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Capítulo 2. Flambagem Primária. Flambagem Primária. Flambagem Secundária. Flambagem Secundária. Equações Básicas – Teoria da Elasticidade. O Método do Equilíbrio Neutro. A Coluna Simplesmente Apoiada - Hipóteses. x. P. w. P. P. M y. L. x. P. z, w. P. P.
E N D
x P w P P My L x P z, w P P A Coluna Simplesmente Apoiada
w P My x P Coluna Simplesmente Apoiada - Solução
P Equilíbrio Instável Equilíbrio Neutro Equilíbrio Estável dmax O Comportamento da Coluna de Euler
x P M0 w P L -EIw” x z , w M0 M0 P P Coluna Bi-Engastada
w P -EIw” x M0 P Coluna Bi-Engastada - Solução
d P P x Coluna Equivalente de Euler L L 2L z, w Pd P P Coluna em Balanço
w P EIw” -EIw” x w Pd P Coluna em Balanço - Solução
P P q kq q M / L M M = kqq L x z, w M / L P P Coluna com Restrições Elásticas
w P M / L -EIw” x M / L P Coluna com Restrições Elásticas - Solução
L P EI L EI x z, w P q M Coluna em Pórtico
Coeficientes de Engastamento • Restrições de Rotação • nas Extremidades: • Numa Extremidade • Iguais, em Ambas as Extremidades
Coeficientes de Engastamento Restrições de Rotação Distintas nas Extremidades
Métodos de Energia • O Método da Conservação da Energia • O Princípio do Valor Estacionário da Energia Potencial Total • Cálculo de Variações • O método de Rayleigh-Ritz • O método de Galerkin
Trabalho das Forças Externas z, w D ds dw s dx P P x, u L’ L O Método da Conservação da Energia
Exemplo A comparação com o valor exato, p2EI/L2, indica um erro de aproximadamente 21%. O Método da Conservação de Energia
A comparação com o valor exato, p2EI/L2, indica um erro de aproximadamente 1,3%. O Método da Conservação de Energia
Erro de 0,13% Erro de 0,014% O Método de Conservação de Energia
Trabalho das Forças Externas Se o corpo é elástico linear, o trabalho é dado pela expressão We = ½ P u. P We DWe u du O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total
Energia de Deformação s F DF e de O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total
Energia de Deformação O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total
Unidimensional Energia de Deformação - Particularização
Estado Plano de Tensões Energia de Deformação - Particularização
O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) reza: “um corpo elástico de dimensões finitas está em equilíbrio se e somente se o trabalho virtual feito pelas forças externas for igual à energia de deformação virtual para qualquer deslocamento virtual arbitrário” e pode ser expresso na forma Forças conservativas Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total: “Uma estrutura elástica está em equilíbrio se e somente se a energia potencial total assumir um valor estacionário neste ponto, ou seja, se não ocorrer mudança na energia potencial total do sistema quando os seus deslocamentos são perturbados por pequenos valores arbitrários”. O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total
Resumo – Exemplo Seja, . A condição de equilíbrio é dada por . A natureza da equação do equilíbrio é dada por Pp k g Mínimo M v veq v O Princípio do Valor Estacionário do Potencial Total
Deseja-se achar o extremo de Cálculo de Variações
Equação de Euler Possíveis condições de contorno Cálculo de Variações
z, w kq kz(x) EI(x) P P k L x Coluna com suportes elásticos – Formulação do Problema Cálculo de Variações - Exemplo
Coluna simplesmente apoiada w x P Sistema de Coordenadas para Coluna em Balanço Problema de Auto-Valor: Caso Especial
Ponto de deslocamento horizontal nulo xk p x(x) Pk h dh x Potencial de Cargas Concentradas e Distribuídas
wj(x) são funções assumidas que neces-sariamente têm de satisfazer as condições de contorno geométricas do problema. O Método de Rayleigh-Ritz
Considere, agora, o caso sem os apoios e fundação elástica (basta zerar os termos correspondentes na expressão dos aij). Se a coluna tem ambas as extremidades articuladas ou, uma extremidade livre e a outra engastada, os podem ser expressos em termos de em vez de . O Método de Rayleigh-Ritz: Caso Especial
