Transformée de Fourier discrète et et transformée de Fourier rapide

1. Transformée de Fourier discrète et et transformée de Fourier rapide Thomas LAMOTTE

2. La transformée de Fourier discrète • Signal analogique • La transformée de Fourier X() d ’un signal analogique x(t) est donnée par : • t représente le temps et f les fréquences • C ’est une opération de projection de x(t) sur l ’exponentielle. • Signal discrétisé et périodisé • Considérons une suite finie de N échantillons d’un signal discrétisé et périodisé. • On définit sa transformée de Fourier discrète (TFD) comme la suite

3. La transformée de Fourier discrète • De même, on définit la transformée de Fourier inverse (ITFD) par: • Interprétation vectorielle : • Les éléments de la suite peuvent être vus comme les composantes d ’un vecteur x dans un espace à N dimensions. X est alors une combinaison linéaire de N vecteurs de base wk où les composantes de chaque vecteur wk sont donnés par la suite • Exemple : • Considérons une TFD sur 16 valeurs, on peut tracer les parties réelles des composantes des cinq premier vecteurs de base wk

4. La transformée de Fourier discrète • La décomposition peut alors être exprimée sous la forme matricielle : • X = WxT où xT désigne la transposée de x

5. La transformée de Fourier rapide • Complexité d ’une TFD • Pour la TFD, il y a • N² multiplications complexes • N(N-1) additions complexes • Les multiplications complexes ont une durée d ’exécution beaucoup plus longue que les additions. • Algorithmes de transformée de Fourier rapide (TFR) ou Fast Fourier Transform (FFT) • Dans les algorithme de transformée de Fourier rapide, le nombre d ’opération est considérablement réduit. • Il en existe plusieurs : • TFR avec entrelacement temporel • TFR avec entralacement temporel • TFR en base 4 • TFR en base double • Le plus connu est l’algorithme de Cooley-Tukey. • Algorithme de Cooley-Tuckey • Soit {X(k)}, la TFD d ’une suite {x(n)} de longueur N=2M, • avec A(k) respectivement B(k) la transformée de Fourier de x(2n) respectivement x(2n+1)

6. La transformée de Fourier rapide • Algorithme de Cooley-Tukey • La TFD peut s’écrire en séparant indices pairs et impairs: • On aboutit à deux transformées de longueur N/2. Xp correspond à la transformée des indices d’échantillons pairs et Xi à celle des indices impairs. • Il est possible de subdiviser encore Xp en Xpp et xpi en séparant les indices pairs et impairs et de même pour les indices impairs xi en xip et xii. Il est possible de réitérer plusieurs fois cette méthode.

7. La transformée de Fourier rapide • Exemple : • Prenons 8 échantillons, qui ont les valeurs successives suivantes: x0,x1,x2,x3,x4,x5x6,x7,x8. • La TFD se présente ainsi :

8. La transformée de Fourier rapide • Prenons la ligne X1, en séparant les échantillons paires/impairs, puis en factorisant les échantillons impairs, on obtient: • Les termes des couples x0-x1, x2-x3, x4-x5, x6-x7 sont identiques à un facteur près, donc on peut encore subdiviser : • On peut montrer facilement, • a) • b) • D’où l’écriture suivante :

9. La transformée de Fourier rapide • Le calcul de certains terme revient plusieurs fois, on peut donc diminuer le nombre d’opérations à réaliser à l’aide d’ opérations « butterfly » • Opérations « Butterfly » ou papillon • Le calcul « Butterfly » est le suivant : ……. a b

10. La transformée de Fourier rapide • Application à la FFT • Remarque : • Ce schéma de calcul peut être implanté dans des DSP • Nombre de calculs N/2log2N x0 x4 x2 x6 x1 x5 x3 x7 X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 c c Signal Transformée de Fourier

11. La transformée de Fourier rapide • Incrément en « reverse carry » • Les couples d’échantillons doivent être choisis selon un ordre particulier. Cette incrémentation est appelée « reverse carry » (retenue inverse). • L’incrémentation conssite à additionner N/2 à l’indice puis à reporter la retenue à droite plutôt qu’à gauche. • Exemple: N= 8 N/2=4 soit 100 • En retenue « non inverse » : 100 + 100 = 1000 = 8 • En retenue « inverse » : 100+100 = 010 = 2 • Le 1 passe de la gauche vers la droite • On peut aussi arranger les valeurs de fréquence selon l’incrémentation « reverse carry » : Exemple pour 8 échantillons

12. La transformée de Fourier rapide X0 X4 X2 X6 X1 X5 X3 X7 x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 c c Signal Transformée de Fourier