MOLTIPLICARE E DIVIDERE

1. Regoli di Nepero Moltiplicazione a gelosia Moltiplicazioni In tabella Il contadino russo Moltiplicazioni Con i numeri arabi MOLTIPLICARE E DIVIDERE Moltiplicazione Vedica Moltiplicazione degli egizi Regoli di Genaille Conclusioni

2. Moltiplicazione a gelosia o a reticolo Disegniamo una griglia con tante colonne per quante sono le cifre del moltiplicando e tante righe per quante sono le cifre del moltiplicatore. Scriviamo i fattori ai lati del rettangolo o quadrato (quando i due fattori hanno un numero uguale di cifre). Dividiamo ogni cella della griglia in due parti tracciando una diagonale . Si inizia a moltiplicare da destra a sinistra.

3. 3 3 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 1 1 3 3 1 1 2 2 7 7 Moltiplicazione a gelosia o a reticolo Prima moltiplico 123 × 1 decina e scrivo i prodotti: la decina va sempre nella parte superiore della cella, le unità sotto. Poi moltiplico 123 × 7 unità e scrivo i prodotti seguendo le stesse regole di prima. 2 1 0 1 7 4

4. 3 1 2 0 0 0 1 3 1 2 7 CURIOSITA’Lo schema a reticolo era usato nei paesi arabi. In Italia era conosciuto con il nome di <<schema a gelosia>>. Il termine “gelosia”, in questo caso era sinonimo di persiane che alla finestra, proteggevano da sguardi indiscreti. Moltiplicazione a gelosia o a reticolo Ora non resta che sommare tra loro i numeri che si trovano sulla stessa diagonale, facendo attenzione all’eventuale cambio! Ora non resta che sommare tra loro i numeri che si trovano sulla stessa diagonale, facendo attenzione all’eventuale cambio! 2 1 0 2 1 7 4 0 9 1 123 × 17 = 2091 Non sembra difficile!

5. Moltiplicazioni in tabella Procedimento per “scapezzo” • Scomporre entrambi i fattori ed eseguire le moltiplicazioni. • Sommare tutti i prodotti a partire da quelli maggiori: migliaia, centinaia, decine, unità e l’operazione è risolta. • Abbiamo applicato la proprietà distributiva.

6. Moltiplicare in tanti modi Abbiamo provato a risolvere le moltiplicazioni con tutte le tecniche che conosciamo. Ciò ci permette di fare un controllo incrociato dei risultati.

7. Regoli di Nepero per moltiplicare All’inizio del XVII secolo in Scozia John Napier propone i suoi bastoncini , detti anche"ossi di Napier“, con lo scopo accellerare e semplificare la tecnica della moltiplicazione a gelosia. In effetti questo metodo è molto più semplice: per eseguire la moltiplicazione non è più necessario conoscere la tavola pitagorica.

8. Regoli di Nepero per moltiplicare: come sono fatti I regoli sono 11, di cui 10 mobili e uno fisso. Ogni bastoncino è diviso in 10 quadrati. Questi, a loro volta, sono tagliati da una diagonale, sopra alla quale vanno inseriti i numeri che rappresentano le decine, mentre sotto scriviamo i numeri corrispondenti alle unità. Ci hanno talmente incuriosito che ne abbiamo costruito una serie ciascuno su cartoncino e due su legno.

9. Regoli di Nepero per moltiplicare: il modello al computer Stampiamo il modello su cartoncino colorato e poi lo incolliamo su uno più spesso per renderlo più maneggevole e resistente.

10. Regoli di Nepero per moltiplicare, come funzionano Facciamo un es.: moltiplichiamo 681 x 7. Accanto al regolo fisso si pongono i regolo 6, 8 e 1. Marchiamo sul regolo fisso il 7 (moltiplicatore), leggiamo i prodotti già allineati in senso obliquo e separati in base al valore posizionale della cifra e tenendo conto di eventuali cambi ricaviamo il prodotto. 681 x 7 = 4767

11. Regoli di Nepero per moltiplicare, moltiplicano ad una sola cifra Prima facciamo un esempio semplice , per verificarne facilmente il risultato. Poi uno proviamo con uno più complesso. 152 x 1= 152 3641 x 2= 7282 Ora siamo sicuri che funziona veramente!

12. Regoli di Nepero per moltiplicare, moltiplicano ad una sola cifra Siamo curiosi di andare a fare altri tentativi. Siamo sbalorditi dalla velocità con cui si può trovare il risultato o verificarne l’esattezza. 641 x4= 2564 681 x 7 = 4767

13. Regoli di Nepero per moltiplicare, moltiplicano a due o più cifre Proviamo a vedere se con i bastoncini si possono risolvere moltiplicazioni con il secondo fattore a più cifre. Moltiplichiamo 9578 x 6 decine( cioè 60) e fa 574680; poi 9578 x 1unità e fa 9578. Non ci rimane che sommare i prodotti parziali e il gioco è fatto! 9578 x 61= 584258

14. Regoli di Nepero per moltiplicare, moltiplicano a due o più cifre Ancora qualche esempio per apprendere bene la tecnica. 891 x 6 decine = 5346 891 x 9 unità = 8019 891 x 69 = 61479

15. Regoli di Nepero per moltiplicare, moltiplicano a due o più cifre Ecco una moltiplicazione veramente difficile! 3641 x 2 decine = 78220 3641 x 3 unità = 10923 3641 x 2 centinaia = 782200 3641 x 223 = 811943

16. Regoli di Nepero per moltiplicare, perché funzionano • I bastoncini di Nepero si sono dimostrati un valido aiuto per gli alunni in difficoltà che non conoscono le tabelline, in quanto hanno permesso loro di: • svolgere calcoli più veloci e corretti; • consolidare la tecnica della moltiplicazione; • Contribuire alla memorizzazione della tavola pitagorica.

17. Moltiplicazione a gelosia o araba Il documento ci mostra due modi diversi di rappresentare la moltiplicazione dei “mussulmani”: le diagonali interne ai singoli quadrati nel secondo esempio sono orientate a destra e non a sinistra, per questo motivo le cifre delle decine e delle unitàinvertono la loro posizione.

18. CONOSCERE I NUMERI ARABI I documenti sopra ci propongono la moltiplicazione eseguita con il “metodo della quadrettatura”, molto simile a quella “a gelosia”

19. Moltiplicazioni con i numeri Arabi Questi documenti conservati alla Biblioteca Nazionale di Parigi ci spingono con molta curiosità a conoscere le cifre dei numeri usati dagli arabi orientali Ci mettiamo subito a lavoro a lavoro!

20. Risolvere moltiplicazioni con i numeri arabi Traduciamo i numeri

21. Risolvere moltiplicazioni con i numeri arabi Fatmira “Inventiamo altre moltiplicazioni”

22. Risolvere moltiplicazioni con i numeri arabi Michael “Mi hanno incuriosito.”

23. Risolvere moltiplicazioni con i numeri arabi Marco “E’ molto divertente!”

24. Risolvere moltiplicazioni con i numeri arabi Michele “Mi piacciono .”

25. “E’ stato molto divertente!”

26. La moltiplicazione del contadino russo Fino a non molto tempo fa i contadini russi eseguivano le moltiplicazioni nel seguente modo: 1- Scrivevano i due fattori su due colonne.2- Nella prima colonna calcolavano la metà del fattore e la scrivevano sotto, fino ad arrivare a1, arrotondando sempre per difetto.3- Nella seconda colonna scrivevano, sotto al secondo fattore, scrivevano il doppio del numero precedente.4- Cerchiavano i numeri dispari della prima colonna e sommavano quelli corrispondenti nella seconda colonna. Come funziona

27. La moltiplicazione del contadino russo Alcuni esempi

28. Moltiplicazioni egizie 12x36 * 12:2 6:2 3:2 36x2 72x2 144x2 * Molto simile a quella del contadino russo è la moltiplicazione egizia. Essa ha origini antichissime, infatti se ne trova traccia nel “Papiro di Rhindt”. Per le prime tre fasi operare come quella russa, poi cancellare le righe con i numeri pari risultanti dalla prima colonna e sommare i numeri rimasti nella seconda colonna..

29. Moltiplicazioni egizie 87x532 22x22 * * * *

30. MOLTIPLICAZIONE VEDICA 12 x 28 = 336

31. MOLTIPLICAZIONE VEDICA 128 x 45 = 5760

32. MOLTIPLICAZIONE VEDICA 538 x 254 = 136652

33. MOLTIPLICAZIONE VEDICA 372 x 349 = 129828

34. MOLTIPLICAZIONE VEDICA 126 x 37= 4662

35. Regoli di Genaille per dividere Henry Genaille , vissuto tra l’Ottocento e il Novecento, era un matematico dilettante che lavorava come ingegnere delle ferrovie francesi. Alla fama dei suoi regoli contribuì Édouard Lucas, suo amico e matematico di discreta fama. Un genitore ha ritagliato dal legno 12 bastoncini della stessa misura, 2 cm × 20 cm circa. Ne ha fissato uno sul lato destro di una tavoletta, di 24 cm × 22 cm. Stampiamo il modello su cartoncino colorato e poi lo completiamo con le frecce per capire meglio come funziona e con quali criteri è stato ideato.

36. Regoli di Genaille per dividere il modello al computer I regoli completi di numeri e frecce.

37. Regoli di Genaille per dividere, come sono fatti I Regoli di Genaille sono formati da una parte fissa ed una mobile: il regolo fisso(di colore verde) si trova a destra e mostra il divisore e il resto; i bastoncini con i numeri da 0 a 9 (colore giallo), invece sono mobili e diversamente combinati rappresentano il dividendo. Per leggere il risultato si inizia dal regolo mobile “Partenza” e si seguono sempre le frecce.

38. Come funzionano Per capire meglio e verificare velocemente il risultato e il funzionamento abbiamo iniziato con una operazione molto semplice, 12:6= Prima mossa:mettiamo sul telaio i regoli necessari a formare il dividendo (12). Seconda mossa: avviciamoli a destra accanto al regolo del resto i. Terza mossa: guardiamo solo quella striscia orizzontale che è marcata dal 6 sul telaio (divisore). Basta seguire le frecce nere e leggere il risultato! 12:6= 2 resto 0.

39. 21:8= 2 resto 5

40. Come funzionano I nostri regoli sono di legno, un papà ha tagliato i legnetti e tutti insieme abbiamo attaccato le “etichette”. Proviamo ora con qualcosa di più complicato 78025 :6= Mettiamo sul telaio i regoli 78025 necessari a formare il dividendo (12). Guardiamo la striscia orizzontale che è marcata dal 6 sul telaio (divisore). Seguiamo le frecce e leggiamo il risultato! 78025 :6= 13004 resto 1.

41. Perchè funzionano • La spiegazione del “perché funzionano” è evidente: • Non dobbiamo fare nessun calcolo: basta andare dove ci indirizza la freccia della colonna precedente • I calcoli sono veloci e sicuri. • Nel caso della divisione dobbiamo parlare di resto anziché di riporto, infatti, quando dividiamo per “n” succede che 0 ≤ resto ≤ n-1 e le frecce puntano al regolo successivo proprio all’altezza del valore del resto. • Si può usare come metodo di autocorrezione • I bambini sembrano più motivati • Può aumentare l’autostima • Stimola la fantasia • Favorisce il ragionamento. • Michele ha avuto un’idea:pensa che forse è possibile creare dei bastoncini per risolvere addizioni. Si impegna a fare un tentativo.

42. I regoli di genaille, divisioni con i numeri decimali Abbiamo evidenziato la virgola nel dividendo con una piccola striscia di carta Con i Regoli di Genaille si possono eseguire anche divisioni con i numeri decimali: se il dividendo e/o il divisore sono numeri decimali dobbiamo ricavare da soli la posizione della virgola nel quoziente.

43. I regoli di genaille,RESTI E PRECISIONE NELLA DIVISIONE. Consideriamo la divisione 100: 8. I regoli ci dicono che il quoziente è 12 col resto di 4. Per migliorare la precisione del risultato, possiamo “approssimare” il dividendo e aggiungere degli zeri a destra (sperando di avere regoli “0” in numero sufficiente): useremo anche quelli su cartoncino. Foto regoli divisione Trasformiamo 100 in 1000. Questa volta i regoli ci dicono che 1000 : 8 = 12,5 col resto di 0 Anche in quest’altro caso siamo fortunati: 932:8 = 116 col resto di 4 e, con uno zero aggiuntivo, il resto è scomparso e il calcolo 932:8 = 116,5 è quindi del tutto esatto. Altre volte il resto non è zero, ma diventa così piccolo da essere trascurabile!

44. PROBLEMA: E SE IL DIVISORE HA PIÙ DI UNA CIFRA? Nel caso della divisione, purtroppo non esiste un algoritmo simile a quello molto semplice dei prodotti parziali che si usa nella moltiplicazione. Genaille quando inventò i bastoncini pensò ad essi come ad una calcolatrice. Un set di regoli per moltiplicare, in legno dell’epoca dell’inventore Henry Genaille, ingegnere delle ferrovie francesi

45. I nostri bastoncini. Michele è tornato con il suo progetto: la “macchina addizionatrice”. Ha qualche difetto, va perfezionata!

46. Riflessioni sulle attivita’ svolte Gli alunni hanno mostrato un notevole interesse per gli strumenti di calcolo del passato, tanto che hanno tentato loro stessi di “inventarne uno “. Hanno compreso gli aspetti matematici riguardanti il funzionamento di alcuni strumenti di calcolo digitali ,ad esempio, le tavole pitagoriche per i bastoncini di Nepero e per i regoli di Genaille. Le tecniche di calcolo presentate, provenienti da luoghi e tempi diversi, hanno dato la possibilità di rappresentare numeri , a volte anche molto grandi, mediante grandezze fisiche o mediante oggetti e di comprendere come ciò sia possibile. I bambini hanno studiato il principio di funzionamento dei regoli di Genaille per la divisione: hanno completato alcune strisce dei regoli.

47. Riflessioni sulle attivita’ svolte Hanno ricostruito, in un contesto operativo concreto, i bastoncini di Nepero con cartoncino o con righelli, sfruttando le nozioni di geometria piana possedute. Gli alunni hanno individuato i vantaggi e gli svantaggi relativi ai metodi proposti. Ma la scoperta più straordinaria è questa …