Koordináta-geometria

1. Koordináta-geometria

2. Vektorok a koordináta-rendszerben • A derékszögű koordináta-rendszerben a P (x;y) pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor. • Ha az i az (1;0), j pedig a (0;1) pont helyvektora, akkor a sík bármely a vektora egyértelműen áll elő a= a1i + a2j alakban (az i és j vektorok lineáris kombinációjaként).

3. Két pont távolsága. Két vektor hajlásszöge Tétel: • Az A(a1;a2) és B (b1;b2) pontok távolsága AB= √(b1-a1)² + (b2-a2)². • Pl.: A(-2;3) és B(1;7) • AB→= b-a, a = -2i + 3j, b = i + 7j, ezért AB→= (1-(-2))i + (7-3)j = 3i + 4j. Így |AB|→√3² + 4² = √25 = 5

4. Szakasz osztópontjának koordinátái. A háromszög súlypontjának koordinátái A felezőpont koordinátái a végpontok megfelelő koordinátáinak számtani közepeként adódnak.

5. Az egyenest meghatározó adatok a koordináta-rendszerben • Egy egyenes irányvektora bármely, az egyenessel párhuzamos, nullvektortól különböző vektor. Jele: v→(v1;v2). • A síkban egy egyenes normálvektora bármely, az egyenesre merőleges, nullvektortól különböző vektor. Jele: n→ (A;B).

6. A síkbeli koordináta-rendszerben egy egyenes irányszöge az egyenes és az x tengely pozitív félegyenese (pozitív iránya) által bezárt előjeles szög. • Egy egyenes irányszögének tangensét (ha létezik) az egyenes iránytangensének vagy meredekségének nevezzük. m= tgα • Ha az e egyenes két különböző pontja P1(x1;y1) és P2 (x2;y2), ahol x1≠x2, akkor az e iránytangense.

7. Ha az e egyenes egy irányvektora v→ (v1;v2), egy normálvektora n→(A;B);és v1≠0,illetve B≠0,akkor az e iránytangense. • Ha az e egyenes iránytangense m, akkor a v→(1;m) egy irányvektora, az n→(m;-1) (vagy n→(-m;1)) egy normálvektora e-nek.

8. Az egyenes egyenlete I. • Egy, a síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben elhelyezkedő alakzat egyenlete egy olyan kétismeretlenes egyenlet, amelyet az alakzat P(x;y) pontjainak koordinátái kielégítenek, más pontok koordinátái viszont nem elégítenek ki.

9. Az egyenes vektoregyenlete: n→x (r→-r→0)=0 • Az egyenes egyenletének normálvektoros alakja: Ax + By = Ax0 + By0

10. Az egyenes egyenlete II. • Ez a v→(v1;v2) irányvektorával és P0(x0;y0) pontjával adott egyenes egyenlete, vagy másképpen az egyenes egyenletének irányvektoros alakja: v2x - v1y = v2x0- v1y0. • Ez az m iránytangensével és P0(x0;y0) pontjával adott egyenes egyenlete, vagy másképpen az egyenes egyenletének iránytényezős alakja: y – y0 = m(x-x0).

11. Adott az e egyenes P1(x1;y1) és P2(x2;y2) pontja. Az egyenes irányvektora: v→(x2- x1; y2- y1) normálvektora: n→(y2- y1; x1- x2) Ez a P1(x1;y1) és P2(x2;y2) pontokkal adott egyenes egyenlete, vagy másképpen az egyenes egyenletének két pontjával meghatározott alakja: (y2-y1)x (x-x1) = (x2-x1)x (y-y1).

12. A síkbeli derékszögű koordináta- rendszerben egy egyenes egyenlete olyan kétismeretlenes egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a P(x;y) pontoknak a koordinátái elégítenek ki, amelyek illeszkednek az egyenesre. A síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az egyenes egyenlete olyan Ax + By + C = 0 alakú kétismeretlenes lineáris egyenlet, amelyben A és B közül legalább az egyik 0-tól különböző (A² + B² > 0).

13. Két egyenes metszéspontja, távolsága, hajlásszöge Két síkbeli metsző egyenes metszéspontjának koordinátái a két egyenes egyenletéből álló egyenletrendszer megoldásai.

14. A kör egyenlete Kaptuk, hogy a P (x;y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u;v) középpontú, r sugarú körre (körvolnalra), ha (x - u)² + (y - v)² = r². Ez az összefüggés a K(u;v) középpontú, r sugarú kör egyenlete.

15. A háromszög köré írt kör középpontja az oldalfelező merőlegesek metsztéspontja, ezért a középpontot két oldalfelező merőleges metszéspontjaként kapjuk. A körülírt kör sugara a középpont és valamelyik csúcs távolsága.

16. A síkbeli derékszögű koodináta- rendszerben egy kö egyenlete olyan kétismeretlenes egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a P(x;y) pontoknak a koordinátái elégítenek ki, amelyek illeszkednek a körre. Egy kétismeretlenes másodfokú egyenlet akkor és csak akkor egyenlete egy körnek a síkbeli derékszögű koordináta- rendszerben, ha x² + y² + Ax + By + C = 0 alakra hozható, ahol A, B, C olyan valós számok, amelyekre teljesül az A² + B² - 4C > 0 egyenlőtlenség.

17. A kör és az egyenes kölcsönös helyzete; két kör közös pontjai Általánosítás: Az (x - u)² + (y - v)² = r² egyenletű kör és az y = mx + b egyenes közös pontjainak koordinátái az (x - u)² + (y - v)² = r² Egyenletrendszer megoldásai. A második egyenletnek az elsőbe történő helyettesítése (az egyik ismeretlen kiküszöbölése) után kapott egyismeretlenes másodfokú egyenlet diszkriminánsa határozza mg a közös pontok számát:

18. ↓ - Ha s diszkrimináns pozitív, akkor az egyenes két pontban metszi a kört; • Ha a diszkrimináns 0, az egyenes érinti a kört; • Ha a diszkrimináns negatív, akkor az egyenesnek és a körnek sincs közös pontja.