( 興味のあるテーマに関する ) 文献紹介 III

1. (興味のあるテーマに関する)文献紹介III 行動データ科学研究分野 B3 里村 裕紀 (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

2. 本題の前に • 介護等体験 • 疲れました. 何をしたらいいかわからない感じでした. 教職に必要かどうかは不明…. • 今日ライブします. • Open 19:00 Start 19:30 at GALAXY HOUSE (豊中市桜の町6-10-3). 椎名林檎のコピーバンド (Gt.) (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

3. 紹介する文献 • 芝祐順, 1979, 因子分析法 第2版, 東京大学出版会,第6章 バリマックス法と関連解 : pp.105-126 • 前回の文献紹介で回転を取り扱ったので，しっかり勉強してみたくなりました． (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

4. 1.バリマックス法の解I • バリマックス基準 • 因子負荷の平方の分散を用い，すべての因子について同時にこの分散を最大にする解を求めるのが特徴． (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

5. 変換行列 • m×nの単位行列の,pp,qp,pq,qqの各成分をそれぞれ,cosθ,sinθ,-sinθ,cosθに置き換えたもの (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

6. B=ATpqとするとき p列, q列は これ以外の列ではもとのまま ここで述べるバリマックス法では，まずこの変換によって影響を受ける第p, および, 第q因子のみについて, バリマックス基準を最大とすることを考える (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

7. (1)式をn倍し, 2因子に関する和をとって の値を最大にするTを求める. (Ⅰ) このような基準に基づく回転を任意の1組の2因子による平面で行う. (Ⅱ) 同様の操作を他の因子の組み合わせについても実行. (Ⅲ) はじめの2因子の戻り、計算を繰り返す. (Ⅳ) 十分に満足できる程度の収束がみられたときに回転を終了する (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

8. 回転角を求める • (6)に(4),(5)を代入 ただし (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

9. (7)をθについて微分すると ただし (8)式=0とおき, 両辺をcos4θで割って整理すると これは次のようにも書け， 更に倍角の公式を用いると (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

10. (11)式をカイザーの記法で記すと ここで,A,B,C,Dは以下の通り. (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

11. (11)あるいは(12)を解いて角θを求める際の注意事項．(11)あるいは(12)を解いて角θを求める際の注意事項． (8)式をさらにθについて微分して整理すると, これをまた, 倍角の公式を用いて整理すると, となる. Upqがθについて最大値を取るときには, (8)を満足すると同時に, (14)が負になることが必要. 従ってこの条件は次のように表せる. (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

12. 基準化バリマックス • 以上に述べてきたものは, カイザーがraw varimaxと呼んだもの. raw varimaxとそれまで用いられてきた主観的な回転法を比較 →raw varimaxでは因子ごとにとった負荷の平方和が 　ある因子については特に大きく 　他の因子についてはより小さくなる　　　　傾向が見られた. →是正したい. すべての変量の因子負荷をそれぞれの共通性によって基準化. 　→　因子負荷の特に大きい変量が回転に与える影響を抑制. • normal varimax 基準 (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

13. 幾何学的な検討. 共通性の平方根 : 各変量を表すベクトルの共通因子空間にお 　けるノルム ∴変量を表すベクトルを, すべて共通因子空間内において単位長になるよう引き伸ばすことを意味. • 基準化バリマックスの基準を最大とする回転を求める. 演算はraw varimaxの場合と同じ （∵共通性は変換に際して一定不変) 最初の解 A0 の代わりに, 基準化された因子負荷行列 A=H-1 A0 を用いればよい. ただし H は共通性の平方根を成分とする対角行列. 得られる解は, B=AT=H-1 A0T 両辺に左から H をかけると, HB= A0T=B0 となる. 基準化した因子負荷行列Aを変換して行列Bが与えられた →左からそれぞれ対応する成分に共通性の平方根をかけて, 　　基準化の分だけもとに戻してやればよい (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

14. 2.計算の手順 • 具体例 • 配布資料の後ろページを参照. (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

15. 3.オーソマックス法 • ここではオーソマックス法と総称されている一連の回転解について, その関係に注意しながら紹介する. いずれも因子負荷の平方を用いるので, 便宜上回転後の因子負荷の平方 vjp=b2jp を成分とする行列を で表しておく. (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

16. 3.1. 行列Vの成分の総平均からの偏差の平方和を最大とする基準 • 絶対値の大きな因子負荷と0に近い因子負荷が多くなるように回転することを意味.平方和Tを求めると 変換に際して不変であるから,Tを最大とする基準は を最大とする基準と同等である. この基準による回転解はコーティマックスと呼ばれている. (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

17. 3.2. 行列Vの行内の平均からの偏差の平方和を最大とする基準 • 各変量が特定の因子に特に高い因子付加を示し, 他の因子においてはほとんど0に近い因子負荷を示すという単純構造を求める. (18)式を全ての変量について加え合わせると, 右辺第1項の和は(17)式に等しくなる. すなわちコーティマックス基準に一致する. (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

18. 3.3. 行列Vの列内の平均からの偏差の平方和を最大とする基準 • この基準は, 第p列について以下のようになる. 　　　　　　　　ただし, 　　　　　　　　そして, これは変換に際して不変ではない. また, (19)式は以下のように書くこともできる. これをm因子について加え合わせると以下のようになり, バリマックス基準に対応するものとなる. (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

19. 3.4. 行列Vの成分の列間の積和を最小とする基準 • 因子構造が単純 ←ある変量は限られた因子にのみ高い負荷を示すことが望まれる. 　 共通性の値は不変 　 →その変量の他の因子の負荷は低くならねばならない. そこで, 単純構造の指標として, 異なる因子の因子負荷の平方の間の積和をとるのも一案. 少なくとも一方の因子負荷が0に近いときにはその平方の積も0に近く 　　→単純構造を満たすほど小さな値となる. (23)式を全体的な基準とする. 　　この基準はキャロル[1953]によって提案されたもの. 　　今日のさまざまな解析的回転法のはじまりといえる. (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

20. 変量jの共通性の平方は となる. この両辺でそれぞれjについての和をとると となる. これは変換に際して一定値をとる (左辺参照). 右辺第1項：コーティマックス基準 右辺第2項：キャロルの基準 これらの和が変換によっても不変 →キャロルの基準で最小値を与える変換と, 　 コーティマックス基準を最大とする変換は同じもの. (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

21. 3.5. 行列Vの行間の積和を最小とする基準 • 異なる因子の負荷の平方の積が小さくなることを単純構造の指標. →異なる変量についても適用可能. Vの任意の列(p)の成分間で, すべての変量の組み合わせを考える 　 これが最小となる →任意の因子pについて, 　 その因子負荷が特定の変量においてのみ高く 　 他の変量では全て0に近くなる 　この積和を全ての因子について加えたもの 　を最小とする基準を, 因子パーシモニーの基準と呼んでいる. (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

22. この基準と, 今まで述べた他の基準との関係を明らかにするために 因子寄与の平方和をつぎのように展開する. 右辺第2項は(25)式に等しい.これを代入して適宜移項すると となる. 右辺大括弧内はバリマックス基準第2項から係数 1/n が落ちたもの. 関連してコーティマックス基準をみる →バリマックス基準の式中第2項を省いたもの. (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

23. 3.6. オーソマックス基準 • 一般に のように, バリマックス基準の第2項に重みwを乗じた式を用いることによって, 今まで挙げた単純構造への変換の為の諸基準をまとめて表すことが可能. • 重みの値は • コーティマックス　　　　:w = 0 バイコーティマックス　 : w = 1/2 バリマックス　　　　　　 ：　w = 1 エカマックス　　　　　　 : w = m/2 パーシマックス　　　　 : w = n(m-1)/(m+n-2) 因子パーシモニー　　 ：　w = n (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

24. 計算方法 • バリマックス法と同様. 計算プログラムも同一. (12)の一部を変形して • 単純性を表す指標 • カイザーによる提案. 例えばVの各行内の平均からの偏差の平方和を表す基準(18)式. それに対し, 共通性 (行列Vの総和にあたる) を一定に保ったまま, 各行のこの平方和の限界を考える. それはある一つの因子について負荷が集中し, 他の因子の負荷が全て0となるとき. その値と, (18) 式の値との比をとって変量jの単純性の指標とする. 全変量の単純性を表すには, 上記の式, 値のjについての和を求め, その比をとる. (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

25. 行列Vの全分散を最大とする基準, あるいは, 行列の列間の積和を最 小とする基準などを用いてこのような指標を求めても, 結果は (28) 式 と同一になる. この指標は完全な単純性が得られたときに 1.0 という値をとる. 逆に複雑性の最も高いとき (すべての因子に均等に負荷を示すとき) に 0. • ベントラーによる提案. Vの積, V’V をその対角成分で D = diag (V’V) で基準化し, 指標 を定義. D-1/2V’VD-1/2の対角成分は常に 1 であり, 非対角成分は (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

26. 各変量がそれぞれ1因子のみに高い負荷を持ち各変量がそれぞれ1因子のみに高い負荷を持ち 他の因子の負荷が0であるとき →非対角成分は 0 となり 指標は最高値 1 を示す. 行列Vの列の中に1次従属の関係にあるものがあるとき →指標は 0 となる. ある二つの因子の因子負荷が変量ごとに同じような値を示すなどという場合が一例. 指標が 0 に近いことは因子の非単純性を示す. ベントラーはこの指標を最大とするような回転解(直交および斜交)を提案している. (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

27. 4. 数値例 • 配布資料の後ろページを参照. (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

28. 5. バリマックス法の解II • [ 1. バリマックス法の解I ] →順次選ばれた2因子によって定まる平面内の回転を基礎. それをすべての因子の組み合わせについて実行. →逐次的に全因子に関するバリマックス基準の最大化. • 計算の繰り返し過程で, 計算誤差が蓄積される恐れ. →全因子について同時に変換を行う解法. (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

29. (2)式 の両辺に n を乗じ, 整理 これを最大とする解を求める. 変換行列 T の正規直交条件を用いて これを T の各成分で偏微分し, その結果 = 0 とおく. (μpq等はラグランジュ乗数 ) 計算の結果 という結果が得られる. B=AT T=A’B(3)(B(3)’AA’B(3)) -1/2 (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

30. 6.計算手順 • 配布資料の後ろページを参照. (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III

31. おわりに • 次は斜交回転もさらってみたいと思います. • 色々な基準が一般的な形で表されることに感動 • もしよければ皆様ライブ来てください…. • Ticket free, One drink 別途です…. (興味のあるテーマに関する) 文献紹介III