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Cours de graphes

Cours de graphes. Les arbres et arborescences. Les arbres de recouvrement. Les arbres de recouvrement minimaux. Applications. Les grandes lignes du cours. Définitions de base Connexité Les plus courts chemins Dijkstra et Bellmann-Ford Arbres Arbres de recouvrement minimaux

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Presentation Transcript

  1. Cours de graphes • Les arbres et arborescences. • Les arbres de recouvrement. • Les arbres de recouvrement minimaux. • Applications. Cours de graphes 3 - Intranet

  2. Les grandes lignes du cours • Définitions de base • Connexité • Les plus courts chemins • Dijkstra et Bellmann-Ford • Arbres • Arbres de recouvrement minimaux • Problèmes de flots • Coloriage de graphes • Couplage • Chemins d’Euler et de Hamilton • Problèmes NP-complets Cours de graphes 3 - Intranet

  3. Les arbres----------------------------------------------------------------- Un arbre (non orienté) ! Une arborescence (orientée) ! Cours de graphes 3 - Intranet

  4. Les arbres----------------------------------------------------------------- • Définitions : • Un arbre est un graphe non orienté dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets. • Ce chemin sera donc simple, le plus court, le plus léger, . . . • Une arborescence est un graphe orienté quasi-fortement connexe tel qu’il existe un et un seul chemin orienté de la racine vers tout autre sommet. • D’abord, il n’y a qu’une seule racine ! • On n’a pas de chemins multiples, • ni de circuits ! Cours de graphes 3 - Intranet

  5. Les arbres----------------------------------------------------------------- • Uniquement pour les graphes non orientés : • Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets. • Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans cycle. • Déf 1 => Déf 2 : • Connexité OK ! • Par absurde, s’il y avait des cycles . . . il y aurait plusieurs chemins, ce qui est contraire à l’hypothèse ! v u Cours de graphes 3 - Intranet

  6. Les arbres----------------------------------------------------------------- • Uniquement pour les graphes non orientés : • Définition 1 : Un arbre est un graphe dans lequel il existe un et un seul chemin entre toute paire de sommets. • Définition 2 : Un arbre est un graphe connexe, sans cycle. • Déf 1 => Déf 2 :OK ! • Déf 2 => Déf 1 : • Par absurde, s’il n’y avait pas de chemin . . . le graphe ne serait pas connexe ! • Par absurde, s’il y avait plusieurs chemins . . . il y aurait des cycles, ce qui est contraire à l’hypothèse ! v u Cours de graphes 3 - Intranet

  7. Les arbres----------------------------------------------------------------- Des définitions équivalentes basées sur la connexité ! Les chemins uniques  Connexe,sans cycles Des définitions équivalentes basées sur l’absence de cycles ! Cours de graphes 3 - Intranet

  8. Les arbres----------------------------------------------------------------- L'idée : Si nous enlevons une arête du chemin unique, nous cassons la connexité ! Connexe, minimal  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Définition : Un graphe est connexe, minimal s’il est connexe et n’a pas plus d’arêtes qu’aucun autre graphe connexe ! Cours de graphes 3 - Intranet

  9. Les arbres----------------------------------------------------------------- Connexe, minimal => connexe, sans cycles : Par absurde ! S’il y avait des cycles, nous pourrions enlever une arête sans casser la connexité. Ceci est contraire à l’hypothèse que le graphe est minimal ! Connexe, minimal  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  10. > Les arbres----------------------------------------------------------------- Connexe avec | V | - 1 arêtes Les implications que nous allons prouver ! =>  Connexe, minimal =>  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  11. Les arbres----------------------------------------------------------------- Connexe avec | V | - 1 arêtes => Connexe, minimal Connexe avec | V | - 1 arêtes  Prouvons que pour être connexe, il faut | V | - 1 arêtes au moins ! Connexe, minimal =>  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles • Par induction sur | V | : • - Trivial pour 1 sommet et 0 arêtes ! • Soit « u » un sommet quelconque. Pour relier les | V | - 1 • autres sommets, il faut au moins | V | - 2 arêtes. • - Ensuite, il faut au moins une arête pour relier « u » aux autres ! Cours de graphes 3 - Intranet

  12. Les arbres----------------------------------------------------------------- Les chemins uniques => Connexe avec | V | - 1 arêtes Connexe avec | V | - 1 arêtes =>  Connexe, minimal =>  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles • - Les chemins uniques impliquent la connexité ! • Il existe au moins un sommet « u » de degré 1 ! Sinon, nous • pourrions toujours continuer et donc faire des cycles ! ! ! • Enlevez le sommet « u » de degré 1 et son unique arête ! • Recommencez pour le graphe restant qui est à chemins uniques • et a un sommet et une arête en moins ! Cours de graphes 3 - Intranet

  13. > Les arbres----------------------------------------------------------------- Connexe avec | V | - 1 arêtes =>  Connexe, minimal =>  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles Cours de graphes 3 - Intranet

  14. Les arbres----------------------------------------------------------------- Connexe avec | V | - 1 arêtes  L'idée : Si nous ajoutons une arête au graphe connexe, nous créons un cycle ! Connexe, minimal  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles  Définition : Un graphe est sans cycles, maximal s’il est sans cycles et n’a pas moins d’arêtes qu’aucun autre graphe sans cycles ! Sans cycles, maximal Cours de graphes 3 - Intranet

  15. Les arbres----------------------------------------------------------------- Sans cycles, maximal => connexe, sans cycles : Par absurde ! S’il y était non connexe, nous pourrions ajouter une arête sans créer de cycle. Ceci est contraire à l’hypothèse que le graphe est maximal ! Connexe avec | V | - 1 arêtes  Connexe, minimal  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles  Sans cycles, maximal Cours de graphes 3 - Intranet

  16. > Les arbres----------------------------------------------------------------- Connexe avec | V | - 1 arêtes  Connexe, minimal  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles =>  Sans cycles, maximal Les implications que nous allons prouver ! =>  Sans cycles avec | V | - 1 arêtes Cours de graphes 3 - Intranet

  17. Les arbres----------------------------------------------------------------- Sans cycles avec | V | - 1 arêtes => Sans cycles, maximal Connexe avec | V | - 1 arêtes  Prouvons que pour être sans cycles, on peut avoir | V | - 1 arêtes au plus ! Connexe, minimal  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles =>  • Par induction sur | V | : • - Trivial pour 1 sommet ! • Soit « u » un sommet de degré 1. • Les | V | - 1 autres sommets comportent au plus | V | - 2 arêtes. Sans cycles, maximal  Sans cycles avec | V | - 1 arêtes Cours de graphes 3 - Intranet

  18. Les arbres----------------------------------------------------------------- Les chemins uniques => Sans cycles avec | V | - 1 arêtes Connexe avec | V | - 1 arêtes  Connexe, minimal • Les chemins uniques • interdisent les cycles ! • Il existe au moins un • sommet « u » de degré 1 ! • - Enlevez ce sommet et son arête ! • - Recommencez pour le graphe • restant qui est à chemins • uniques et a un sommet et une arête en moins !  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles =>  Sans cycles, maximal =>  Sans cycles avec | V | - 1 arêtes Cours de graphes 3 - Intranet

  19. > Les arbres----------------------------------------------------------------- Connexe avec | V | - 1 arêtes  Connexe, minimal  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles =>  Sans cycles, maximal =>  Sans cycles avec | V | - 1 arêtes Cours de graphes 3 - Intranet

  20. Les arbres----------------------------------------------------------------- Connexe avec | V | - 1 arêtes Nous n’avons pas la connexité avec moins de | V | - 1 arêtes . . . mais nous pouvons avoir des cycles !  Connexe, minimal  Les chemins uniques  Connexe, sans cycles  Nous n’avons pas l’absence de cycles avec plus de | V | - 1 arêtes . . . mais nous pouvons ne pas avoir la connexité ! Sans cycles, maximal  Sans cycles avec | V | - 1 arêtes Cours de graphes 3 - Intranet

  21. Les arborescences----------------------------------------------------------------- • Une arborescence peut être caractérisée comme suit. • Elle possède | V | - 1 arcs. • Tous les sommets sauf un ont un degré entrant unitaire. • Un sommet a un degré entrant nul. • Preuve : • Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet ! • Sinon, il existe un sommet « u » de degré sortant nul ! • Nous enlevons « u » et l’unique arc ( x , u ) qui l’atteint ! • Le graphe résultant est une arborescence qui vérifiera donc par hypothèse les propriétés ! • Il en sera de même pour tout le graphe. Cours de graphes 3 - Intranet

  22. Les arborescences----------------------------------------------------------------- • Toute arborescence peut être transformée en arbre ! • Il suffit de changer les arcs en arêtes. • Nous aurons | V | - 1 arêtes. • La connexité forte depuis la racine entraîne la connexité. • Tout arbre peut être transformé en arborescence en nous laissant le choix de la racine ! • Trivial s’il n’y a qu’un seul sommet ! • Nous choisissons la racine « u » et transformons toute arête ( u , v ) en arc. • Sans le lien ( u , v ), le sommet « v » appartient à un arbre isolé du reste du graphe. Il peut être transformé en arborescence ayant « v » comme racine. et donc . . . Cours de graphes 3 - Intranet

  23. Les arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------- L E S A R B R E S D E R E C O U V R E M E N T Cours de graphes 3 - Intranet

  24. Les arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------- • Un arbre de recouvrement d’un graphe G connexe est un sous-graphe de G qui a la propriété d’être un arbre. • Nous préservons la connexité ! • Nous n’avons pas de cycles ! • Nous avons un nombre minimal d’arêtes ! • L’arbre de recouvrement n’est pas unique en général ! Un arbre de recouvrement ! Un autre arbre de recouvrement ! Cours de graphes 3 - Intranet

  25. Les arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------- • Un arbre est connexe sans cycles ! D’où l’algorithme : • Tant que le graphe contient un cycle : • Enlever une des arêtes du cycle ! • Complexité : • Il faut enlever jusqu’à O ( | E | ) arêtes ! • Trouver un cycle est en O ( | V | ) ! • D’où O ( | V | * | E | ) = O ( | V |^3 ) ! • C’est beaucoup ! ! ! Cours de graphes 3 - Intranet

  26. Les arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------- • Un algorithme qui ne cherche pas de cycles : • Choisir une arête ( u , v ) à supprimer ! • Si sa suppression ne casse pas la connexité entre les sommets « u » et « v » (algorithme de la vague) : • nous continuons avec le graphe sans ( u , v ) ! • Si la suppression de ( u , v ) casse la connexité entre « u » et « v », alors : • nous calculons les AR des composantes connexes de « u » et de « v » • et nous réintroduisons l’arête ( u , v ) à la fin ! Cours de graphes 3 - Intranet

  27. Les arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------- • La suppression de ( u , v ) ne casse pas la connexité : • La suppression de ( u , v ) casse la connexité : u v Nous cassons un cycle ! u v CC ( u ) CC ( v ) Arbres de recouvrement ! Cours de graphes 3 - Intranet

  28. Les arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------- • La suppression de ( u , v ) ne casse pas la connexité : • La suppression de ( u , v ) casse la connexité : u v Nous cassons un cycle ! u v CC ( u ) CC ( v ) Arbre de recouvrement global ! Cours de graphes 3 - Intranet

  29. Les arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------- • La suppression de ( u , v ) ne casse pas la connexité : • La suppression de ( u , v ) casse la connexité : u v Complexité : O ( | E |^2 ) = O ( | V |^4 ) Nous cassons un cycle ! Divide and Conquer ! ! ! u v CC ( u ) CC ( v ) Arbre de recouvrement global ! Cours de graphes 3 - Intranet

  30. Les arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------- Y A - T - I L M I E U X ? ? ? O U I ! ! ! Du glouton ! Cours de graphes 3 - Intranet

  31. Les arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------- • A un moment du déroulement de l’algorithme, nous avons : • un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités • et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ». • Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » : • nous en choisissons une, par exemple ( u , v ) , et S V \ S A u v Glouton ! ! ! Cours de graphes 3 - Intranet

  32. Les arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------- • A un moment du déroulement de l’algorithme, nous avons : • un sous-ensemble « S » des sommets qui sont traités • et nous en connaissons un arbre de recouvrement « A ». • Nous identifions les arêtes avec une extrémité dans « S » et une dans « V \ S » : • nous en choisissons une, par exemple ( u , v ) , et • A <- A v { ( u , v ) } et S <- S v { v } C'est clairement un arbre ! ! ! S V \ S A u v Glouton ! ! ! Cours de graphes 3 - Intranet

  33. Les arbres de recouvrement----------------------------------------------------------------- • L’initialisation : • Nous choisissons un sommet « u » au hasard : • S <- { u } et A <- { } • Chaque étape rajoute un sommet et une arrête : • Comme nous garantissons la connexité, c’est un arbre ! • Lorsque S = E , nous avons notre arbre de recouvrement ! • La complexité est en Q ( | V | ) , car nous devons choisir | V | - 1 arêtes et prenons les premières que nous trouvons ! Cours de graphes 3 - Intranet

  34. Arbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------- • Nous considérons un graphe non orienté et pondéré et cherchons un arbre de recouvrement de poids minimal. • L’algorithme de Prim ! • L’algorithme de Kruskal ! 20 Un arbre de recouvrement de poids 53 ! 15 10 12 8 Un arbre de recouvrement de poids 35 ! 5 13 L’arbre de recouvrement minimal sera abrégé en ARM ! Cours de graphes 3 - Intranet

  35. Arbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------- • L’algorithme de Prim : • Nous choisissons un sommet « u » : S <- { u } et A <- { } • Le cas général : • Les sommets de « S » sont traités et admettent l’ARM « A » ! S V \ S L’ARM : A Cours de graphes 3 - Intranet

  36. Arbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------- • L’algorithme de Prim : • Nous choisissons un sommet « u » : S <- { u } et A <- { } • Le cas général : • Les sommets de « S » sont traités et admettent l’ARM « A » ! • Parmi les arêtes ( x , y ) avec x dans S et y dans V \ S : S V \ S L’ARM : A Cours de graphes 3 - Intranet

  37. Arbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------- • L’algorithme de Prim : • Nous choisissons un sommet « u » : S <- { u } et A <- { } • Le cas général : • Les sommets de « S » sont traités et admettent l’ARM « A » ! • Parmi les arêtes ( x , y ) avec x dans S et y dans V \ S : • Trouvez l’arête ( u , v ) de poids minimal et S V \ S L’ARM : A u v Cours de graphes 3 - Intranet

  38. Arbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------- • L’algorithme de Prim : • Nous choisissons un sommet « u » : S <- { u } et A <- { } • Le cas général : • Les sommets de « S » sont traités et admettent l’ARM « A » ! • Parmi les arêtes ( x , y ) avec x dans S et y dans V \ S : • Trouvez l’arête ( u , v ) de poids minimal et • S <- S v { v } et A <- A v { ( u , v ) } S V \ S L’ARM : A u v Cours de graphes 3 - Intranet

  39. Arbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------- • Un exemple : 30 15 5 20 25 17 10 20 12 Cours de graphes 3 - Intranet

  40. Arbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------- • Un exemple : 30 15 5 20 25 17 10 20 12 Cours de graphes 3 - Intranet

  41. Arbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------- • Un exemple : 30 15 5 20 25 17 10 20 12 Cours de graphes 3 - Intranet

  42. Arbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------- • Un exemple : 30 15 5 20 25 17 10 20 12 Cours de graphes 3 - Intranet

  43. Arbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------- • Un exemple : 30 15 5 20 25 17 10 20 12 Cours de graphes 3 - Intranet

  44. Arbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------- • Un exemple : 30 15 5 20 25 17 10 20 12 Cours de graphes 3 - Intranet

  45. Arbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------- • Complexité : • O ( | V | * D ( G ) * log ( | V | * D ( G ) ) ) Recherche par dichotomie, etc, parmi | V | * D ( G ) éléments ! Il y a | V | - 1 arêtes à choisir ! Lorsque nous traitons « v » , il peut y avoir jusqu’à D ( v ) nouvelles arêtes avec une extrémité dans « S » et l’autre dans « V \ S » ! Nous pouvons majorer par : O ( | E | * log ( | E | ) ) Cours de graphes 3 - Intranet

  46. Arbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------- • Preuve de correction, par absurde : • Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une autre arête ! • L’ARM ne comporte pas ( u , v ) ! ! ! u v Cours de graphes 3 - Intranet

  47. Arbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------- • Preuve de correction, par absurde : • Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une autre arête ! • L’ARM ne comporte pas ( u , v ) ! ! ! • Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » qui traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au moins aussi lourde que ( u , v ) ! x y u v Cours de graphes 3 - Intranet

  48. Arbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------- • Preuve de correction, par absurde : • Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une autre arête ! • L’ARM ne comporte pas ( u , v ) ! ! ! • Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » qui traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au moins aussi lourde que ( u , v ) ! • Nous pouvons enlever ( x , y ) et la remplacer par ( u , v ) ! x y u v Cours de graphes 3 - Intranet

  49. Arbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------- • Preuve de correction, par absurde : • Supposons que le choix de l’arête minimale ( u , v ) ne soit pas le bon choix, mais qu’il aurait fallu choisir une autre arête ! • L’ARM ne comporte pas ( u , v ) ! ! ! • Il doit y avoir dans l’ARM un chemin de « u » vers « v » qui traverse la frontière en une arête ( x , y ) qui est au moins aussi lourde que ( u , v ) ! • Nous pouvons enlever ( x , y ) et la remplacer par ( u , v ) ! • Si le poids de ( u , v ) est strictement plus petit que celui de ( x , y ) , nous avons une contradiction avec le fait l’ARM est minimal par hypothèse. • Si les arêtes ( u , v ) et ( x , y ) ont le même poids, le choix de ( u , v ) à la place de ( x , y ) est licite ! Il y a deux arbres de recouvrement minimaux ! ! ! Cours de graphes 3 - Intranet

  50. Arbres de recouvrement minimaux----------------------------------------------------------------- • L’algorithme de Kruskal ! • Nous trions les arêtes de la plus légère à la plus lourde ! • Nous choisissons | V | - 1 arêtes, • en commençant par l’arête la plus légère ( la première ) Cours de graphes 3 - Intranet

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