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Cours de Graphes

Cours de Graphes. Les arbres et arborescences. Les arbres de recouvrement. Les arbres de recouvrement minimaux. Applications. Les grandes lignes du cours. Définitions de base Connexité Les plus courts chemins Floyd-Warshall, Dijkstra et Bellmann-Ford Arbres

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Presentation Transcript

  1. Cours de Graphes Les arbres et arborescences. Les arbres de recouvrement. Les arbres de recouvrement minimaux. Applications. Cours de graphes 3 - Intranet

  2. Les grandes lignes du cours • Définitions de base • Connexité • Les plus courts chemins • Floyd-Warshall, Dijkstra et Bellmann-Ford • Arbres • Arbres de recouvrement minimaux • Problèmes de flots, Ford & Fulkerson • Coloriage de graphes • Couplage • Chemins d’Euler et de Hamilton • Problèmes NP-complets Cours de graphes 3 - Intranet

  3. E X E M P L E S E T D E F I N I T I O N S Cours de graphes 3 - Intranet

  4. Les arbres----------------------------------------------------------------- Un arbre (non orienté) ! Cours de graphes 3 - Intranet

  5. Les arbres----------------------------------------------------------------- Un arbre (non orienté) ! Une arborescence (orientée) ! Cours de graphes 3 - Intranet

  6. Les arbres----------------------------------------------------------------- • Définitions : • Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets. Cours de graphes 3 - Intranet

  7. Les arbres----------------------------------------------------------------- • Définitions : • Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets. • Ce chemin sera donc simple, le plus court, . . . Cours de graphes 3 - Intranet

  8. Les arbres----------------------------------------------------------------- • Définitions : • Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets. • Ce chemin sera donc simple, le plus court, . . . • Une arborescence est un graphe orienté quasi-fortement connexe tel qu’il existe un et un seul chemin orienté de la racine vers tout autre sommet. Cours de graphes 3 - Intranet

  9. Les arbres----------------------------------------------------------------- • Définitions : • Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets. • Ce chemin sera donc simple, le plus court, . . . • Une arborescence est un graphe orienté quasi-fortement connexe tel qu’il existe un et un seul chemin orienté de la racine vers tout autre sommet. • D’abord, il n’y a qu’une seule racine ! Cours de graphes 3 - Intranet

  10. Les arbres----------------------------------------------------------------- • Définitions : • Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets. • Ce chemin sera donc simple, le plus court, . . . • Une arborescence est un graphe orienté quasi-fortement connexe tel qu’il existe un et un seul chemin orienté de la racine vers tout autre sommet. • D’abord, il n’y a qu’une seule racine ! • On n’a pas de chemins multiples, ni de circuits ! Cours de graphes 3 - Intranet

  11. Les arbres----------------------------------------------------------------- • Définitions : • Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets. • Ce chemin sera donc simple, le plus court, . . . • Une arborescence est un graphe orienté quasi-fortement connexe tel qu’il existe un et un seul chemin orienté de la racine vers tout autre sommet. • D’abord, il n’y a qu’une seule racine ! • On n’a pas de chemins multiples, ni de circuits ! Les arbres d’algorithmique sont des arborescences ! Cours de graphes 3 - Intranet

  12. Les arbres----------------------------------------------------------------- Les arbres et arborescences sont toujours irréflexifs ! • Définitions : • Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets. • Ce chemin sera donc simple, le plus court, . . . • Une arborescence est un graphe orienté quasi-fortement connexe tel qu’il existe un et un seul chemin orienté de la racine vers tout autre sommet. • D’abord, il n’y a qu’une seule racine ! • On n’a pas de chemins multiples, ni de circuits ! Les arbres d’algorithmique sont des arborescences ! Cours de graphes 3 - Intranet

  13. D E F I N I T I O N S E Q U I V A L E N T E S D E S A R B R E S Cours de graphes 3 - Intranet

  14. Quelques définitions des arbres----------------------------------------------------------------- • Uniquement pour les graphes non orientés ! Cours de graphes 3 - Intranet

  15. Quelques définitions des arbres----------------------------------------------------------------- • Uniquement pour les graphes non orientés ! • Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin simple entre toute paire de sommets. Cours de graphes 3 - Intranet

  16. Quelques définitions des arbres----------------------------------------------------------------- • Uniquement pour les graphes non orientés ! • Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin simple entre toute paire de sommets. • Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans cycle. Cours de graphes 3 - Intranet

  17. Quelques définitions des arbres----------------------------------------------------------------- • Uniquement pour les graphes non orientés ! • Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin simple entre toute paire de sommets. • Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans cycle. • Déf 1 => Déf 2 : • Comme il existe un chemin de tout sommet à tout sommet, le graphe est connexe ! Cours de graphes 3 - Intranet

  18. Quelques définitions des arbres----------------------------------------------------------------- • Uniquement pour les graphes non orientés ! • Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin simple entre toute paire de sommets. • Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans cycle. • Déf 1 => Déf 2 : • Comme il existe un chemin de tout sommet à tout sommet, le graphe est connexe ! • Par absurde, s’il y avait des cycles . . . il y aurait plusieurs chemins simples, ce qui est contraire à l’hypothèse ! v u Cours de graphes 3 - Intranet

  19. Quelques définitions des arbres----------------------------------------------------------------- • Uniquement pour les graphes non orientés ! • Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin simple entre toute paire de sommets. • Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans cycle. • Déf 1 => Déf 2 : OK ! • Déf 2 => Déf 1 : • Par absurde ! S’il y avait deux sommets non reliés par un chemin, le graphe ne serait pas connexe ! Cours de graphes 3 - Intranet

  20. Quelques définitions des arbres----------------------------------------------------------------- • Uniquement pour les graphes non orientés ! • Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin simple entre toute paire de sommets. • Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans cycle. • Déf 1 => Déf 2 : OK ! • Déf 2 => Déf 1 : • Par absurde ! S’il y avait deux sommets non reliés par un chemin, le graphe ne serait pas connexe ! • Par absurde ! S’il y avait deux sommets reliés par plusieurs chemins simples, le graphe aurait des cycles ! v u Cours de graphes 3 - Intranet

  21. S I X D E F I N I T I O N S E Q U I V A L E N T E S D E S A R B R E S Cours de graphes 3 - Intranet

  22. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  23. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Des définitions équivalentes basées sur la connexité ! Les chemins uniques Connexe,sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  24. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Des définitions équivalentes basées sur la connexité ! Les chemins uniques Connexe,sans cycles Des définitions équivalentes basées sur l’absence de cycles ! Cours de graphes 3 - Intranet

  25. E N M A I N T E N A N T L A C O N N E X I T E . . . Cours de graphes 3 - Intranet

  26. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Connexe, minimal  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  27. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- L'idée : Si nous enlevons une arête du chemin unique, nous cassons la connexité ! Connexe, minimal  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  28. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- L'idée : Si nous enlevons une arête du chemin unique, nous cassons la connexité ! Connexe, minimal  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Définition : Un graphe est connexe, minimal s’il est connexe et n’a pas plus d’arêtes qu’aucun autre graphe connexe ! Cours de graphes 3 - Intranet

  29. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Connexe, minimal => connexe, sans cycles : Connexe, minimal  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  30. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Connexe, minimal => connexe, sans cycles : Par absurde ! S’il y avait des cycles, nous pourrions enlever une arête sans casser la connexité. Ceci est contraire à l’hypothèse que le graphe est minimal ! Connexe, minimal  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  31. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Connexe, minimal =>  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  32. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Connexe avec | V | - 1 arêtes  Connexe, minimal =>  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  33. > Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Connexe avec | V | - 1 arêtes Les implications que nous allons prouver ! =>  Connexe, minimal =>  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  34. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Connexe avec | V | - 1 arêtes => Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes  Connexe, minimal =>  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  35. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Connexe avec | V | - 1 arêtes => Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes  Prouvons que pour être connexe, il faut | V | - 1 arêtes au moins ! Connexe, minimal =>  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  36. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Connexe avec | V | - 1 arêtes => Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes  Prouvons que pour être connexe, il faut | V | - 1 arêtes au moins ! Connexe, minimal =>  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles A ce moment, le graphe connexe qui n’a que | V | - 1 arêtes est aussi minimal ! Cours de graphes 3 - Intranet

  37. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Connexe avec | V | - 1 arêtes => Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes  Prouvons que pour être connexe, il faut | V | - 1 arêtes au moins ! Connexe, minimal =>  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Par induction sur | V | : - Trivial pour 1 sommet et 0 arêtes ! Cours de graphes 3 - Intranet

  38. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Connexe avec | V | - 1 arêtes => Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes  Prouvons que pour être connexe, il faut | V | - 1 arêtes au moins ! Connexe, minimal =>  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Par induction sur | V | : - Trivial pour 1 sommet et 0 arêtes ! - Enlevez un sommet u quelconque. Pour relier les | V | - 1 sommets restants, il faut au moins | V | - 2 arêtes. Cours de graphes 3 - Intranet

  39. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Connexe avec | V | - 1 arêtes => Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes  Prouvons que pour être connexe, il faut | V | - 1 arêtes au moins ! Connexe, minimal =>  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Par induction sur | V | : - Trivial pour 1 sommet et 0 arêtes ! - Enlevez un sommet u quelconque. Pour relier les | V | - 1 sommets restants, il faut au moins | V | - 2 arêtes. - Ensuite, il faut au moins une arête pour relier u aux autres ! Cours de graphes 3 - Intranet

  40. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Connexe avec | V | - 1 arêtes =>  Connexe, minimal =>  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  41. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Les chemins uniques => Connexe avec | V | - 1 arêtes Connexe avec | V | - 1 arêtes =>  Connexe, minimal =>  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  42. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Les chemins uniques => Connexe avec | V | - 1 arêtes Connexe avec | V | - 1 arêtes =>  - Les chemins uniques impliquent la connexité ! Connexe, minimal =>  => Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  43. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Les chemins uniques => Connexe avec | V | - 1 arêtes Connexe avec | V | - 1 arêtes =>  • - Les chemins uniques • impliquent la connexité ! • Preuve par récurrence sur le nombre d’arêtes : • - Si le graphe est réduit à 1 sommet, il y a 0 arêtes ! Connexe, minimal =>  => Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  44. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Les chemins uniques => Connexe avec | V | - 1 arêtes Connexe avec | V | - 1 arêtes =>  • - Les chemins uniques • impliquent la connexité ! • Preuve par récurrence sur le nombre d’arêtes : • - Si le graphe est réduit à 1 sommet, il y a 0 arêtes ! • - Sinon, il existe au moins un sommet u de degré 1 ! A défaut, • on pourrait toujours continuer et donc faire des cycles ! Connexe, minimal =>  => Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  45. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Les chemins uniques => Connexe avec | V | - 1 arêtes Connexe avec | V | - 1 arêtes =>  • - Les chemins uniques • impliquent la connexité ! • Preuve par récurrence sur le nombre d’arêtes : • - Si le graphe est réduit à 1 sommet, il y a 0 arêtes ! • - Sinon, il existe au moins un sommet u de degré 1 ! A défaut, • on pourrait toujours continuer et donc faire des cycles ! • - Enlevez un tel sommet u de degré 1 et son unique arête ! Connexe, minimal =>  => Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  46. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Les chemins uniques => Connexe avec | V | - 1 arêtes Connexe avec | V | - 1 arêtes =>  • - Les chemins uniques • impliquent la connexité ! • Preuve par récurrence sur le nombre d’arêtes : • - Si le graphe est réduit à 1 sommet, il y a 0 arêtes ! • - Sinon, il existe au moins un sommet u de degré 1 ! A défaut, • on pourrait toujours continuer et donc faire des cycles ! • - Enlevez un tel sommet u de degré 1 et son unique arête ! • - Recommencez pour le graphe restant qui est à chemins uniques. Connexe, minimal =>  => Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  47. > Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Connexe avec | V | - 1 arêtes =>  Connexe, minimal =>  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  48. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Connexe avec | V | - 1 arêtes  Connexe, minimal  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  49. E N M A I N T E N A N T L ’ A B S E N C E D E C Y C L E S . . . Cours de graphes 3 - Intranet

  50. Six définitions équivalentes des arbres----------------------------------------------------------------- Connexe avec | V | - 1 arêtes  Connexe, minimal  Les chemins uniques  Connexe,sans cycles  Sans cycles, maximal Cours de graphes 3 - Intranet

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