Vektorok, mátrixok

1. Vektorok, mátrixok

2. Vektorok - Alapfogalmak Vektor: az irányított (síkban, térben) szakaszt vektornak nevezzük. Ekkor: pontosan specifikáljuk a végpontok sorrendjét (kezdőpont,végpont) is. Alternatív definíció: egy n dimenziós vektor egy rendezett szám n-s, azaz n db szám együttese adott sorrendben. Vektor abszolút értéke: Egy adott v vektor abszolút értékén a v vektor hosszát értjük. Jelölés: |v| P.: Számítsuk ki az alábbi ábrán látható 2 vektor abszolút értékét! Alkalmazva Pitagorasz-tételt Descartes-koordinátákat

3. Vektorok - Alapfogalmak Nullvektor: azt a v vektort, melynek abszolút értéke 0 (kezdő és végpontja azonos), nullvektornak (zérusvektornak) nevezzük. Jelölés: 0 Zérusvektor iránya: tetszőleges Egységvektor: azt a vektort, melynek hossza egységnyi, egységvektornak nevezzük. Jelölés: e, i,j,k Egyező állású vektorok: két vektor egyező állású, ha párhuzamosak vagy azonosak Egyenlő vektorok: két vektor akkor és csakkor egyenlő, ha hosszuk, állásuk és irányuk megegyezik. Ekkor: a két adott vektorra létezik olyan eltolás, mely az egyik vektor kezdőpontját és végpontját a másik vektor kezdőpontjába és végpontjába viszi át.

4. Vektorok – Műveletek vektorokkal Vektorok összeadása: polygon módszer segítségével. Lényegileg: nyílfolyam-módszer: eltolás, a második vektor kezdőpontját az első végpontjába, és így tovább. Összeg vektor: az első vektor kezdőpontjából az utolsó vektor végpontjába mutató vektor. (Két vektor esetén paralelogramma módszernek) Összeadás tulajdonságai: 0. Zárt: összeadás eredménye is vektor 1. Kommutatív (ld. ábra): a+b=b+a 2. Asszociatív: (a+b)+c=a+(b+c) 3. Létezik egységelem: a+0=a 4. Létezik inverz (ellentett) elem: a+(-a)=0 ,ahol –a az a vektor ellentett vektora

5. Vektorok – Műveletek vektorokkal P: Mutassuk meg, hogy a vektor összeadás asszociatív!Vagyis (a+b)+c=a+(b+c) P: Adjuk össze az alábbi vektorokat! b c a c c b a b a

6. Vektorok – Műveletek vektorokkal Vektorok kivonása: inverz vektor elem hozzáadása Vagyis: a,b vektorok különbségén azt a vektort értjük, melyet hozzáadva b vektorhoz összegként az a vektort kapjuk. Vektorok kivonása nem kommutatív művelet!

7. Vektorok – Műveletek vektorokkal • Vektorok szorzása • Számot vektorral: számmal való szorzás Jelölés: • Vektort vektorral-eredménye szám, neve: skalárszorzat (dot product) Jelölés: ab • Vektort vektorral-eredménye vektor,neve: vektoriális (vagy kereszt) szorzat (cross product) Jelölés:

8. Vektorok – Műveletek vektorokkal Vektorok szorzása (skalár szorzat) Számot vektorral: számmal való szorzás Jelölés: Az a vektor l-szorosán, ahol l tetszőleges valós szám, azt a vektort értjük, melynek abszolút értéke: állása megegyezik az a vektor állásával iránya: azonos a irányával, ha ellentettje a irányának, ha tetszőleges, ha Vagyis: nyújtás (l>1), zsugorítás(0<l<1), tükrözés (l<0) Tulajdonságai: 1. λa=aλ 2. μ(λa)=(μ λ)a (definícióból közvetlenül adódik) 3. (λ+μ)a=λa+μa (definícióból közvetlenül adódik) 4. λ(a+b)= λa+λb

9. Vektorok – Műveletek vektorokkal Vektorok szorzása (skaláris szorzat) Vektort vektorral-eredménye szám, neve: skalárszorzat (dot product) Jelölés: Skaláris szorzat: Legyen adott két azonos dimenziójú (a,b) vektor és az általuk bezárt szög (a). Ekkor az alábbi számot az a és b vektorok skaláris szorzatának nevezzük. Ebben az esetben a két vektor hajlásszögén: azt a 0≤l ≤ 180 szöget értjük, melyet a két vektor félegyenese bezár (a belső, mindig kisebb hajlásszög). Következmények: 1) Két vektor skaláris szorzata akkor és csakkor nulla, ha a két vektor ortogonális. 2) Ha a két vektor közül az egyik nullvektor, a hajlásszög tetszőleges, de a skaláris szorzat értéke 0.

10. Vektorok – Műveletek vektorokkal • Vektorok szorzása (skaláris szorzat) • Tulajdonságai: • ab=ba • a(b+c)=ab+ac • (la)b=l (ab)=a(lb) • nem asszociatív Geometriai jelentés: egy adott vektor merőleges vetületének a hossza

11. Vektorok – Műveletek vektorokkal Vektorok szorzása (vektoriális (keresztszorzat) szorzat): Az vektorok keresztszorzatának nevezzük azt a vektort, amelynek hossza: ,ahol a a két vektor (a,b) által bezárt hajlásszög állása: merőleges az a és b vektorok mindegyikére, vagyis a két vektor által kifeszített síkra. iránya: olyan, hogy az a,b és axb vektorok jobbrendszert alkotnak. Geometriai jelentés: az alábbi számérték megadja a két vektor által kifeszített paralelogramma területét.

12. Vektorok – Műveletek vektorokkal • Vektorok szorzása (vektoriális (keresztszorzat) szorzat) • Tulajdonságai • Nem kommutatív • Disztributív • axb=-(bxa) • l(axb)=(la)xb=ax(lb) Következmény Két vektor keresztszorzata akkor és csakkor zérusvektor, ha a vektorok párhuzamosak egymással.

13. Koordinátarendszerek, 2D sík, 3D tér Felbonthatóság: ha adottak egy tetszőleges síkban az a és b nem párhuzamos vektorok, akkor a sík minden más v vektora egyértelműen felbontható az adott vektorokkal párhuzamos összetevőkre. Következménye: bázis: a sík bármely két, nem párhuzamos vektorát a síkbeli vektorok bázisának nevezzük. Koordináta: a v=aa+bb vektor (a,b) rendezett valós számpárt, mely egyértelműen meghatározza v-t az a,b bázisban a v vektor a,b bázisra vonatkoztatott koordinátának nevezzük. 2D: a rendezett valós számpárokat síkbeli vektoroknak nevezzük. 3D: a rendezett valós számhármasokat térbeli vektoroknak nevezzük. Síkbeli és térbeli vektorok ábrázolása koordinátarendszerekben történik, azok bázisainak megfelelő definiálásával.

14. Koordinátarendszerek, 2D sík, 3D tér • Síkbeli vektorok ábrázolása • Síkban végtelen sok bázist lehet felvenni • Éppen ezért: speciális bázist alkalmazunk az egyértelműség kedvéért, mégpedig a Descartes koordinátarendszernek megfeleltetve, az alábbiak szerint. • i és j egymásra merőleges egységvektorok • i és j ennek megfelelően az x és y számegyenesek +1 pontjaiba mutatnak. y v j x i

15. Koordinátarendszerek, 2D sík, 3D tér Térbeli vektorok ábrázolása A rendezett valós számpárok halmaza, a sík pontjainak halmaza és az origóból kiinduló síkbeli vektorok halmaza között páronként kölcsönösen egyértelmű leképezés valósítható meg. Ezen kijelentés alapján: ha a,b,c térbeli vektorok nem esnek egy síkba, akkor a tér minden v vektora egyértelműen felbontható az a,b,c vektorokkal párhuzamos összetevőkre, azaz v=la+bb+gc=(l;b;g) Bázis: a tér egy pontjából kiinduló, nem egysíkú vektorát térbeli bázisnak nevezzük. Speciális bázis: i,j,k páronként merőleges egységvektorok jobbsodrású rendszere Ekkor: z P=(v1;v2;v3) k i i y x

16. Referencia felvétele 2D és 3D vizsgálatokhoz Referenciarács, bázis, fixpont 3D 2D TKP

17. Műveletek a 3D térben Alap műveletek Koordinátáival adott két vektor skaláris szorzata: P: Adja meg a(2;1;0) és b(1;-1;2) vektorok skaláris szorzatát Két vektor hajlásszöge P: Számítsuk ki a(1;2;2) és b(-1;1;0) vektorok által bezárt szöget!

18. Műveletek a 3D térben Koordinátáival adott két vektor kereszt szorzata: P: Adja meg a=2i-3k és b=i+j+k vektorok kereszt szorzatát

19. Mátrixok Mátrix: m×n-es mátrixonegy olyan téglalap alakú táblázatot értünk, amelynek m sora és n oszlopa van, elemei pedig adott számhalmazból valók, melyen a mátrix értelmezve van. Jelölés: nxm-es számtáblázat - n sor, m oszlop Jele: A, illetve An,m (n sor, m oszlop) A= An,m = (aij) Oszlopvektor Sorvektor

20. Speciális mátrixok • Speciális mátrixok: sorvektor, oszlopvektor, nullmátrix (összes eleme 0) • Egység mátrix: • Diagonál mátrix: • Négyzetes mátrix: amn=anm Egy An,m mátrix sorainak és oszlopainak felcserélésével a mátrix A’m,n (= A*m,n = ATm,n ) transzponáltját kapjuk.

21. Mátrixok - Műveletek Mátrix szorzása skalárral: összes elemet az adott skalárral meg kell szorozni Mátrixok összeadása: azonos dimenzió Mátrixok szorzása: A minden sorvektorának képezzük a skalárszorzatát B minden oszlopvektorával. Ezért ha A típusa (n×m), akkor B típusa (m×k). Ez azt jelenti, hogy az A és B mátrix csak abban az esetben szorozható össze, ha A-nak ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora B-nek. A szorzatmátrix típusa ennek megfelelően (n×k). Tulajdonságok nem kommutatív asszociatív disztributív P: Szorozza össze az alábbi két mátrixot! M(megjegyzés): ha adott egy mátrix, mely egy végtag szegmensének irányvektorait tartalmazza és ezt a mátrixot megszorozzuk egy adott dimenziójú vektorral, akkor az a szegmensek adott rotációs tengely körüli elforgatását jelentik.

22. Példa: Adottak az alábbi A és B mátrixok. Végezze el az AB és a BA mátrix szorzást! Megoldás: Mivel A 3x4-es és B 4x2-es méretű mátrixok, ezért csak az AB szorzás végezhető el, a BA nem.

24. A determináns fogalma, kiszámítása és alkalmazása Definíció: A determináns a kvadratikus mátrixok halmazán értelmezett f: AnA függvény, mely az An mátrixhoz egy valós számot rendel az alábbiak szerint: • n=2: A = detA = det(a1,a2) = a11a22-a12a21 • n2: Sor- vagy oszlop szerinti kifejtéssel(n-1)x(n-1)–es mátrixok determinánsának kiszámítására vezetjük vissza • i. sor szerinti kifejtéssel: A=j aijAij (i=állandó) • j. oszlop szerinti kifejtéssel: A=i aijAij (j=állandó) ahol Aijaz (ij)-edik (az i. sor j. eleméhez tartozó) algebrai aldetermináns.

25. Példa: Egy 2x2-es mátrix determinánsa: Egy 3x3-as mátrix determinánsának számítása az első oszlopa szerinti kifejtéssel:

26. Alkalmazás Az n egyenletből álló n ismeretlenes Ax=b lineáris egyenlet-rendszer megoldása, ha A 0: (i=1,2,…,n) ahol di= det(a1,…,ai-1,b,ai+1,…,an) Ha b=0 (homogén lineáris egyenletrendszer) és A 0, akkor (i=1,2,…,n) Ez a homogén lineáris egyenletrendszer triviális megoldása. Ez a Cramer szabály.

27. Cramer-szabály Tekintsük az alábbi n egyenletből és n darab ismeretlenből álló lineáris egyenletrendszert: Legyen A az egyenletrendszer együtthatómátrixa, és tegyük fel, hogy A determinánsa nem 0. Ekkor ahol annak az mátrixnak a determinánsa, amit úgy kapunk, hogy az A mátrix i-edik oszlopát kicseréljük

28. Cramer-szabály Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert: Először kiszámoljuk az A determinánsát: Mivel A nem 0 ezért megoldható Cramer-szabállyal az egyenletrsz.

29. Cramer-szabály A vektort kicseréljük az A megtrix megfelelő oszlopaival, az így kapott mátrix determinánsával kapjuk a megoldásokat:

30. Cramer-szabály A megoldások: