MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

1. MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Quatrième cours

2. Rappel du dernier cours • Escompte composé

3. Rappel du dernier cours • Escompte composé • Escompte simple

4. Rappel du dernier cours • Escompte composé • Escompte simple • Taux nominal d’intérêt

5. Rappel du dernier cours • Escompte composé • Escompte simple • Taux nominal d’intérêt • Taux nominal d’escompte

6. Rappel du dernier cours • Escompte composé • Escompte simple • Taux nominal d’intérêt • Taux nominal d’escompte • Équivalence de taux

7. Rappel: Taux nominal d’intérêt Si l'intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d'intérêt pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal d'intérêt est

8. Rappel: Taux nominal d’escompte Si l’intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d’escompte pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal d’escompte est

9. Rappel: L’équivalence de taux est obtenue par les formules équivalentes en calculant la valeur actuelle de 1$ payable dans un an ou encore

10. Rappel:(suite) en calculant la valeur accumulée par 1$ après un an.

11. Exemple 1: Anouk a placé 12000$ dans un investissement dont les deux premières années sont rémunérées au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé semestriellement et les 3 années suivantes au taux nominal d’escompte de 9% par année capitalisé à tous les trois mois. (a) Quelle est la valeur accumulée après ces 5 années?

12. Exemple 1: Anouk a placé 12000$ dans un investissement dont les deux premières années sont rémunérées au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé semestriellement et les 3 années suivantes au taux nominal d’escompte de 9% par année capitalisé à tous les trois mois. (a) Quelle est la valeur accumulée après ces 5 années? (b) Quel est l’intérêt gagné par Anouk pendant la troisième année?

13. Solution: (a) Pour les deux premières années, nous avons que le taux d’intérêt est c’est-à-dire

14. Solution: (a) Pour les deux premières années, nous avons que le taux d’intérêt est c’est-à-dire Pour les trois dernières années, nous avons que le taux d’escompte est c’est-à-dire

15. Solution: (a) Pour les deux premières années, il y aura 4 = 2 x 2 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 4 périodes de 6 mois.

16. Solution: (a) Pour les deux premières années, il y aura 4 = 2 x 2 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 4 périodes de 6 mois. Pour les trois dernières années, il y aura 12 = 3 x 4 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 12 périodes de 3 mois.

17. Solution: (a) Le montant accumulé après les deux premières années est

18. Solution: (a) Le montant accumulé après les deux premières années est Le montant accumulé après les trois dernières années est

19. Solution: (a) Anouk aura donc accumulé 17747.17$ dans son placement après 5 ans.

20. Solution: (b) Il nous faut calculer les montants accumulés après trois ans et après deux ans et les soustraire l’un de l’autre.

21. Solution: (b) Le montant accumulé dans le placement après les trois premières années est

22. Solution: (b) Le montant accumulé dans le placement après les trois premières années est Le montant accumulé dans le placement après les deux premières années est

23. Solution: (b) Le montant d’intérêt gagné pendant la troisième année est

24. Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt: Il s’agit d’un notion pour mesurer l’intérêt qui fait appel au calcul différentiel.

25. Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt: (suite) Notons la fonction d’accumulation par Alors le taux instantané de l’intérêt est

26. Exemple 2: Si nous considérons la situation de l’intérêt simple, c’est-à-dire Alors la force de l’intérêt sera

27. Exemple 3: Si nous considérons la situation de l’intérêt composé, c’est-à-dire Alors la force de l’intérêt sera

28. Remarque 1: Dans le cas de l’intérêt simple, la force de l’intérêt est décroissante; alors que, dans le cas de l’intérêt composé, elle est constante.

29. Remarque 2: Si nous connaissons le principal investi et le taux instantané de l’intérêt, nous pouvons alors calculer la fonction d’accumulation. En effet,

30. Remarque 2: (suite) De la définition, nous pouvons montrer que

31. Remarque 2: (suite) De la définition, nous pouvons aussi montrer que l’intérêt peut être calculé par une intégrale:

32. Remarque 3: Dans la situation pour laquelle la force de l’intérêt est constante, c’est-à-dire nous obtenons que

33. Remarque 3: (suite) Cette situation est équivalente à celle de l’intérêt composé.

34. Remarque 3: (suite) Cette situation est équivalente à celle de l’intérêt composé. De plus, nous obtenons que où est le taux d’intérêt composé équivalent.

35. Exemple 4: Boris veut accumuler 10000$ après 7 ans dans un placement rémunéré au taux instantané de l’intérêt de 5% par année. Quel montant doit-il investir aujourd’hui?

36. Solution: Nous voulons calculer le valeur actuel de 10000$ payable dans 7 ans au taux instantané d’intérêt

37. Solution: (suite) Nous avons vu que la fonction de capitalisation est

38. Solution: (suite) Nous avons vu que la fonction de capitalisation est Conséquemment la fonction d’actualisation est

39. Solution: (suite) De cette dernière observation, Boris doit investir aujourd’hui

40. Si Proposition 1: et désignent respectivement un taux nominal d’intérêt et un taux instantané de l’intérêt et que ces taux sont équivalents, alors

41. CHAPITRE IIPrincipes de base

42. Principe de base: La valeur d'un montant investi ou prêté à un moment donné dépend du temps qui s'est écoulé depuis que le montant a été investi ou prêté ou encore du temps qui doit s’écouler avant que le montant soit payé ou remboursé.

43. Conséquence du principe de base: Pour deux montants payables à deux moments différents dans le temps, ne peuvent être comparés que leurs valeurs accumulées ou escomptées à une date commune appelée la date de comparaison.

44. Définition: L’équation incluant les valeurs accumulées ou escomptées à cette date de comparaison des montants investis ou prêtés est appelée l’équation de valeur.

45. Définition de l’équation de valeur: La somme des valeurs accumulées ou escomptées des entrées d’un flux financier à la date de comparaison est égale à la somme des valeurs accumulées ou escomptées des sorties d’un flux financier à la même date de comparaison

46. Exemple 5: Alex et Béa conviennent du prêt suivant. Alex prêtera 7000$ immédiatement, 4000$ dans 2 ans et 3000$ dans 3 ans. Béa remboursera ce prêt par un seul versement de X dollars dans 5 ans. Déterminer X si ce prêt est contracté au taux nominal d’intérêt de 10% par année capitalisé semestriellement.

47. Solution: Le taux d’intérêt par période de 6 mois est Prenons comme date de comparaison

48. Solution: Le diagramme d’entrées et sorties est Alors l’équation de valeur est

49. Solution: (suite) alors le diagramme d’entrées et sorties est Si nous avions pris comme date de comparaison

50. Solution: (suite) alors le diagramme d’entrées et sorties est Si nous avions pris comme date de comparaison et l’équation de valeur est