Hierarchical Graph-Drawing

Hierarchical Graph-Drawing Eine Technik für das Zeichnen gerichteter Graphen Referent: Benjamin Stähr Autoren des Quelltextes: Gansner, Koutsofios, North, Vo Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Inhalt • Einführung in das Thema „Zeichnen von gerichteten Graphen“ • Ein Überblick über die Technik • Optimale Schichtzuweisung • Knotenreihenfolge in Schichten • Knotenkoordinaten • Kanten zeichnen • Zusammenfassung und Ausblick Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Ästhetische Zeichenkriterien Hierarchische Struktur hervorheben Wenn möglich zeigen alle Kanten in die gleiche allgemeine Richtung  Erleichtert es gerichtete Pfade zu finden und hebt Quellen und Senken hervor Q S Q S Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Ästhetische Zeichenkriterien Vermeide optische Anomalien  z.B. Kantenüberschneidungen und scharfe Knicke in Kanten sind zu vermeiden Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Ästhetische Zeichenkriterien • Zeichne möglichst kurze Kanten  Vereinfacht das Finden verwandter Knoten  Konform zur Vermeidung optischer Anomalien Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Ästhetische Zeichenkriterien • Bevorzuge Symmetrie und Balance  spielt nur sekundäre Rolle  wird an einigen wenigen Stellen des vorgestellten Algorithmus verwendet Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Ästhetische Zeichenkriterien Es ist unmöglich alle diese Kriterien gleichzeitig zu optimieren Entwurf von schnellen Heuristiken, die in vielen Fällen gute Layouts produzieren Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Problemstellung • Eingabe ist ein gerichteter Graph G = (V,E) • Enthält evtl. Kreise und Mehrfachkanten • o.B.d.A. ist G zusammenhängend • Die Attribute des Graphen sind: xsize(v),ysize(v): Größe einer den Knoten v umgebenden Bounding Box v ysize(v) xsize(v) Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Problemstellung nodesep(G): Minimaler horizontaler Abstand zwischen zwei Knotenboxen ranksep(G): Minimaler vertikaler Abstand zwischen zwei Knotenboxen w(e): Kantengewicht der Kante e u v nodesep(G) Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Ein Überblick über den Algorithmus • Jedem Knoten v wird ein Rechteck mit den Mittelpunktkoordinaten (x(v),y(v)) zugewiesen • Jeder Kante e wird eine Reihe von B-Spline Kontrollpunkten (x0(e),y0(e)),...,(xn(e),yn(e)) zugewiesen • Layout hauptsächlich nach den vier ästhetischen Zeichenkriterien Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Ein Überblick über den Algorithmus Die vier Phasen des Algorithmus sind: • Rank: weist jedem Knoten eine Schicht im Graphen zu • Ordering: setzt die Reihenfolge der Knoten innerhalb jeder Schicht • Position: weist jedem Knoten seine absoluten Koordinaten zu • Make Splines: Zeichnet die Kanten des Graphen Hierarchical GD, Benjamin Stähr

3. Optimale Schichtzuweisung • „Rank“ weist jedem Knoten eine ganzzahlige Schicht zu • Hier muss evtl. min. Längenbeschränkung beachtet werden Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Den Graph azyklisch machen • Für eindeutige Schichtzuweisung muss ein Graph azyklisch sein • Azyklisch machen  Kreise brechen durch temporäre Umkehrung von Kanten • DFS partitioniert den Graphen in Baumkanten und Nicht-Baumkanten • Nicht-Baumkanten in Cross-, Forward- und Backkanten • Durch umkehren von Backkanten Graph kreisfrei Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Den Graph azyklisch machen • Sinnvoll wäre es ein kleines oder minimales Kantenset umzudrehen • „Feedback Arc Set“ jedoch leider NP-vollst. • Lösung: DFS-Heuristik, welche Kanten umdreht, die in vielen Kreisen enthalten sind Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Baumkante Backkante Crosskante Forwardkante Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Problem Definition • Nach Ästhetischen Zeichenkriterien ist ein Ziel des Algos kurze Kanten zu zeichnen • Gewünscht also optimale Schichtzuweisung z.B. mit min. Gesamtkantenlänge • ILP: u.d.N.: • Gewichtsfkt. Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Netzwerk Simplex • Worstcase-Laufzeit nicht polynomiell, aber in der Praxis sehr schnell • Definitionen: • Feasible: Schichtzuweisung erfüllt die min. Längenbedingungen • Slack: Differenz der aktuellen und minimalen Länge einer Kante • Tight: Kante deren Slack = 0 ist Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Netzwerk Simplex Erzeugung einer Schichtzuweisung durch einen Spannbaum des Graphen: • Wähle Startknoten, weise ihm eine Schicht zu • Nachbarknoten erhält den Wert eines bewerteten Knoten +/- der min. Länge der sie verbindenden Kante, je nach Kantenrichtung • Fortfahren bis alle Knoten eine Schichtzuweisung haben Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Netzwerk Simplex • Ein Spannbaum ist feasible, wenn seine Schichtzuweisung feasible ist • Alle Kanten im eben erzeugten Spannbaum sind tight • Der Wert eines „Schnittes“ (bekannt aus EA) durch den Graphen ist s = 1 2 1 5 4 s = 6 Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Netzwerk Simplex Für jede Spannbaumkante wird der Wert eines Schnittes ermittelt. Dabei wird die Kante eleminiert und der Spannbaum bricht dadurch in Quellen- und Senkenkomponente Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Netzwerk Simplex • Normalerweise impliziert ein negativer Wert eines Schnittes, dass die gewichtete Kantenlänge - durch Verlängerung der Baumkante bis eine der anderen Kanten tight wird - reduziert werden kann • Diese wird neue Baumkante • Dadurch neuer feasible Spannbaum Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Netzwerk Simplex • Baumkanten mit negativen Schnittwerten werden durch Nicht-Baumkanten ersetzt, bis die Baumkanten pos. Schnittwerte haben • Theoretisch wird eine Anti-Zyklen-Technik benötigt, um endl. Laufzeit zu garantieren • Der resultierende Spannbaum entspricht einer opt. Schichtzuweisung Hierarchical GD, Benjamin Stähr

4. Knotenreihenfolge in Rängen • Kanten zwischen Knoten, die mehr als einen Rang auseinander liegen werden ersetzt durch Kantenketten mit jeweils Länge 1,virtuelle Knoten werden hinzugefügt • Reflexive Kanten werden ignoriert • Multi-Kanten werden vereinigt • Es werden Heuristiken benutzt, da bereits für zwei Schichten minimieren der Kantenüberschneidungen NP-vollst. Ist Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Lösungsschema • Startsortierungen werden errechnet • Iterationssequenz um Reihenfolgen zu verbessern • Jede Iteration geht von der ersten bis zur letzten Schicht vor, oder umgekehrt • Jeder Knoten erhält eine Gewichtung aufgrund der relativen Position der mit ihm verbundenen Knoten auf der vorhergehenden Schicht • Danach werden die Schichten neu sortiert Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Lösungsschema Populäre Gewichtsfunktionen: • Barycenter: • Definiert das Gewicht eines Knoten v als den Durchschnitt der Ordnungszahlen der Knoten der letzten Schicht, die mit v verbunden sind. • Median: • Wie Barycenter, allerdings wird der Median der Ordnungszahlen verwendet. • Liefert bessere Ergebnisse, Approximationsfaktor von 3 Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Lösungsschema • Hier benutzte Methode basiert auf Median • Wenn zwei Mediane existieren wird interpolierter Wert verwendet, der die Seite mit dichter gepackten Knoten bevorzugt • Zus. Heuristik für lokales Optimum (20% - 50% weniger Kreuzungen) a b b a c d c d Hierarchical GD, Benjamin Stähr

5. Knotenkoordinaten • Jeder Knoten erhält in diesem Schritt x- und y-Koordinaten • LP: u.d.N.: dabei: • : Interne Gewichtung um das Zeichnen langer, gerader Kanten zu bevorzugen Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Kantentypen • Beide Knoten der Kante sind reale Knoten • Ein Knoten ist realer, einer virtueller Knoten • Beide Knoten sind virtuelle Knoten Seien e,f,g Kanten der drei Typen, dann gilt: Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Lösung mit Simplex Verfahren • Resultierendes LP ist total unimodular und kann daher in einem Schritt per Simplex gelöst werden • Transformation bläht den Graphen leider auf Größe |V| |E| + |E²| auf  Große Graphen können nicht mehr mit effizientem Platzbedarf gespeichert werden Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Heuristischer Ansatz 2 8 Eigentlich Iterationen folgender Heuristiken • Medianpos: • Minedge: ähnlich, nur für reale Knoten • Minnode: Lokale Optimierung obiger Methoden • Minpath: Begradigt Ketten virtueller Knoten (Spaghetti-Effekt verhindern) 4. Packcut: Zeichnet Knoten möglichst kompakt 8 3 Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Simplex verbessern • Heuristik ist leider schwer zu implementieren und arbeitet oft suboptimal  doch wieder Simplex • Idee: Simplex aus 3. wiederverwenden und x-Koordinaten als Schichten ansehen • Dazu muss G in einen Hilfsgraph G‘ transformiert werden u u eu e e ev e(v,w) v w v w Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Simplex verbessern • Optimale Lösung für G‘ induziert optimale Lösung für G • Es sind Verbesserungen möglich, die den Simplex um ca. 500 bis 1000% beschleunigen • Damit schneller als heuristische Lösung Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Weiterführende Techniken Neuerer Algorithmus nach Buchheim, Jünger und Leipert (1999) • Verhindert spätere Bildung eines Spaghetti-Effekts in den Kanten • Möglich dadurch, dass jede Kante nur zwei Knicke hat und dazwischen vertikal verläuft • Lösungsansätze heuristisch und mit Simplex möglich, den hier vorgestellten Ansätzen recht ähnlich Hierarchical GD, Benjamin Stähr

6. Kanten zeichnen • Kanten zwischen Knoten werden am einfachsten durch jeweils alle virtuellen Knoten gezeichnet • Nachteil: Übersichtlichkeit leidet etwas, Graph ist optisch nicht perfekt • Lösung: Verwendung von Splines Hierarchical GD, Benjamin Stähr

Berechnung von Splines p0 B5 BB5 p1 p2 Hierarchical GD, Benjamin Stähr

7. Zusammenfassung und Ausblick • Der vorgestellte Algorithmus ist klar strukturiert und programmiertechnisch gut umsetzbar • Sowohl Laufzeit als auch Zeichenergebnis sind zufriedenstellend • Splines müssten nicht benutzt werden, wenn ein anderer Ansatz zur Berechnung der x,y-Koordinaten gewählt würde • Evtl. wäre „Kommunikation“ zwischen den einzelnen Schritten wünschenswert um Ergebnis zu verbessern Hierarchical GD, Benjamin Stähr

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