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K. K 2. K 3. K s :. le rapport de similitude. (Rp). K s :. le rapport des périmètres. (Ra). K s 2 :. le rapport des aires. (Rv). K s 3 :. le rapport des volumes. B’. B. 4. 8. C. A. 6. C’. A’. 12. m hauteur  A’B’C’. m A’C’. 12. 8. K s :. =. =. =. =.

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E N D

Presentation Transcript

  1. K K2 K3

  2. Ks : le rapport de similitude (Rp) Ks : le rapport des périmètres (Ra) Ks2 : le rapport des aires (Rv) Ks3 : le rapport des volumes

  3. B’ B 4 8 C A 6 C’ A’ 12 m hauteur  A’B’C’ m A’C’ 12 8 Ks : = = = = m hauteur  ABC m A C 6 4 noté Ks. est le rapport des segments homologues, Le rapport de similitude mesure d’un segment de la figure image Il s’établit comme suit: mesure du segment homologue de la figure initiale Exemple : 2 ou 2 Si 0 < Ks < 1, il s’agit d’une réduction; si Ks > 1, il s’agit d’un agrandissement.

  4. A C C’ A’ 3 cm 6 cm B’ D’ 5 cm D B 10 cm 16 1 m A’B’ Périmètre A’B’C’D’ 3 1 = = = = Périmètre ABCD 32 2 6 2 m AB Rapport des périmètres Le rapport des périmètres = le rapport de similitude Rp = Ks Exemple: Rp = Ks =

  5. C A A’ C’ 3 cm 6 cm B’ D’ 5 cm D B 10 cm 2 1 1 15 Aire A’B’C’D’ 1 = = 2 2 60 Aire ABCD 4 Rapport des aires Le rapport des aires = le rapport de similitude au carré Ra = Ks2 Exemple: Ks = Ra = soit

  6. Prisme 1 Prisme 2 3 cm 2 cm 6 cm 4 cm 5 cm 10 cm 3 Volume du prisme 2 30 1 1 1 = = Volume du prisme 1 240 8 2 2 Rapport des volumes Le rapport des volumes = le rapport de similitude au cube Rv = Ks3 Exemple: soit Ks = Rv =

  7. a c = b d Ces 4 rapports Ks : le rapport de similitude (Rp) Ks : le rapport des périmètres Ks2 : le rapport des aires (Ra) Ks3 : le rapport des volumes (Rv) permettront de trouver des mesures en les utilisant dans des proportions.

  8. H 30 B G A 40 20 14 34 E C D I K L 10 20 m AC = = 17 34 m GI 30 X 17 10 30 x = x = 51 m GH : = 10 17 x 10 40 40 X 17 x = x = 68 = m IH : 10 x 17 14 X 17 10 14 x = x = 23,8 m LH : = 10 17 x Problème 1 : Détermine les mesures de chaque segment du parallélogramme GHIK. Ks =

  9. H 30 B G A 40 20 14 34 E C D I K L m AC 10 20 = = 17 34 m GI Périmètre ABCD : 2 ( L + l ) = 2 ( 20 + 30 ) = 100 100 X 17 100 10 Périmètre ABCD x = 170 : x = = Périmètre GHIK 10 x 17 Problème 2 : Détermine le périmètre du parallélogramme GHIK. Ks = Le rapport des périmètres = le rapport de similitude

  10. H 30 B G A 40 20 14 34 E C D I K L 10 17 2 100 10 420 = 289 17 x Aire ABCD 100 420 X 289 1213,8 x ≈ : x = = 100 289 Aire GHIK Problème 3 : Détermine l’aire du parallélogramme GHIK. Aire ABCD: L X l = 30 X 14 = 420 Ks = Le rapport de similitude au carré = le rapport de aires

  11. 9 4 4 Ks = 9 3 64 4 = 9 729 64 Volume du petit 200 200 X 729 : x≈ x = 2278,1 cm3 = 64 Volume du grand 729 x Problème 4 : Sachant que l’aire de la base du petit cylindre est de 50 cm2, détermine le volume du gros cylindre. Volume du petit cylindre : Aire de la base X hauteur 50 X 4 = 200 cm3 Le rapport de similitude au cube = le rapport des volumes

  12. 2 Rapport des périmètres : 3 2 Périmètre du petit x : = Périmètre du grand 3 54 54 X 2 x = 36 cm x = 3 Problème 5 : Le rapport des périmètres entre deux rectangles semblables est 2/3. Si le périmètre du plus grand est de 54 cm. Quel est le périmètre du plus petit ?

  13. 20 20 ÷ 5 4 2 4 = donc K : = 45 45 ÷ 5 9 3 9 Petite hauteur 16 2 3 X 16 : = x = 2 Grande hauteur x 3 Problème 6 : Deux triangles rectangles semblables ont respectivement des aires de 20 cm2 et de 45 cm2. Si la hauteur du petit est de 16 cm, quelle est la hauteur du grand ? L’information fournie est le rapport des aires et on demande la mesure d’un segment. Il faut donc retrouver le rapport de similitude ( K ). Ra : x = 24 cm

  14. 1600 ÷ 25 64 1600 = 3125 3125 ÷ 25 125 3 4 64 = 5 125 2 4 16 Ra : K2 = = 5 25 Problème 7 : Les volumes de 2 prismes semblables sont 1600 cm3 et 3125 cm3. Quel est le rapport de similitude et le rapport des aires ? Rv : K =

  15. 4 2 6 Aire totale : 88 cm2 Aire totale : 126,72 cm2 88 126,72 Problème 8 : Voici deux prismes semblables. Détermine le volume du plus grand à partir des mesures données. L X l X H = Volume du petit prisme : 6 X 2 X 4 = 48 cm3 Ra : Le rapport des aires est donné et on a besoin du rapport des volumes. Il faudrait donc trouver, en premier, le rapport de similitude.

  16. Ra : 8800 88 X 100 = 126,72 12672 88 100 792 16 4 10 22 10 4 4 8 99 5 2 2 2 5 2 11 2 33 4 3 2 2 2 2 2 88 126,72 11 3 2 2 8800 25 25 X 52 X 11 52 = = = 12672 27 X 32 X 11 22 X 32 36 Ce rapport peut-être utilisé de plusieurs façons: Démarche 1: Décomposition en facteurs: X 100 8800 12672

  17. 3 25 5 5 125 25 Ra : et K3 : = = 36 6 216 6 36 Volume du petit prisme 125 48 48 X 216 : x = = 125 Volume du grand prisme 216 x donc K : 4 2 6 Aire totale : 88 cm2 Volume : 48 cm3 Aire totale : 126,72 cm2 x ≈ 82,94 cm3

  18. 88 88 si Ra : 126,72 126,72 2nd 4 chiffres après la virgule pour de la précision. mesure d’un segment du petit prisme 0.8333 K : ≈ mesure du segment homologue du gros prisme 1 Démarche 2 : alors K : Avec la calculatrice : ≈0.8333 ( 88 ÷ 126,72 ) Ce rapport signifie que les mesures des segments du petit prisme valent 0,8333 par rapport aux mesures des segments du gros prisme qui, eux, valent 1.

  19. 0.8333 0,5786 0,5786 3 K = donc Kv = 0.8333 ≈ 1 1 1 Volume du petit prisme 48 48 X 1 : x = = 0,5786 Volume du grand prisme x 0,5786 ou 4 2 6 Aire totale : 88 cm2 Volume : 48 cm3 Aire totale : 126,72 cm2 x ≈ 82,96 cm3

  20. 88 si Ra : alors K : ou 88 126,72 126,72 88 88 126,72 126,72 88 = = et K3 : 3 3 88 126,72 126,72 Volume du petit prisme 48 88 48 X 126,72 x = = : x Volume du grand prisme 126,72 1 3 3 3 3 3 1 3 88 2 2 2 2 2 2 2 2 Démarche 3 : Avec la calculatrice: 48 X 126,72 ^ ( 3 ÷ 2 ) ÷ 88 ^ ( 3 ÷ 2 ) ≈ 82,94 cm3

  21. E A m AB 3 K : = 5 m ED 5 3 B D C 18 m AB m BC 3 x = = m ED m CD ( 18 – x ) 5 3 ( 18 – x ) = 5x 54 – 3x = 5x 54 = 8x m BC = 6,75 cm m CD = ( 18 – x ) = 18 – 6,75 = 11,25 cm Problème 9 : Les triangles ABC et EDC sont semblables. Détermine les mesures ( cm ) des segments BC et CD. Posons x pour représenter la mesure du segment BC. Le segment CD peut alors être représenté par ( 18 – x ). x ( 18 – x ) La proportion peut maintenant être établie: x = 6,75 cm

  22. A m BE 90 3 K = = = m CD 150 5 90 m E B 75 m 150 m x m BE m AB 3 C D = = ( 75 + x ) 5 m CD m AC 3 ( 75 + x ) = 5x 225 + 3x = 5x 225 = 2x Problème 10 : Déterminer la mesure ( m ) du segment AB. x Posons x pour représenter le segment AB. La proportion peut maintenant être établie: x = 112,5 m

  23. Echelle 1/2 Echelle 3/2 3 27 1 1 K = K3 = K = K3 = 2 8 2 8 x Masse de la figure image 1 x Masse de la figure image 27 : = : = 160 8 Masse de la figure initiale Masse de la figure initiale 160 8 Problème 11 : Il faut 160 mg d’argent pour fabriquer ce bijou. Deux autres modèles sont fabriqués. Calcule la masse d ’argent nécessaire pour fabriquer les 2 autres modèles. Cette masse est proportionnelle au volume du bijou. x = 20 mg x = 540 mg

  24. Echelle 1/2 Echelle 3/2 3 9 1 1 K = K2 = K = K2 = 2 4 2 4 1 Masse de la figure image x x Masse de la figure image 9 : = : = Masse de la figure initiale 4 4 Masse de la figure initiale 4 4 Problème 12 : Il faut 4 mg d’or pour recouvrir ce bijou. Deux autres modèles sont fabriqués. Calcule la masse d’or nécessaire pour recouvrir les 2 autres modèles. Cette masse est proportionnelle à l’aire du bijou. x = 1 mg x = 9 mg

  25. Remarques: 1) Lorsque tu lis une mise en situation, détermine le rapport dont tu as besoin: - pour trouver des mesures de segments ou de périmètres : K - pour trouver des mesures d’aires : K2 - pour trouver des mesures de volumes : K3 2) Prends le temps d’écrire correctement la proportion.

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