Funciones Ortogonales y Series de Fourier

1. Funciones Ortogonales y Series de Fourier CAPÍTULO 12

2. Contenidos • 12.1 Funciones Ortogonales • 12.2 Series de Fourier • 12.3 Series de Fourier de Cosenos y Senos • 12.4 Series d eFourier Complejas • 12.5 Problema de Sturm-Liouville • 12.6 Series de Bessel y Legendre

3. DEFINICIÓN 12.2 Funciones Ortogonales Dos funciones f1 y f2 son ortogonales en un intervalo [a, b] si 12.1 Funciones Ortogonales DEFINICIÓN 12.1 El producto interior de dos funciones f1 y f2en un intervalo [a, b] es el número Productos Interiores de Funciones

4. Ejemplo • Las funciones f1(x) = x2, f2(x) = x3 son ortogonales en el intervalo [−1, 1] puesto que

5. DEFINICIÓN 12.3 Conjunto Ortogonal Se dice que un conjunto de funciones de valores reales {0(x), 1(x), 2(x), …} es ortogonalen un intervalo [a, b] si (2)

6. Conjuntos Ortonormales • La expresión(u, u) = ||u||2se llama normacuadrada. Portantopodemsodefinir la normacuadrada de unafuncióncomo (3)Si {n(x)} es un conjuntoortogonal en [a, b] con la propiedad de que||n(x)|| = 1 paratodon, entonces se llama conjuntoortonormalen [a, b].

7. Ejemplo 1 Demuestre que el conjunto {1, cos x, cos 2x, …} es ortogonal en [−, ]. SoluciónSea 0(x) = 1, n(x) = cos nx, comprobamos que

8. Ejemplo 1 (2) y

9. Ejemplo 2 Determine la norma de cada función del Ejemplo 1. Solución

10. Analogía con Vectores • Recordando de la teoría de vectores en 3 dimensiones que (4)tenemos (5)Así podemos hacer una analogía entre funciones y vectores.

11. Desarrollo en Series Ortogonales • Suponga que {n(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b]. Si f(x) está definida en [a, b], escribimos primero (6) Then

12. Como {n(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b], cada término en el lado derecho es nulo, excepto m = n. En este caso tenemos

13. En otras palabras, (7) (8)Entonces (7) se transforma en (9)

14. DEFINICIÓN 12.4 Se dice que un conjunto de funciones de valores reales {0(x), 1(x), 2(x), …} es ortogonal con respecto a una función peso w(x) en [a, b], si Conjunto Ortogonal y Función Peso • Bajo la condición de la definición anterior, tenemos (10) (11)

15. Conjuntos Completos • Un conjunto ortogonal es completo si la única función ortogonal continua a cada miembro del conjunto es función nula.

16. 12.2 Series de Fourier • UnaSerieTrigonométricaPodemosdemostrarque el conjunto (1)esorthogonal en [−p, p]. Asíunafunciónfdefinida en [−p, p] puedeescribirsecomo (2)

17. Ahoracalculamos los coeficientes. (3)Como cos(nx/p) y sin(nx/p) son ortogonales a 1 en esteintervalo, entonces(3) se transforma en • Asítenemos (4)

18. Además, (5)por ortogonalidad tenemos

19. yAsí (5) se reduce ay por tanto (6)

20. Finalmente, simultiplicamos (2) porsin(mx/p) y usamosy obtenemosque (7)

21. DEFINICIÓN 12.5 Series de Fourier La serie de Fourier de una función f definida en el intervalo (−p, p) se determina mediante (8)donde (9) (10) (11)

22. Ejemplo 1 Desarrolle (12) en una serie de Fourier. SoluciónLa gráfica de f se muestra en la Fig 12.1 con p = .

23. Ejemplo 1 (2) ←cos n = (-1)n

24. Ejemplo 1 (3) De (11) tenemosPo tanto (13)

25. Fig 12.1

26. TEOREMA 12.1 Sean f y f’ continuas por partes en el intervalo (−p, p); esto es, sean f y f’ continuas excepto en un número finito de puntos en el intervalo y discontinuidades finitas sólo en estos puntos. Entonces al serie de Fourier de f en el intervalo converge a f(x) en un punto de continuidad. En un punto de discontinuidad, la serie de Fourier converge al promediodonde f(x+) y f(x－) denotan el limite de f en x por la derecha y por la izquierda, respectivamente. Condiciones de Convergencia

27. Ejemplo 2 • La función f en elEjemplo 1, es continua en (−, ) excepto en x = 0. Así que la serie (13) converge a en x = 0.

28. Extensión Periódica • Fig 12.2 es la extensión periódica de la función f del Ejemplo 1. Así que la discontinuidad en x = 0, 2, 4, … converge ay en x = , 3, … converge a

29. Fig 12.2

30. Secuencia de Sumas Parciales • Secuencia de Sumas ParcialesPara (13), escribimos las sums parciales como Fig 12.3.

31. Fig 12.3

32. 12.3 Series de Fourier de Coseno y Seno • Funciones Pares e Impares • par si f(−x) = f(x) • impar si f(−x) = −f(x)

33. Fig 12.4 Función Par

34. Fig 12.5 Función Impar

35. TEOREMA 12.2 Propiedades de Funciones Pares e Impares (a) El producto de dos funciones pares es par. (b) El producto de dos funciones impares es impar. (c) El producto de una función par y uan función impar es impar. (d) La suma (diferencia) de dos funciones pares es par. (e) La suma (diferencia) de dos funciones impares es impar. (f) Si f es par, entonces (g) Si f es impar, entonces

36. Series de Cosenos y Senos • Si f es par en (−p, p) entonces • De manera similar, si f es impar en (−p, p) entonces

37. DEFINICIÓN 12.6 (i) La serie de Fourier de una función par f en elintervalo (−p, p) es la serie de cosenos (1)donde (2) (3) Series de Fourier de Cosenos y Senos

38. (continuación) DEFINICIÓN 12.6 (ii) La serie de Fourier de una función impar f en elintervalo (−p, p) es la serie de senos (4)donde (5) Series de Fourier de Cosenos y Senos

39. Ejemplo 1 Desarrolle f(x) = x, −2 < x < 2 en una serie de Fourier. SoluciónEstudio de la Fig 12.6, muestra que es una función par en (−2, 2) y p = 2. Así (6) Fig 12.7 es la extensión periódica de la función del Ejemplo 1.

40. Fig 12.6

41. Fig 12.7

42. Ejemplo 2 • L afunciónrepresentada en la Fig 12.8 esimpar en (−, ) con p = .De (5), y portanto (7)

43. Fig 12.8

44. Fenómeno de Gibbs • Fig 12.9 muestra las sumas parciales de (7). Podemos ver qeu la gráfica tiene picos pronunciados cerca de las discontinuidades. Este “exceso” SN no se alisa sino que permanece constante aun cuando el valor de N sea grande. Este comportamiento se conoce como el fenómeno de Gibbs.

45. Fig 12.9

46. Desarrollos en Semiintervalos • Si una función f está definida sólo para 0 < x < L, podemos suministrar una función arbitraria para −L < x < 0. • Si y = f(x) está definida para 0 < x < L, • Reflejar al gráfica respecto al eje y en −L < x < 0; la función hora es par. Fig 12.10. • Reflejar la gráfica por el origen sobre −L < x < 0; la función ahora es impar. Fig 12.11. • definir f en −L < x < 0 mediante f(x) = f(x + L). Fig 12.12.

47. Fig 12.10

48. Fig 12.11

49. Fig 12.12

50. Ejemplo 3 Desarrolle f(x) = x2, 0 < x < L, (a) en una serie de cosenos, (b) en una serie de senos (c) en una serie de Fourier. SoluciónLa gráfica está representada en la Fig 12.13.