIER

1. FOURIER Il matematico francese François Marie Charles Fourier (1772- 1837) inventò una teoria matematica attraverso cui è possibile provare che ogni onda periodica può essere rappresentata per mezzo di una somma di onde sinusoidali aventi ampiezze, frequenze e fasi appropriate. Una rappresentazione di Fourier di un’onda può richiedere molte componenti, addirittura un numero infinito, tuttavia è possibile approssimare un’onda utilizzando un numero finito di componenti.

2. FUNZIONI PERIODICHE Dopo un tempo 2 si ripete la stessa funzione f()

3. TEOREMA DI FOURIER Il teorema di Fourier afferma che: «qualunque funzione periodica, finita, continua può essere rappresentata mediante una somma di funzioni sinusoidali pure, pesate da opportuni coefficienti, nei cui argomenti compaiono tutte le frequenze (le armoniche) multiple di una frequenza fondamentale»

4. FORME D’ONDA Ogni strumento musicale si porta dietro una forma d’onda particolare. Questa forma d’onda risulta dalla combinazione dell’armonica fondamentale e delle armoniche superiori. E’ proprio la forma d’onda, risultante dal contenuto spettrale delle armoniche, a determinare il timbro di uno strumento musicale. CHITARRA TROMBA VIOLINO FLAUTO

5. FORME D’ONDA PARTICOLARI Esiste un gruppo di forme d’onda di particolare simmetria che possono essere realizzate con opportune sintesi additive: In quest’onda sono presenti tutte le armoniche con ampiezza decrescente DENTE DI SEGA In quest’onda sono presenti solo le armoniche dispari con ampiezza decrescente ONDA QUADRA

6. FORME D’ONDA PARTICOLARI In quest’onda sono presenti solo le armoniche pari con ampiezza decrescente DOPPIO DENTE In quest’onda sono presenti solo le armoniche dispari con ampiezza decrescente prese con segni alterni TRIANGOLARE L’interesse di queste forme d’onda particolari, generabili soltanto elettronicamente, sta nel fatto che esse vengono usate nell’ambito della sintesi del suono.

7. FORME D’ONDA PARTICOLARI Esempi di diverse forme d’onda risultanti dalla sintesi additiva di armoniche scelte in maniere diverse

8. Spettro di un segnale

9. SPETTROGRAMMA Lo spettrogramma è una rappresentazione grafica dell’intensità del suono alle varie frequenze che lo costituiscono

10. SERIE DI FOURIER Consideriamo la serie trigonometrica senza curarci di problemi di convergenza, questa definisce una funzione periodica una funzione periodica, qualunque sia il suo periodo, può essere considerata come una somma infinita di seni e di coseni

11. COEFFICIENTI DI FOURIER Per ricostruire una funzione periodica è necessario conoscere i coefficienti della serie trigonometrica:

12. Ricostruzione delle funzioni periodiche con la Trasformata di Fourier Esempio n.1: Onda quadra Pulsazione fondamentale (rad) (quella dell’onda quadra) w0=2p/T (*) a0 fa eccezione rispetto agli altri ak in quanto, pur calcolato tramite un integrale di funzione pari, risulta pari a zero. Ciò si spiega in quanto il significato fisico di tale termine è il valor medio del segnale nel periodo. Se l’onda quadra fosse centrata su un valore diverso da zero (traslata verso l’alto o il basso), pur rimanendo pari, avrebbe il termine a0 non nullo.

13. Ricostruzione dell’onda quadra tramite somma di 4 armoniche Prime 4 armoniche riportate in un unico grafico Somma delle prime4 armoniche esegnale originale

14. Altri esempi: componenti elettronici sottoposti a un ingresso armonico Esempio n.2(diodo) Esempio n.3(raddrizzatore)

15. Altri esempi: componenti elettronici sottoposti a un ingresso armonico Esempio n.4(triangolare) Esempio n.5(dente di sega)

17. Seconda parte Risposta in frequenza

18. sistema Sistemi lineari Si(t) So(t) • Si considerano i sistemi lineari. • Per essi è applicabile il principio di Sovrapposizione degli effetti. • Se il segnale elettrico di ingresso è sinusoidale, allora anche quello di uscita dovrà essere tale, alla stessa frequenza di quello di ingresso, ma con differente ampiezza e fase.

19. Deduzioni • Secondo Fourier il segnale di ingresso è scomponibile come somma di segnali sinusoidali ciascuno di opportuna ampiezza, frequenza e fase. • Il sistema lineare, modifica ciascuna componente armonica di ingresso in ampiezza e fase, in funzione della frequenza dell’armonica di ingresso stessa. • Il segnale di uscita può essere determinato attraverso la sovrapposizione degli effetti sulle singole componenti armoniche di ingresso, essendo il sistema lineare.

20. Funzione di Trasferimento DEFINIZIONE “Il rapporto fra la trasformata di Fourier del segnale di uscita So(t) e la trasformata di Fourier del segnale di ingresso Si(t) è una funzione complessa, indipendente dalla forma dei segnali Si(t) ed So(t), caratteristica del quadripolo, detta Funzione di Trasferimento.” Nota la FdT di un quadripolo e la trasformata di Fourier del segnale Si(t) è possibile risalire alla trasformata di Fourier del segnale So(t). La FdT di un quadripolo rende conto delle modifiche degli spettri del segnale Si(t), che determinano gli spettri del segnale So(t).

21. Modulo e fase della FdT “Le funzioni G(f) e θ(f) rappresentano la variazione in ampiezza e fase rispettivamente, introdotte dal quadripolo sul segnale si ingresso.” VALE: Si ricordi che dato il numero complesso Z=a+jb vale: